D85对弧长曲线积分.ppt

8.5 曲线积分 8.5.1 曲线积分的概念与性质 8.5.2 曲线积分的计算法 8.5.3 格林公式 8.5.4 曲线积分与路径无关的条件及 8.5.6* 曲线积分的应用 二元函数的全微分求积 3.理解对坐标的曲线积分的定义; 4.了解对坐标的曲线积分的性质; 5.掌握对坐标的曲线积分的计算方法; 6.了解两类曲线积分的关系; 1.理解对弧长的曲线积分的定义,物理意义和几何意义; 2.掌握对弧长的曲线积分的性质与计算方法； 7.掌握并能正确运用格林公式; 8.掌握平面上关于坐标的曲线积分与路径无关的条件, 基本要求 会求全微分的原函数. 上页 下页 第8.5.1节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 对弧长的曲线积分 第 八章 上页 下页 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 的方法,可得 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 上页 下页 “分割、近似代替、求和、取极限” 注意:是定义在 弧段AB上的函数. 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 都存在, 上对弧长的曲线积分, 记作 若通过对 的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . 和对 上页 下页 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 如果 L 是闭曲线 , 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长的曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 上页 下页 3.对弧长的曲线积分的物理意义和几何意义 物理意义 表示弧的线密度. 其中 几何意义 表示的弧长. 曲线形构件的质量, 4. 性质 （k 为常数) ( 由 组成) 上页 下页 表示 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路:计算定积分 转 化 定理: 且上的连续函数, 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 上页 下页 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 上页 下页 说明: 因此积分限必须满足 (2) 注意到 因此上述计算公式类似于“换元法”. 因此 上页 下页 如果曲线 L 的方程为则有 如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 上页 下页 上页 下页 由上述定理得对弧长的曲线积分的一般计算步骤如下: 第一步 画出积分曲线L的草图； 第二步 写出L的方程; 第三步 化为定积分; 作法： L的方程形式代入,弧微分用同一形式的表达式代入; 把被积函数中的x,y用积分曲线 变量参数化: 一类小放下: 化为定积分时要用参数的最小值 作为定积分的下限. 第四步 计算定积分. (L的方程形式决定定积分形式 ) 例1. 计算其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 上页 下页 其中 L 是 所围成的扇形的整个边界 . 上页 下页 解 由图可知 在 上， 在 上, 故 例2. 求 故 在 上， 综上所述，得 故 上页 下页 上页 下页 例3. 计算其中 L 是抛物线 A(1,2)到点 B (1,-2) 之间的一段弧 . 上从点 解 为了得到单值函数,应把 的方程写成 因此 (因为被积函数为奇函数). 例4. 计算曲线积分 其中为螺旋 的一段弧. 解: 线 上页 下页 例5. 计算其中为球面 解: 化为参数方程 则 上页 下页 例6. 计算其中为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 上页 下页 内容小结 1. 定义 2. 性质 ( l 曲线弧 的长度) 上页 下页 3. 计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 上页 下页 思考与练习 1. 已知椭圆周长为a , 求 提示: 原式