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数学分析 基本初等函数求导公式 数学分析 数学分析 第四节 复合函数求导法则及其应用 一、复合函数求导法则 二、初等函数求导 三、特殊函数求导 四、小 结 重点: 复合函数求导 难点: 特殊函数求导 数学分析 定理1 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则 ) 一、复合函数求导法则 1、复合函数求导 数学分析 证 数学分析 推广 例1 解 数学分析 例3 解 数学分析 1.常数和基本初等函数的导数公式 二、初等函数求导 数学分析 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(),(xvvxuu= 可导，则 （1） vuvu = )(, （2）uccu = )( （3） vuvuuv += )(, （4）)0()( 2 - =v v vuvu v u . ( 是常数) 数学分析 3.复合函数的求导法则 利用上述公式及法则可完全解决初等函数求导问题. 注意:初等函数的导数仍为初等函 数. 数学分析 4. 双曲函数与反双曲函数的导数 数学分析 练习 该导数非常重要，以后将多次用到 数学分析 例4 解 该导数在学积分时将用到 数学分析 例5 解 数学分析 2、微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性 数学分析 例 解 数学分析 导数与微分的区别: 数学分析 1、隐函数的导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 利用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 三、特殊函数求导 数学分析 例6 解 解得 数学分析 例7 解 所求切线方程为 显然通过原点. 数学分析 2、由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 数学分析 由复合函数及反函数的求导法则得 数学分析 例8 解 所求切线方程为 数学分析 例9 解 数学分析 数学分析 3、对数求导法 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的 求导方法求出导数. -对数求导法 适用范围: 数学分析 例10 解等式两边取对数得 数学分析 例11 解等式两边取对数得 数学分析 一般地 数学分析 四、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 数学分析 作
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