向量组的线性组合.ppt

第四章向量组的线性相关性 数学与计算机科学系 41 向量组及其线性组合 或aT(a1 a2 an) v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维 向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第 i个分量 其中a称为列向量(即列矩阵) aT称为行向量(即行矩阵) 由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为 (1)列向量用黑体小写字母a、b、等表示 行向 量则用aT、bT、T、T等表示 所讨论的向量在没有指明 是行向量还是列向量时 都当作列向量 或aT(a1 a2 an) v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n 维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称 为第i个分量 其中a称为列向量(即列矩阵) aT称为行向量(即行矩阵 ) 由数组a1 a2 an所组成的n维向量可 记为 说明 (2)分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的 向量称为复向量 或aT(a1 a2 an) v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维 向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i 个分量 由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为 说明 (3)规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算 其中a称为列向量(即列矩阵) aT称为行向量(即行矩阵) v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向 量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分 量 v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的 集合叫做向量组 v向量举例 在空间直角坐标系中 点P(x y z)与3维向量r(x y z)T 之间有一一对应的关系 我们把3维向量的全体所组成的集 合 R3 r | r(x y z)T x y zR 叫做三维向量空间 在空间直角坐标系中 点集 P(x y z)|axbyczd 是一个平面(a b c不全为0) 在三维向量空间中 向量集 r | r(x y z)T axbyczd 也叫做向量空间R3中的平面 并把作为它的图形 v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组 v向量举例 n维向量的全体所组成的集合 Rn x | x(x1 x2 xn)T x1 x2 xnR 叫做n维向量空间 n维向量的集合 x | x(x1 x2 xn)T a1x1a2x2 anxnb 叫做n维向量空间Rn中的n1维超平面 v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维 向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第 i个分量 v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组 v向量举例 v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维 向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i 个分量 v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组 v向量举例 线性方程Amnx0的全体解当R(A)n时是一个含无 限多个n维列向量的向量组 v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维 向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第 i个分量 v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组 v向量举例 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个 n维行向量组 v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集 合叫做向量组 v向量举例 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行 向量组 v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集 合叫做向量组 v向量举例 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行 向量组 今后 由列向量组A a1 a2 am所构成的矩阵简记为A或 (a1 a2 am) v线性组合与线性表示 设A a1 a2 am是一向量组 表达式 k1a1k2a2 kmam 称为向量组A的一个线性组合 其中k1 k2 km是一组实数 称为这线性组合的系数 如果向量b是向量组A的线性组合 b1a12a2 mam 则称向量b能由向量组A线性表示 v定理1 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条 件是矩阵A(a1 a2 am)与矩阵B(a1 a2 am b)的秩相等 即R(A)R(B) 例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为 所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示 由上列行最简形 可得方程 (a1 a2 a3)xb的通解为 从而得表示式 b(a1 a2 a3)x (3c2)a1(2c1)a2ca3 其中c可任意取值 解 注 bj k1ja1k2ja1 kmjam(j1 2 l) v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij) 使 矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 因此 若CAB 则 (1)矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 (2)矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij) 使 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 提示 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 v矩阵等价与向量组等价的关系 这是因为 矩阵A经初等行变换变成矩阵B 则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合 反之 由初等变换的可逆 性 A的行向量组也能由B的行向量组线性表示 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 若矩阵A与B列等价 则这两个矩阵的列向量组等价 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 v矩阵等价与向量组等价的关系 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 v定理2 向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示 的充分必要条件是R(A)R(A B) 注 (A B)(a1 a2 am b1 b2 bl) 推论 向量组A a1 a2 am与向量组B b1 b2 bl等价的充分 必要条件是R(A)R(B)R(A B) 例2 设a1(1 1 1 1)T a2(3 1 1 3)T b1(2 0 1 1)T b2(1 1 0 2)T b3(3 1 2 0)T 证明向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价 记A(a1 a2) B(b1 b2 b3) 证明 将(A B)化为行最简形 又R(B)R(A B)2 于是知R(B)2 因此 R(A)R(B)R(A B) 根据定理2的推论 知向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价 可见 R(A)2 R(A B)2 故R(B)2 容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式 v定理3 设向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表 示 则R(b1 b2 bl)R(a1 a2 am) 证明 记A(a1 a2 am) B(b1 b2 bl) 按定理的条件 根据定理2有R(A)R(A B) 而R(B)R(A B) 因此 R(B)R(A) 例3 证明 n维单位坐标向量组E e1 e2 en能由n维向量 组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是R(A)n 证 根据定理2 向量组e1 e2 en能由向量组A线性表示 的充分必要条件是R(A)R(A E) 而R(A E)R(E)n 又矩阵(A E)含n行 知R(A E)n 合起 来有R(A E)n 因此条件R(A)R(A E)就量R(A)n 第四章向量组的线性相关性 数学与计算机科学系 42 向量组的线性相关性 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的 数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 显然有 (1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关 a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(即对应分量成 比例) 向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向量组A 中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 这是因为 如果向量组A线性相关 则有 k1a1k2a2 kmam0 其中k1 k2 km不全为0 不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam) 即a1能由a2 am线性表示 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向量组A 中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 这是因为 如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向 量线性表示 即有1 2 m1 使 am1a12a2 m1am1 于是 1a12a2 m1am1(1)am0 因为1 2 m1 1不全为0 所以向量组A线性相关 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 v定理1 向量组a1 a2 am线性相关的充分必要条件是它所构成 的矩阵A(a1 a2 am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关 的充分必要条件是R(A)m 这是因为 向量组A a1 a2 am线性相关 x1a1x2a2 xmam0即Ax0有非零解 R(A)m n维单位坐标向量组构成的矩阵为 E(e1 e2 en) 是n阶单位矩阵 由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所 以此向量组是线性无关的 例1 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性 解 向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m 提示 例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即 可同时看出矩阵(a1 a2 a3)及(a1 a2)的秩 解 n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m 可见R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关 例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m 设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30 即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0 亦即 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有 例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法一 由于此方程组的系数行 列式 故方程组只有零解 x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性 无关 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 因为矩阵A的列向量组线性无关 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关 记作BAK 设Bx0 以BAK代入得A(Kx)0 例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法三 因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关 因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A) 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 记作BAK v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A 也线性无关 这是因为 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有 R(B)R(A)1 若向量组A线性相关 则有R(A)m 从而 R(B)R(A)1m1 因此向量组B线性相关 v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A 也线性无关 这个结论可一般地叙述为 一个向量组若有线性相关的 部分组 则该向量组线性相关 一个向量组若线性无关 则它 的任何部分组都线性无关 特别地 含零向量的向量组必线性相关 v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A 也线性无关 (2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时 一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 这是因为 m个n维向量a1 a2 am构成矩阵 Anm(a1 a2 am) 有R(A)n 若nm 则R(A)nm 故m个向量a1 a2 am线性相关 v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A 也线性无关 (2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时 一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 (3)设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示 式是唯一的 这是因为 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am b) 有 即向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一有唯一解 (a1 a2 am)xb 因此方程组 即有R(B)R(A)m mR(A)R(B)m1 (2)用反证法 假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由(1)知a1能由a2 a3线性 表示 例4 设向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a2 a3 a4线性无 关 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示 (1)因为a2 a3 a4线性无关 所以a2 a3也线性无关 证明 因此a4能由a2 a3线性表示 这与a2 a3 a4线性无关矛盾 又a1 a2 a3线性相关 所以a1能由a2 a3线性表示 第四章向量组的线性相关性 数学与计算机科学系 43 向量组的秩 上两节在讨论向量组的线性组合和线性相关性 时 矩阵的秩起了十分重要的作用 为使讨论进一步 深入 下面把秩的概念引进向量组 v最大无关组及向量组的秩 设有向量组A 如果在A中能选出r个向量a1 a2 ar 满足 (1)向量组A0 a1 a2 ar线性无关 (2)向量组A中任意r1个向量都线性相关 那么向量组A0称为向量组A的一个最大无关组 最大无关组所 含向量的个数r称为向量组A的秩 记作RA 注 最大无关组也称为最大线性无关向量组 只含零向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为0 v最大无关组及向量组的秩 设有向量组A 如果在A中能选出r个向量a1 a2 ar 满足 (1)向量组A0 a1 a2 ar线性无关 (2)向量组A中任意r1个向量都线性相关 那么向量组A0称为向量组A的一个最大无关组 最大无关组所 含向量的个数r称为向量组A的秩 记作RA 只含零向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为0 向量组的最大无关组一般不是唯一的 例如 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 因为a1 a3和a2 a3都是线性无关组 而a1 a2 a3线性相关 所以a1 a3和a2 a3都是向量组a1 a2 a3的最大无关组 v定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组 的秩 设A( a1 a2 am) R(A)r 并设r阶子式Dr0 由Dr0知Dr所在的r列线性无关 又由A中所有r1阶子式 均为零 知A中任意r1个列向量都线性相关 因此Dr所在的r 列是A的列向量组的一个最大无关组 所以A的列向量组的秩 等于r 类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A) 证明 注 由上述证明可知 若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式 则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组 Dr所在 的r行即是A的行向量组的一个最大无关组 我们知道n维单位坐标向量构成的向量组 E e1 e2 en 是线性无关的 例1 全体n维向量构成的向量组记作Rn 求Rn的一个最大 无关组及Rn的秩 解 因此 向量组E是Rn的一个最大无关组 且Rn的秩等于n 又知Rn中的任意n1个向量都线性相关 显然 Rn的最大无关组很多 任何n个线性无关的n维向量 都是Rn的最大无关组 注 今后向量组A a1 a2 am的秩RA也记为R(a1 a2 am) v定理2(最大无关组的等价定义) 设向量组A0 a1 a2 ar是向量组A的一个部分组 且满足 (1)向量组A0线性无关 (2)向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示 那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组 只要证向量组A中任意r1个向量线性相关 设b1 b2 br1是A中任意r1个向量 由条件(2)知这r1 个向量能由向量组A0线性表示 所以有 R(b1 b2 br1)R(a1 a2 ar)r 证 从而r1个向量b1 b2 br1线性相关 因此向量组A0是向量组A的一个最大无关组 例2 设齐次线性方程组 的全体解向量构成的向量组为S 求S的秩 解 线性方程组的通解为 因为1 2的四个分量显 然不成比例 故1 2线性无 关 又因为S能由向量组1 2 线性表示 所以1 2是S的最 大无关组 从而RS2 其中c1 c2为任意常数 把上式记作xc11c22 知 Sx| xc11c22 c1 c2R 提示 今后记号R(a1 a2 am)既可理解为矩阵的秩 也可理解 成向量组的秩 设向量组A a1 a2 am构成矩阵A(a1 a2 am) 则有 RAR(a1 a2 am)R(A) (1)向量b能由向量组a1 a2 am线性表示的充要条件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b) (2)向量组b1 b2 bl能由向量组a1 a2 am线性表示的 充要条件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b1 b2 bl) v改用向量组的秩陈述的几个定理 注 在定理(1)、(2)、(3)中 向量组只含有限个向量 事实上 我们可以把有限个向量换成无限个向量 (4)向量组a1 a2 am线性相关的充要条件是 R(a1 a2 am)m (3)若向量组b1 b2 bl能由向量组a1 a2 am线性表示 则 R(b1 b2 bl)R(a1 a2 am) (1)向量b能由向量组a1 a2 am线性表示的充要条件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b) (2)向量组b1 b2 bl能由向量组a1 a2 am线性表示的 充要条件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b1 b2 bl) v改用向量组的秩陈述的几个定理 注 例如 把有限个向量换成无限个向量 定理(3)可叙述为 (3)若向量组B能由向量组A线性表示 则RBRA (4)向量组a1 a2 am线性相关的充要条件是 R(a1 a2 am)m (3)若向量组b1 b2 bl能由向量组a1 a2 am线性表示 则 R(b1 b2 bl)R(a1 a2 am) (1)向量b能由向量组a1 a2 am线性表示的充要条件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b) (2)向量组b1 b2 bl能由向量组a1 a2 am线性表示的 充要条件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b1 b2 bl) v改用向量组的秩陈述的几个定理 提示 例3 设向量组B能由向量组A线性表示 且它们的秩相等 证明向量组A与向量组B等价 设向量组A和B合并成向量组C 因为B组能由A组表示 所以RARC 又已知RBRA 故有RARBRC 因此A组与B组等价 证 向量组A a1 a2 am与向量组B b1 b2 bl等价的充分 必要条件是R(A)R(B)R(A B) 可见R(A)3 故列向量组的最 大无关组含3个向量 例4 求矩阵A的列向量组 的一个最大无关组 并把不属 于最大无关组的列向量用最 大无关组线性表示 其中 因为在A的行阶梯形矩阵 中 三个非零行的首非零元在 1、2、4列 故a1 a2 a4为列向 量组的一个最大无关组 解 对A施行初等行变换 变为行最简形矩阵 这是因为 知R(a1 a2 a4)3 故a1 a2 a4线 性无关 例4 求矩阵A的列向量组 的一个最大无关组 并把不属 于最大无关组的列向量用最 大无关组线性表示 其中 三个非零行的首非零元所对 应的列向量a1 a2 a4为列向量 组的一个最大无关组 解 对A施行初等行变换 变为行最简形矩阵 把A的行最简形矩阵记作 B(b1 b2 b3 b4 b5) 由于方程Ax0与Bx0同解 因此向量a1 a2 a3 a4 a5之间 与向量b1 b2 b3 b4 b5之间有 相同的线性关系 现在 b3b1b2 因此 a3a1a2 a54a13a23a4 b54b13b23b4 第四章向量组的线性相关性 数学与计算机科学系 44 线性方程组的解的结构 n个未知数的齐次线性方程组Ax0有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n n个未知数的非齐次线性方程组Axb有解的充分 必要条件是R(A)R(A b) 且当R(A)R(A b)n时方程 组有唯一解 当R(A)R(A b)n时方程组有无限多解 v齐次线性方程组解的性质 v性质1 若x1 x2为方程Ax0的解 则x12也是Ax0的解 这是因为 000A1A2A(12) v齐次线性方程组解的性质 v性质1 若x1 x2为方程Ax0的解 则x12也是Ax0的解 v性质2 若x1为方程Ax0的解 k为实数 则xk1也是Ax0的解 这是因为 A(k1)k00k(A1) v齐次线性方程组解的性质 v性质1 若x1 x2为方程Ax0的解 则x12也是Ax0的解 v性质2 若x1为方程Ax0的解 k为实数 则xk1也是Ax0的解 设S是方程Ax0的解的集合 S0 1 2 t是S的一个最 大无关组 那么 一方面 方程Ax0的任一解都可由S0线性表示 另一方面 S0的任何线性组合 xk11k22 ktt 都是方程Ax0的解 因此上式便是方程Ax0的通解 说明 说明 当R(A)rn时方程组Ax0的任何nr个线性无关的解 都可构成它的基础解系 v齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方 程组的基础解系 v齐次线性方程组的基础解系 设1 2 t为方程Ax0的基础解系 则方程Ax0的通 解为 xc11c22 ctt (c1 c2 ctR) v定理 设mn矩阵A的秩R(A)r 则n元齐次线性方程组Ax0的 解集S的秩RSnr 用初等行变换把n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A化 为行最简形 则方程组Ax0的通解为 其中xr1 xn为自由未知数 v求基础解系的方法 v求基础解系的方法 其中xr1 xn为自由未知数 方程组Ax0通解可以写成 令(xr1 xr2 xn)T(10 0)T (01 0)T (00 1)T 得到nr个解向量 这就是方程组的基础解系 1(b11 br1 1 0 0)T 2(b12 br2 0 1 0)T nr(b1 nr br nr 0 0 1)T 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解 对系数矩阵A作初等 行变换变为行最简形 解 于是方程组的通解为 其中x3 x4为自由未知数 令(x3 x4)T(7 0)T 得 1(2 5 7 0)T 令(x3 x4)T(0 7)T 得 2(3 4 0 7)T 故方程组的基础解系为1 2 方程组的通解又可表示为 xc11c22 (c1 c2R) 例2 设AmnBnl0 证明R(A)R(B)n 证 记B(b1 b2 bl) 则 A(b1 b2 bl)( 0 0 0) 即 Abi0(i1 2 l) 表明矩阵B的l个列向量都是齐次方程Ax0的解 设方程Ax0的解集为S 由biS 知有R(b1 b2 bl)RS 即R(B)RS 所以 R(A)R(B)n R(A)RSn 又因为 RSnR(A) 例3 证明矩阵Amn与Bln的行向量组等价的充分必要条件 是齐次线性方程Ax0与Bx0同解 证 条件的必要性是显然的 下面证明条件的充分性 设方程Ax0与Bx0同解 从而也与方程 即 R(AT)R(BT)R(AT BT) 知AT与BT的列向量组等价 即A与B的行向量组等价 同解 设解集S的秩为t 则三个系数矩阵的秩都为nt 故 提示(推论) 向量组A a1 a2 am与向量组B b1 b2 bl等价 的充分必要条件是R(A)R(B)R(A B) 例4 证明R(ATA)R(A) 证 设A为mn矩阵 x为n维列向量 若x满足Ax0 则有 ATAx0 即 (ATA)x0 反之 若x满足(ATA)x0 则 xT(ATA)x0 即 (Ax)T(Ax)0 从而推知 Ax0 因此R(ATA)R(A) 综上可知方程组Ax0与(ATA)x0同解 v非齐次线性方程组解的性质 v性质3 设x1及x2都是方程组Axb的解 则x12为对应的 齐次线性方程组Ax0的解 这是因为 bb0A1A2A(12) v非齐次线性方程组解的性质 v性质3 设x1及x2都是方程组Axb的解 则x12为对应的 齐次线性方程组Ax0的解 v性质4 设x是方程组Axb的解 x是方程组Ax0的解 则 x仍是方程组Axb的解 0bbAAA() 这是因为 v非齐次线性方程组解的性质 v性质3 设x1及x2都是方程组Axb的解 则x12为对应的 齐次线性方程组Ax0的解 v性质4 设x是方程组Axb的解 x是方程组Ax0的解 则 x仍是方程组Axb的解 若*是方程组Axb的某个解 1 2 nr是方程组 Ax0的基础解系 则方程组Axb的通解为 xk11k22 knr nr* (k1 knr R) v非齐次线性方程组解的结构 例5 求解方程组 因为增广矩阵 解 可见R(A)R(B)2 所以方程组 有无限多解 其通解为 令x2x40 得非齐次方程组的 令(x2 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对 应齐次方程组的基础解系 1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T 非齐次方程的通解又可写为 xc11c22* 其中c1 c2为任意实数 B 一个解(特解) *(1/2 0 1/2 0)T 对应齐次方程组的通解为 第四章向量组的线性相关性 数学与计算机科学系 45 向量空间 v向量空间的定义 设V为n维向量的集合 如果集合V非空 且集合V对于 加法及乘数两种运算封闭 那么就称集合V为向量空间 所谓封闭 是指在集合V中可以进行加法及乘数两种 运算 具体地说就是 若aV bV 则abV 若aV R 则aV 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 v举例 这是因为 任意两个3维向量之和仍然是3维向量 数乘3维向量也 仍然是3维向量 它们都属于R3 我们可以用有向线段形象地表示3维向量 从而向量空间 R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体 由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应 因此 R3也可看作取定坐标原点的点空间 类似地 n维向量的全体Rn 也是一个向量空间 不过当 n3时 它没有直观的几何意义 例2 集合 Vx| x(0 x2 xn)T x2 xnR 是一个向量空间 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 v举例 这是因为 若a(0 a2 an)T V b(0 b2 bn)T 则 ab(0 a2b2 anbn)TV a(0 a2 an)TV 例2 集合 Vx| x(0 x2 xn)T x2 xnR 是一个向量空间 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 v举例 例3 集合 Vx| x(1 x2 xn)T x2 xnR 不是向量空间 这是因为 若a(1 a2 an)TV 则 2a(2 2a2 2an)T V v举例 例4 齐次线性方程组的解集 Sx| Ax0 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间) 这是因为解集S对向量的线性运算封闭 v举例 例4 齐次线性方程组的解集 Sx| Ax0 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间) 例5 非齐次线性方程组的解集 Sx| Axb 不是向量空间 这是因为 当S为空集时 S不是向量空间 当S非空间 若S 则A(2)2bb 知2S v举例 例6 设a b为两个已知的n维向量 集合 Lx| xab R 是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间) 这是因为 若x11a1b x22a2b 则 x1x2(12)a(12)bL kx1(k1)a(k1)bL 一般地 由向量组a1 a2 am所生成的向量空间为 Lx| x1a12a2 mam 1 2 mR v举例 例6 设a b为两个已知的n维向量 集合 Lx| xab R 是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间) 例7 设向量组a1 a2 am与向量组b1 b2 bs等价 记 L1x| x1a12a2 mam 1 2 mR L2x| x1b12b2 sbs 1 2 sR 试证L1L2 设xL1 则x可由a1 a2 am线性表示 因为a1 a2 am可由b1 b2 bs线性表示 故x可由b1 b2 bs线性表示 所以xL2 这就是说若xL1 则xL2 因此L1L2 类似地可证：若xL2 则xL1 因此L2L1 因为L1L2 L2L1 所以L1L2 证 v子空间 设有向量空间V1及V2 若V1V2 就称V1是V2的子空间 例如 任何由n维向量所组成的向量空间V 总有VRn 所以这样的向量空间总是Rn的子空间 v子空间 设有向量空间V1及V2 若V1V2 就称V