大学物理练习题4

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 21 大学物理练习题 4 4符合什么规律的运动才是谐振动 ?分别分析下列运动是不是谐振动： 拍皮球时球的运动； 如题 4所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动 题 4 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长 等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 ?2?0述时，其所作的运动就是谐振动 拍皮球时球的运动不是谐振动第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力 小球在题 4所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 21 置点 O；而小球在运动中的回复力为 ?如题 4所 ?S 0 ，所以回复力为 ?式中负号，表示回复 R 力的方向始终与角位移的方向相反即小球在 O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的若以小球为对象，则小球在以 O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律， 示题 中所述， ?S R，故 ?在凹槽切线方向上有 ? 2 g ，则有 R ?2?0度系数 为 两根弹簧，与质量为 m 的小球按题 4所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期 题 4 解：图中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 21 F?2，设串联弹簧的等效倔强系数为 K 串等效位移为 x，则有 F?k 串 2?有 x?x1?x2 x? 所以串联弹簧的等效倔强系数为 1?k 串 k 串 ? k1?小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?弹簧振子系统，故小球作谐振动其振动周期为 T? 2? ? ?2? 2? k 串 中可等效为并联弹簧，同上理，应有 F?2，即x?x1?并联弹簧的倔强系数为 k 并，则有 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 21 k 并 x? k 并 ?k1?k 同上理，其振动周期为 T?2? m k1?- 如题 4所示，物体的质量为 m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为 ?，弹簧的倔强系数为 k，滑轮的转动惯量为 I，半径为 R先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期 题 4 解：分别以物体 m 和滑轮为对象，其受力如题 4所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为 x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为 x 时，有 T1? 1R? ?R? T2?k 中 x0?k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 21 ?dt ? 2 则有 ?2x?0知该系统是作简谐振动，其振动周期为 m?I/?2? ? 4- 质量为 10?10作谐振动，求： 振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； 最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等 ? 3 按 x?规律 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 21 ?5s与 s 两个时刻的位相差； 解：设谐振动的标准方程为 x?知： A?8?,?T? 2? ? ? 1 s,?0?2?/4 ?1?1 又 A?0.8?m?s ?s 2A?s?2 Fm?2 0?2J 1 k?E?0?2J 2E? 当 E?2 即 1211222 x? 22 A?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 21 ?8?32? 4个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A，周期为 T，其振动方程用余弦函数 表示如果 t?0时质点的状态分别是： A； 过平衡位置向正向运动； 过 x? A 处向负向运动； 过 x? 向正向运动 试求出相应的初位相，并写出振动方程 ? 解：因为 ? v?0 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相故有 ?1? ?2?3? ? 3 32 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 21 ?4? 5?4 2? t?) x?22? x?32?5 x?4x?，物体所在的位置及此时所受力的大小和 方向； 由起始位置运动到 x?12 在 x?12 解：由题已知 A?24?10?2m,T? ? 又， t?0时，A,?0?0 故振动方程为 2? ? s?1 x?24?10?2 t?4?10?2?m?2x ?10?10?0N 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 21 2 方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向 由题知， t?0时， ?0?0， ?3 ? 2?3 A?,且 v?0,故 ?t?3 ?2 ?/?s t?323 t?t时 由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 E? 121 kA?m?2?10?10?32?22?0?4J 4- 有一轻弹簧，下面悬挂质量为 物体时，伸长为 这个弹簧和一个质量为 小球由平衡位置向下拉开 ，给予向上的初速度 s?1，求振动周期和振动表达式 0?3? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 21 解：由题知 k? ?m?2 0 4析与解 力对轴之力矩通常有三种情况：其中两种情况下力矩为零：一是力的作用线通过转轴，二是力平行于转轴不满足上述情况下的作用力 对轴之矩不为零，但同时有两个力作用时，只要满足两力矩大小相等，方向相反，两力矩对同一轴的合外力矩也可以为零，由以上规则可知说法是正确对于两种说法，如作用于刚体上的两个力为共点力，当合力为零时，它们对同一轴的合外力矩也一定为零，反之亦然但如这两个力为非共点力，则以上结论不成立，故说法不完全正确综上所述，应选 4刚体中相邻质元之间的一对内力属于作用力与反作用力，且作用点相同，故对同一轴的力矩之和必为零，因此可推知刚体中所有内力矩之和为零，因而不会影响刚体的角加速度或角动量等，故说 法正确对说法来说，题述情况中两个刚体对同一轴的转动惯量因形状、大小不同有可能不同，因而在相同力矩作用下，产生的角加速度不一定相同，因而运动状态未必相同，由此可见应选 4如图所示，在棒下落过程中，重力对轴之矩是变化的，其大小与棒和水平面的夹角有关当棒处于水平位置，重力矩最大，当棒处于竖直位置时，重力矩为零因此在棒在下落过程中重力矩由大到小，由转动定律知，棒的精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 21 角加速亦由大到小，而棒的角速度却由小到大，应选 4对于圆盘一子弹系统来说，并无外力矩作用，故系统 对轴 O 的角动量守恒，故 L 不变，此时应有下式成立，即 00?式中 子弹对点 O 的角动量 为圆盘初始角速度， J 为子弹留在盘中后系统对轴 O 的转动惯量， 子弹射入前盘对轴 O 的转动惯量由于 J 则 故选 4由于卫星一直受到万有引力作用，故其动量不可能守恒，但由于万有引力一直指向地球中心，则万有引力对地球中心的力矩为零，故卫星对地球中心的角动星守恒，即 r 恒量，式中 r 为地球 中心指向卫星的位矢当卫星处于椭圆轨道上不同位置时，由于 r 不同，由角动量守恒知卫星速率不同，其中当卫星处于近地点时速率最大，处于远地点时速率最小，故卫星动能并不守恒，但由万有引力为保守力，则卫星的机械能守恒，即卫星动能与万有引力势能之和维持不变，由此可见，应选 4这是刚体的运动学问题刚体定轴转动的运动学规律与质点的运动学规律有类似的关系，本题为匀变速转动 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 21 解 由于角速度 2 n ，根据角加速度的定义 ? 在匀变速转动中角加速度为 ?02?n?s?发动机曲轴转过的角度为 1?0?0t?t2?t?n? 在 1s 内曲轴转过的圈数为 N?n?n0?t?3902 4与质点运动学相似，刚体定轴转动的运动学问题也可分为两类： 由转动的运动方程，通过求导得到角速度、角加速度； 在确定的初始条件下，由角速度、角加速度通过积分得到转动的运动方程本题由 出发，分别通过求导和积分得到电动机的角加速度和 6.0 s 内转过的圈数 解 根据题意中转速随时间的变化关系，将 t 6.0 s 代入，即得 ?01?e?t/? 角速度随时间变化的规律为 ? ?t/?e?t/2s? t 6.0 s 时转过的角度为 ?01?e?t/066? 则 t 6.0 s 时电动机转过的圈数 N?/2? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 21 4如将原子视为质点，则水分子中的氧原子对 轴和 轴的转动惯量均为零，因此计算水分子对两个轴的转动惯量时，只需考虑氢原子即可 解 由图可得 22此二式相加，可得 2 d?0?11二式相比，可得 则 ? 根据转动惯量的可叠加性，飞轮对轴的转动惯量可视为圆盘与两圆柱体对同轴的转动惯量之和；而匀质圆盘、圆柱体对轴的转动惯量的计算可查书中公式，或根据转动惯量的定义，用简单的积分计算得到 解 根据转动惯量的叠加性，由匀质圆盘、圆柱体对轴的转动惯量公式可得 1?d?1?d?J ?2?2?2?2?2?2? ?1?414?16?2?22 4析 由于转动惯量的可加性，求解第一问可有两种方法：一是由定义式 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 21 J?算，式中 取半径为 r、宽度为 圆环；二是用补偿法可将剩余部分的转动惯量看成是原大圆盘和挖去的小圆盘对同一轴的转动惯量的差值至于第二问需用到平行轴定理 解 挖去后的圆盘如图所示 解 1 由分析知 2?32整个圆盘对 转动惯量为 挖去的小圆盘对 转动惯量 2 1?m?R?2?2?R?2?R?212?由分析知，剩余部分对 的转动惯量为 ?2?32 151?J2?2392152m?2?R?2 由平行轴定理，剩余部分对 OO 轴的转动惯量为 4析 在运动过程中，飞轮和重物的运动形式是不同的飞轮作定轴转动，而重物是作落体运动，它们之间有着内在的联系由于 绳子不可伸长，并且质量可以忽略这样，飞轮的转动惯量，就可根据转动定律和牛顿定律联合来确定，其中重物的加速度，可通过它 下落时的匀加速运动规律来确定 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 21 该题也可用功能关系来处理将飞轮、重物和地球视为系统，绳子张力作用于飞轮、重物的功之和为零，系统的机械能守恒利用匀加速运动的路程、速度和加速度关系，以及线速度和角速度的关系，代入机械能守恒方程中即可解得 解 1 设绳子的拉力为 飞轮而言，根据转动定律，有 而对重物而言，由牛顿 定律，有 T? 由于绳子不可伸长，因此，有 a?重物作匀加速下落，则有 h?12 由上述各式可解得飞轮的转动惯量为 ?2h?1? ?2 解根据系统的机械能守恒定律，有 11?2?0 2 而线速度和角速度的关系为 v? 又根据重物作匀加速运动时，有 v? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 21 由上述各式可得 ?2h?1? ?2 若轴承处存在摩擦，上述测量转动惯量的方法仍可采用这时，只需通过用两个不同质量的重物做两次测量即可消除摩擦力矩带来的影响 4析 由于作用在飞轮上的力矩是恒力矩，因此，根据转动定律可知，飞轮的角加速度是一恒量；又由匀变速转动中角加速度与时间的关系，可解出飞轮所经历的时间该题还可应用角动量定理直接求解 解 1 在匀变速转动中，角加速度 ? 的时间 ?0 ，由转动定律 M?可得飞轮所经历t t?02J?n?解飞轮在恒外力矩作用下，根据角动量定理，有 ? 00t 则 t?02J?n?4该系统的运动包含圆柱体的转动和悬挂物的下落运动 运动形式应依据不同的动力学方程去求解，但是，两物体的运动由柔绳相联系，它们运动量 之间的联系可由角量与线量的关系得到 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 21 解 分别作两物体的受力分析，如图 转动定律得 ?1对悬挂物体而言，依据牛顿定律，有 T?T? . 又由角量与线量之间的关系，得 a?解上述方程组，可得物体下落的加速度 a?2 t 1.0 s 时， B 下落的距离为 12s?式可得绳中的张力为 FT?m?g?a?010 年春季学期期末练习题 4 答案 一、选择题： 、填空题 1、 69.m/s 分、 2指向正西南或南偏西 45 分 3、 分 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 21 1 4、 ? 2 5、 ?1 1分 ?r 分 、 01分 ?0I 分、 0 - 6 分 抗 1 分、 10 、 3 分 三、计算题 1、解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 R 分 T 分 1 h 1 分 2 则将 2h / 1 R / 分 将 、 、 方程组，得 2 2h /t 0 - m / s? = R / 分 由 、 两式，得 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 2