线性代数练习题活页答案

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 29 线性代数练习题活页答案 一填空题 1 设 A 为 3 阶方阵且 A?2，则 3A *?1?2A?； *只要与 A 有关的题，首先要想到公式，A?E，从中推 你要的结论。这里 A?1?2A?1 代入 ?1 ?2A?A?1?3A?1? 注意： 为什么是 2 设 ?1?1?2,?2?2?3,?3?3?1， 如 ?1,?2,?3 线性相关，则 ?1,?2,?3 线性 _ 如 ?1,?2,?3 线性 无关，则 ?1,?2,?3 线性 _ 对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?101?1,?2,?3?1,?2,?3?110?，记此为 B?011? 这里 r?r?r， 切不可两边取行列式！因为矩阵不一定是方阵！ 你来做 下面的三个题： 已知向量组 ?1,?2,?,?m 线性无关。设 ?1?1?2,?2?2?3,?,?m?1?m?1?m,?m?m?1 试讨论向量组 ?1,?2,?,?m 的线性相关性。 已知 ?1,?2,?3 线性无关，试问常数 m,2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 29 时，向量组 k?2?1,m?3?2,?1?3 线性无关？线性相关？ 教材 题和 和 题 3 设非齐次线性方程 x?b， r?2， ?1,?2,?3是它的三个解，且 ?1?2?T,?2?3?T,?3?1?T 求该方程组的通解。 对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数 是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质。 你再做教材 题 4 当 k?时， ?能由 ?1?,?2?线性表示 一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题。 你来做：设 ?T， ?1?T， ?2?T， ?3?T， 问 t 为何值时， ?不能由 ?1,?2,?3 线性表示； ?能由 ?1,?2,?3 线性表示且表法 唯 一； ?能由 ?1,?2,?3 线性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。 注意： 关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 29 果不是方阵只有用初等行变换的方法了。 5 设 ?1?1T?式不 1 3T，求 ?2,?3 使 Q?1,?2,?3?为正交矩阵 求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题 ?1 当然要根据题之要求，还要使用 位化过程 你写一写 正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交 你也应该会！ 二选择题 1 设 A,B?0的两个非零矩阵，则必有 A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线性相关 A 的列向量组线性相关， B 的列向量组线性相关 A 的行向量组线性相关， B 的行向量组线性相关 A 的行向量组线性相关， B 的列向量组线性相关 遇到 Am?p?0，就要想到 r?r? 的列向量均是线性方程组 的解。 另外： 遇到 C? 的列组都是 A 的列组的线性组合， C 的行组都是 B 的行组 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 29 的线性组合。从这个角度也可做此题，你来想想。 2 设 r?m?n，则。 A? A? n 对 ?b?R， Ax? ?B?O 和是化标准形的问题。这里 A 是行满秩矩阵，必有 个 m 阶子式所在的行就是 A 的所有 的行，只用列变换可把它所在的 m 列调到前面来 ?Bm?m,C 此时 B 是非奇异矩阵，可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换 把后面的矩阵 C 消为零。故是对的。不对。 对于要知道，如果 A 是行满秩矩阵，则 Ax?b 一定是有解的，这是因 为 m?r?r?m?r?r 至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩与 未知数的个数，由题设 r?m?n，故有无穷多解 也是对的。 对于这是书上定理 只有零矩阵解的充要条件精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 29 是 A 是列满矩阵的 变形 ? 这里 A 是列满秩 ,故也是对的。 对于要了解形如 必须知道这两个结 T 是 r?r。用第二个结论立即知 逆的充要条件是A 是列满秩。这样就是对的。 另外： 对于 Am?果 m?n，一定有Am?m?0 果是方阵的话） 3 设 A 为 n 阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则 交 换 交换 交换 的第行与第行得 ?B 对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。交换 A 和第 1 行和第 2 行得 B，则有 ，从而 ?A?B，由此关系 找A 与 B 的关系： * B*?A?1E?1?E?A*E 由此知是对的。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 29 4 设 A 为方阵， ?1,?2 是齐次线性方程组 的两个不同的解向量，则是 A 的特征向量 ?1与 ?2， ?1?2， ?1?2，、都是 齐次方程组有有两个不的解，当然必有非零解，从而必有特征值 0，对应的特征向 量就是其非零解。这里要选才能保证是非零的。把此题变化一下： 设 ?1,?2 是齐次线性方程组 的两个不同的解向量， r?n?1， 则是 的基础解系。 ?1?2， ?1?2， ?1?2 ?1?1?相似的矩阵是 5 与矩阵 ? ?2? ?110?100?111?100?011? ， ?110? 010 ，010， ?002?002?002?1?12? 首先相似矩阵有相同的特征值，都是 1 和 2，如有不是的就该排除， 这里没有。这就要靠矩阵可对角化的充要条件是任一特征值的重数等于它所对应的 无关特征向量的个数去判别。即 ni?n?，只需考虑多 r?n?n?于单重的不需要考虑 重的。这里只需考虑 ?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 29 三计算题 ? 122?2 222?2 1 计算行列式 23?2 ? 222?n 提示 此行列式特点是对角元不等，其余相等。每一行减第一行。你还有更好的方法吗。 答案 ?2?!） 评注 关于行列式的计算重点掌握化三角形，以及特殊分块行列式的计算 ?1?2 解矩阵方程 ?*?22E ?2?1 ?1?1 其中 A?0?02030000?10?0?，求 X?0? 提示 先化简方程为： X?12E ?2?40?2?20 答案 X?002?0?1?00?0?2? 评注 关于解矩阵方程一定要先化简，变为如下形式之一 , 主要考察矩阵的基本运算，矩阵求逆等知识。 注意 左乘还右乘的关系，这是同学们最容易错的。 3 设向量组 ?1?1,2,3,4?,?2?T,?3?T,?4?T T 求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 29 大无关组线性表示。 第一部分 选择题 一、单项选择题在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 A. m+? m， 0?0?3? n，则行列式 于 020 B. - D. 1?A=?0 ?0 ，则 于 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 29 ?1?0?0? ?0?0?1?3? 1300 0120 A. ?0?0?1?0?0?1?2? B. 0120 1300 010 ? 1200 0130 ?0?0?1? ?3?A=?1 ?2 ?1012?1?4? ， A*是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于的元素是 A. D. 是方阵，如有矩阵关系式 C，则必有 A. A =0 B. B?C 时 A=0C. A?0 时 B=C D. |A|?0 时精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 29 B=C T 4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩等于A. 1 D. 个向量组 1 ， 2 ， ， s 和 1 ， 2 ， ，s 均线性相关，则 的数 1 ， 2 ， ， 11+22+ 和11+22+B. 有不全为 0 的数 1 ， 2 ， ，s 使 1+2+s=0C. 有不全为 0 的数 1 ， 2 ， ，s 使 1+2+s=0D. 有不全为 0 的数 1 ， 2 ， ，s 和不全为 0 的数 1 ， 2 ， ， s 使 11+22+ 和 11+22+. 设矩阵 r，则 A 中 子 式都不为 0 子式全为 r 阶子式不等于 r 阶子式都不为 0 x=b 是一非齐次线性方程组， 1 ， 2 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是 2 是 的一个解 B. 12 1+ 12 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 29 2 是 Ax=b 的一个解 2 是 的一个解 2 是 Ax=设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有 和向量 使 ，则 是 特征值 的特征向量 和非零向量 ，使 =0 ，则 是 A 的特征值 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量 1 ， 2 ， 3 是 A 的 3 个互不相同的特征值，1 ， 2 ， 3 依次是 A 的属于 1 ， 2 ， 3 的特征向量，则 1 ， 2 ， 3 有可能线性相关 0 是矩阵 重根， 0的线性无关的特征向量的个数为 k，则必有 A. kB. 是正交矩阵，则下列结论错误的是 A.|A|2 必为 1B.|A|必为 T 行向 量组是正交单位向量组 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵， B= B 相似B. 不等价 C. A 与 B 有相同的特征值 D. 合同 .? ?2?3 3?4?02?3 0?3?5? B.? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 29 ?3?24?6?120 1?0?2? ?1?C.?0?0 ?1?D.?1?1 第二部分 非选择题 二、填空题不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。 1 1525 16?36 15. 39 1?1? ?1 3? ?1?24? 2 =? ?1?1?1 1 ， B=?+=33 ， |A|=2， 示 |A|中元素 则 2+2+关，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 29 则 是 34 矩阵，其秩为 3，若 1 ， 2 为非齐次线性方程组 Ax= 个不同的解，则它的通解为 . 是 mn 矩阵， A 的秩为 r，则齐次线性方程组的一个基础解系中含有解的个数为 . 、 的长度依次为 2 和 3，则向量 +与 内积 3 阶矩阵 A 的行列式 |A|=8，已知 A 有2 个特征值 4，则另一特征值为 . = ?0?1?2 10?3106?3?8? ，已知 = ?2?1?2? 是它的一个特征向量，则 所对应的特征值 为 . f 的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 . 三、计算题 ?1?A=?3 ?1 242 0?0?1? ， B=? 110?53?0?3? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 29 ?2 3?1? ? ?240?1313 2?4?1?3 |4A|. 3 ?521 . ?4 ?A=?1 ?1 212 ，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 +2B. ?1?3?2=?2?4?0623 2?6?3?4? ?3?0?3=?2?1? ?0?1?4=?4?9? ?2?1?1=?0?3?24?13 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 29 ， ， ， . 试判断 4 是否为 1 ， 2 ， 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。 ?1?2A=? ?2?3 ?1203 . 求：秩； A 的列向量组的一个最大线性无关组。 ?0? =?2 ?2 ?2?34 2?4?3? 的全部特征值为 1， 1 和 和对角矩阵D，使 . 222 ?2 f=写出所用的满秩线性变换。 四、证明题 满足 ，试证明 +A+精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 29 0 是非齐次线性方程组 Ax=1 ，2 是其导出组 的一个基础解系 1=0+1 ， 2=0+2 均是 Ax= 0，1 ， 2 线性无关。 答案： 一、单项选择题 、填空题 15. 16. ?3?1 3?3 7?7? 17. 18. 10 19. 1+c ， c 为任意常数 0. 22. 23. 1 2222?z2?z3?、计算题 ?1? 3 ?1 ?8?=?18?3 242 0?2?0?3?1?16?10?10? ?2?4?0? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 29 . |4A|=43|A|=64|A|，而 1 242 00?21 |A|= 3?1 . 所以 |4A|=64= 110?55 11?512?5 10?0 ?13131 2?4?1?3 ? 5?110?5 110?5 ?1313 1?100 ?521 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 29 = ?11?55 ?10 = ?6?5 ?6?5 2?5 ?30?10?40. +2B 即 B=A，而 ?2 ? 1 ?1 2?12 3?0?1? ?1 ?1?1?1?4?56 ?4?56?3?3?. ?4?212 3?0?3? 所以 ?1? B=1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 29 ?1?3?4?3?1?4?1 ?3?=?2?2 ?8?912?6?6?. ?9? ?2?1?0?3 1?324 302?101000100 0?0?1?1 ? ?04? ?9?0318?140010 ?5?3113 301?10100 ?2? ?1?2?12?3110 ?1?0? ?0?0?1?0? ?0?0 5?1?2?0 ? ?08? ?14?05? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 29 ?2?1?0? 2?1?,1?0? 所以 4=21+2+3 ，组合系数为 . 解二 考虑4= 即 ?2x1? ?1? ?2 ?3x2?.? 方程组有唯一解 T，组合系数为 . 对矩阵 A 施行初等行变换 A ?1?0? ?0?0 ?2039?2300 ?1200 ?1026 0683086?21 2?2?2?2? ?1?0? ?0?02?1?3?0 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 29 ?0?2? ?7?0 ?2300 ?1200 08302? ?3?1?0? =B. 秩 =3，所以秩 =秩 =3. 由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关 系，而 B 是阶梯形， B 的第 1、 2、 4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 A 的第 1、 2、4 列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。 A 的属于特征值 =1 的 2 个线性无关的特征向量为 1=T ， 2=T. 经正交标准化，得 ?25/5?=?/5?1? 0? ， ?25/15? ?=45/15?2? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 29 /3? . = 一 个特征向量为 线性代数练习题库 一、填空题 1设 A、 B 为 n 阶方阵，则 ?A?2 的充要条件是一个 n 级矩阵 A 的行向量组线性无关，则 A 的秩为 n 。 . 设 P、Q 都是可逆矩阵，若 ，则 X? 。 ?1 ?1 2 2 2 ?1221? 4. 设 A?21?2?2?，则 R? 。 ?1?1?4?3? ?1?112? ? 5. 设矩阵 A?3?12?，且 R?2,则 ?,?。 ?53?6? 6. 设 A 为 n 阶矩阵，且 A?1,则 R?_设 5阶行列式 A?3, 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 29 B?4，则 8. 含有 ?0或 r?n。 x? r?r。 10. A 是 n?n 矩阵，对任何 矩阵，方程 AX?b 都有解的充要条 件是 r?n 或 A?0。 1?2?s?0，则向量组 ?1,?2,?,?1?， ?2?， ?3?， ?3?，则该向量组的秩是 2。 13. 设 ?1,?2,?,?m为 且 R?n，则 n?m。 14. n?1 个 n 维向量构成的向量组一定是线性相关的。 1?,?2?,?3?线性相关，则 t? _ 5 _。 二、计算题 1234 ? 23413412 的值。 D=160 41233 1? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 29 ?513?4201?1 的值。 D=40 1?53?3 1 3?5?27?22 1 ?4?1 的值。 D=222 ?3?4 63 ?a 1?n 阶行列式 11?a? 1n?1 ? =a 1 1?1?. 计算 n 阶行列式 D.= n?1 n?.00.品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 29 0. x x a?计算 n 阶行列式 =a) n?1 ? a a ? x ?,?，试求： ?T ?=?3?1 23? ； ?1?2?3? ?0? ?T ? ? 2 =?00? ?000?。 ?000? ?00a?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 26 / 29 设矩阵 A?0， B? ?c?21 2223?， C?0? ?000? ?， 0c?求 ?210? ?12?1?1?1?13?2?是否可逆 , 若可逆，则求出逆矩阵 A=?3?=?34。 ?22?5?41? ?167?1? ?0?21?634? ? 0?2?，用矩阵的初等变换求 A?1?423? =?3 ?23?946?0? 1=, ?2=， ?3=， ?4=是否线性相关，并求 ?1,?2,?3,?4 的一个极大线性无关组。 ?1,?2,?3,?4 线性相关， ?1,?2,?4 为 ?1,?2,?3,?4 的精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 27 / 29 一个极大线性无关组。 ?， ?， ?的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。 。 ?,?为一个极大线性无关组，且 ?2? 1?， ?2?， ?3?， ?5?的极大无关组 , 并求出组中其 余向量被该极大无 ?4?， 关组线性表出的表达式。 ?1,?2,?4 为极大无关组，且 ?3?3?1?2,?5?1?2?4。 三、综合题 1.若 n 阶矩阵 A 满足 A?A?