2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)(理科试.doc

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）第卷1至2页，第卷3至4页，共4页考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效满分150分考试时间120分钟考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回第卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合，集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】选A【解析】，则2如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】选B【解析】若（），则（），则选B3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）【答案】选D 【解析】三视图的判定4设，集合是奇数集，集合是偶数集若命题，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】选D 【解析】含全称量词的命题的否定5函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）（A）（B） （C） （D）【答案】选A【解析】由图可知，又点在图像上，则， 又，则6抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】选B【解析】抛物线的焦点为，双曲线的渐近线，则到直线的距离7函数的图象大致是（ ）【答案】选C【解析】时，再求导即或根据函数单调性可知，选C8从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】选C【解析】排列组合，.9节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】选C【解析】几何概型.。10设函数（，为自然对数的底数）若曲线上存在使得，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】选A【解析】因为，所以，又因为在函数上，所以所以问题转化为在上有解，若在上恒成立，则，则在上无解，同理若在上恒成立，则。所以在上有解等价于所以在上有解即令，所以所以第二部分 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚答在试题卷上无效二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11二项式的展开式中，含的项的系数是_（用数字作答）【答案】【解析】因为二项式，的系数为12在平行四边形中，对角线与交于点，则_【答案】【解析】，则13设，则的值是_【答案】【解析】，则，又，则14已知是定义域为的偶函数，当时，那么，不等式的解集是_【答案】【解析】当时，解得，则的解为所以，即是，即15设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”例如，线段上的任意点都是端点的中位点则有下列命题：若三个点共线，在线段上，则是的中位点；直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】直接由题意可知是真命题假设直角三角形不是等腰直角三角形，斜边上的高与斜边的交点到斜边两端点的距离与中点到斜边两端点的距离相等，但高的交点到直角顶点的距离比中点到直角顶点的距离要小，所以斜边的中点不是中位点，错误存在但不唯一，假设四个点依次是，则线段上的任意一点到的距离之和都是的长，只需要在找出的中位点即可，则的中位点是线段上的任意一点，错误利用三角形的两边之和大于第三边即可得到是真命题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(本小题满分12分) 在等差数列中，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和【解析】或（1）当时，；（2）当时， 17(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且（）求的值；（）若，求向量在方向上的投影【答案】，【解析】（1）由意题可知所以（2）由正弦定理，则，又由余弦定理有，解得 或（舍），故向量在方向上的投影18(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生（）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；（）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望【解析】（1）当时，即输出的数为奇数，奇数有个，则，当时，即输出的数为能整除的偶数，有个，则，当时，即输出的数为剩下的个，则， 即，（2）甲： 乙：根据频率的趋势与概率可知，乙编写的程序更符合算法要求.（3）设输出的值为2为事件，且，则该实验为独立重复事件，次数的分布列为0123， ， ，.19(本小题满分12分) 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段的中点（）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（）设（）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值【解析】（1）由题意可知，直线，又，是的中点，则，又在三棱柱中，且，则，所以直线平面（2）连接，过作于，过作于，连接.由（1）知，平面，所以平面平面，所以平面，则.所以平面，则.故为二面角 的平面角（设为）.设，则由，有，又为的中点，所以为中点， 且，所以，在,在在,从而所以20(本小题满分13分) 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点（）求椭圆的离心率；（）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程【解析】（1）椭圆过焦点，故， 又因椭圆过点 由解得 故椭圆的离心率为（2）当直线的斜率存在时，设直线方程由得解得或再令方程两个根分别为，则令，设由得，将代入上式化简得，其中，21(本小题满分14分)已知函数，其中是实数设，为该函数图象上的两点，且（）指出函数的单调区间；（）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围【解析】解：（1）令，得。又的单调增区间为；减区间为。（2）由（1） 由题意得 （3）设上一点在切线上，且直线与抛物线切于轴左侧，则只有一个负解，有唯一负根，有唯一负根，且，令，在上恒成立，在上递减，故的取值范围为。(试卷由四川省开江中学胡本荣老师整理. 说明：查看或打印试卷请在电脑上先安装字体文件：mtextra) 2013-07-05 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