BBD25微分及其应用.ppt

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 第五节 一、微分的概念 微分及其应用 第二章 1 我们已知，导数表示函数相当自变量变化的 问题。在某一过程中， 计算相应函数增量直接计算一般比较麻烦。因此我们 当自变量有一很小的增量时， 快慢程度， 但在实践中还会遇到与导数密切相关的 需要寻找一个计算函数增量的即简单， 于是引进了微分的概念。 又有一定精确 度的近似公式。 2 引例1：自由落体运动距离 增量 那么函数的增量为 一. 微分的概念 3 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在取 得增量时, 变到边长由 其 引例 2: 4 的微分, 定义: 若函数在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点可微, 5 定理 : 函数 证: “必要性” 已知在点 可微 , 则 故在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且即 6 定理 : 函数在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且即 “充分性” 已知 即 在点 的可导, 则 7 说明: 时 , 所以时 很小时, 有近似公式 与是等价无穷小, 当 故当 且 8 微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 9 例如, 基本初等函数的微分公式 (见 P108表) 又如, 10 二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 一阶微分形式的不变性 5. 复合函数的微分 则复合函数 无论 是中间变量还是自变量，均有 11 例1.求 解: 12 已知求 解：因为 所以 例2 13 方程两边求微分, 得 已知 所确定求 解： 例3. 例4. 设 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 由方程 所确定求由 14 注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 15 例6. 设由方程 确定, 解: 方程两边求微分, 得 当时由上式得 求 16 三、 微分在近似计算中的应用 当很小时, 使用原则: 得近似等式: 17 特别当很小时, 常用近似公式:很小) 证明: 令 得 18 的近似值 . 解: 设 取 则 例1. 求 19 的近似值 . 解: 例2. 计算 20 例3. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 解: 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g ) 用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 21 内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用-近似计算 22 思考与练习 1. 设函数的图形如下,