〈常微分方程》应用题及答案.doc

74 常微分方程应用题及答案应 用 题（每题10分）1、设在上有定义且不恒为零，又存在并对任意恒有，求。2、设，其中函数在内满足以下条件（1）求所满足的一阶微分方程；（2）求出的表达式。3、已知连续函数满足条件，求。4、已知函数在内可导，且满足，求。5、设函数在内连续，且对所有，满足条件，求。6、求连续函数，使它满足。7、已知可微函数满足，试求。8、设有微分方程 ， 其中。试求在内的连续函数使之在和内部满足所给方程，且满足条件。9、设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交点为Q，且线段PQ被轴平分。（1）求曲线的方程；（2）已知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长。10、求微分方程的一个解，使得由曲线与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小。11、设曲线L位于平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与轴总相交，交点记为A，已知，且L过点，求L的方程。12、设曲线L的极坐标方程为为L上任一点，为L上一定点，若极径与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。13、设和是二阶齐次线性方程 的两个解，求以及该方程的通解。14、设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求的一般表达式。15、设函数满足，且，求。16、设函数在内具有二阶导数，且， 是的反函数。（1）试将满足的微分方程 ，变换为所满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件的解。17、已知连续函数满足，求.解：设u=tx，则原式化为即 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导 对上式两端关于x求导，得一阶线性方程 所求函数为x2 c为任意常数 18、.对于任意简单闭曲线L，恒有其中 f (x)在有连续的导数，且f (0)=2.求.19、设f (x)满足=f (1-x),求20、设,其中j(x)为连续函数,求j(x)21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如在3小时的时候，有细菌数个，在5小时的时候有个，那么在开始时有多少个细菌？ 应 用 题 答 案1、解： 首先从导数定义出发，证明处处可微，并求出与满足的关系，最后定出。由于不恒为零，设，因而 得到 又由存在，对任意有由此可见处处可微且满足 即 解得 又由 所以 。2、解：（1）于是满足一阶线性微分方程 （2）按一阶线性微分方程的通解公式，由 得 ，于是 .3、解：方程两端同时对求导，得到 由题设知道 。故令 即得 由 得到 于是 .4、解：设， 则 .因为 ，故 .由已知条件得 ，因此 ，即 .解之得 。由，得 。故 。5、解：由题意可知，等式的每一项都是的可导函数，于是等式两边对求导，得 （1）在（1）式中令，由，得 ， （2）则是内的可导函数，（2）式两边对求导，得 ，即 。上式两边求积分，得 由，得。于是 。6、解：令，原方程变为 即 .两边求导数，得到 积分得 .7、解：首先从题设可求得 ， 方程两边求导得 .记 ，得 考虑 ，方程可化为伯努利方程 且 令 变量还原得 或者 .又因为，代入上式可得=。即 8、解：当时， 由 代入得 所以 当 时 通解为 由 处是连续的 .所以 .于是若补充函数值 ，则得到上连续函数是所求的函数是所求的函数。9、解：（1）曲线在点处的法线方程为 ，其中为法线上任意一点的坐标，令，则 ，故Q点坐标为。由题设知 ，即。积分得 （为任意常数）。由 知 ，故曲线的方程为。（2）曲线在上的弧长为.曲线 的参数方程为 ,故其弧长为 .10、解：原方程可以改写为一阶线性方程 ，应用其通解公式得 由所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积为 由 解得驻点，由于，故是唯一的极小值点，因而也是最小值点，于是得所求曲线为。11、解：设点的坐标为由切线的方程为 令 ，则，故点A的坐标为 由 ，有 化简后得 。令 ，得 。解得 。即 。由于所求曲线在第一象限内，故 。再以条件 代入得 。于是曲线方程为 .12、解：由已知条件得 ，两边对求导得 ， 即 ，从而 。因为 ， 所以 由条件，知，故所求曲线L的方程为 。13、解：由 ；分别代入方程得到 得 即 把 代入（1）式得 所以原方程为 又由于不为常数， 是齐次方程的基本解组原方程的通解为 。14、解：曲线上点处的切线方程为过 令 ，得截距 。由题意，知 ， 即 ， 上式对求导，化简得 ， 即 。积分得 ， 因此 （其中为任意常数）。15、解：（解法一）由是 得 ，于是有 解之得 。又 （解法二）同解法，得 又 16、解：（1）由反函数的求导公式 得 。两端关于求导，得 由此得到 。代入原微分方程得 。 （*）（2）方程 的通解为 。设方程（*）的特解为 ，代入方程（*）求得，故 ，从而方程（*）的通解是 。由 得 。故所求值问题的解为。 17、解：设u=tx，则原式化为即 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导 对上式两端关于x求导，得一阶线性方程 所求函数为x2 c为任意常数 18、解：根据积分与路径无关的充要条件有 即 或设x2=t 由一阶线性方程的求解公式有 = f(x)= 由 f(0)=2得 2=c-2c=4f(x)= 19、解：由知有二阶导数 在方程两端对求导得 故有。从而有f(x)=c1cosx+c2sinx 代入方程，且比较系数有 有原方程的通解为f(x)=0 20、解:所给为 （1）由上式知j(x)可导，在两端求导得 即 （2）再对上式两端求导，得此方程的通解为 j(x)=c1cosx+c2sinx+(1/2)ex 由