2008级线性代数试题和答案A卷.doc

经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (A卷) 答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, 为其伴随矩阵, , 则 _ 2. 已知均为2维列向量, 矩阵, . 若行列式, 则 _3. 若 则= _4. 设A 为5阶方阵, 且, 则齐次线性方程组（是A的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _5. 设是实正交矩阵, 且则线性方程组的解是 _6. 若使二次型为正定的, 则 的取值范围是 _7. 设3阶方阵A满足, 且05, 则 _答案：（1） （2）-2 （3） k +1 （4） 4 （5） （6） （7）3 二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1. 设A为n阶方阵, B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（ ）(A) (B) (C) 若, 则一定有 (D) 若, 则一定有2. 设行列式, 则第四行各元素代数余子式之和的值为 ( )(A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 3363. 设A为m阶方阵, B为n阶方阵, , 则 等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 4. 设n维列向量组线性无关, 则n维列向量组线性无关的充分必要条件是 （ ）(A) 向量组可由向量组线性表示 (B) 向量组可由向量组线性表示 (C) 矩阵与矩阵等价 (D) 向量组与向量组等价5设A、B 为n阶方阵, 且, 则（ ）(A) (B) (C) (D) 6. 设矩阵, 则A与B （ ）（A）合同且相似 （B）合同但不相似 ( C ) 不合同但相似 （D) 不合同且不相似7设是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为, 则线 性无关的充分必要条件是 （ ）（A） （B） ( C ) (D) 答案：CCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1计算n+1阶行列式 .解 分三种情况讨论：（1）当全不为0时，D为箭型行列式且（2）当中只有一个为0时，不妨假设，则（3）当中有两个以上为0时，显然.综合以上三种情况，我们有2. 设矩阵满足关系式, 其中, 求？解 在等式等号两边同时乘以C, 得,.3设线性方程组 （1）问：, 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解 设题中线性方程组为用消元法, 对线性方程组的增广矩阵施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：由此可知：当b4时, 线性方程组无解;当b=4时, 恒有 线性方程组有解. 若方程组有无穷多个解，通解为： k为任意实数若方程组有无穷多个解，通解为： 为任意实数4设矩阵 求的特征值和特征向量. 其中是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵.解 计算A的特征多项式 故A 的特征值为. 因为所以的特征值为1,-8,-8.由于与相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为,我们有矩阵B的属于的特征向量为, 因此矩阵的属于的特征向量为第三步求出A 的全部特征向量对于，求解线性方程组得特征向量 对于，求解线性方程组得特征向量第四步求出 的全部特征向量，即计算.综合以上分析我们有：矩阵属于特征值2011的特征向量为k, k为任意实数属于特征值2002的特征向量为 为任意实数四、证明题（每题6分，共12分）1. 已知向量组线性无关, 向量组可表示为, 其中是实数. 证明线性无关.证明 用定义. 假设存在 s 个数, 使 , 即 , 也就是.又因为线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即 解得 , 故线性无关.2. 设n 阶矩阵 A 满足且. 证明相似于对角矩阵.证 由可得 (1)可得A 的特征值为 1或 -2，要证明相似于对角矩阵，也就是A可以对角化，即要证明A 有n个线性无关的特征向量。由（1）式有 ， （2）又 （3）综合 （2）和（3）有，不妨假设,则矩阵2E+A 有 r 个线性无关的列向量，由（1）式中第一个等号知这r 个列向量也是特征值1的特征向量