数学课件：1-1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用》第1课时(选修2-3).ppt

1 1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理 第1课时 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理及其简单应用 1理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 1理解两个计数原理的内容及它们的区别(难点) 2两个计数原理的应用(重点) 3应用两个计数原理时，合理选择分类还是分步(易混点) 2010年 3月 3日政协十一届三次会议在北京举行，某政协委员3月 2日要从泉城济南前往北京参加会议他有两类快捷途 径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘 问：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？ 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同 的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完 成这件事共有 种不同的方法. 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. m n mn 1 5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有( ) A 10种 B 20种 C 25种 D 32种 解析： 5名同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共 有2222232种报名方法 答案： D 2已知集合A 1,2,3，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( ) A 5个 B 4个 C 3个 D 2个 解析： 满足题意的集合A可以是1，3，1,2，1,3，2,3 共有5个，故选A. 答案： A 3由数字2,3,4,5,6可组成_个没有重复数字的三位数 解析： 百位上有5种选法，十位上有4种选法，个位上有3种选 法故共有54360个 答案： 60 4 2010年上海世博会共分5个片区，其中浦东区有A片区，B片区，C片区三个片区，每个片区中设置的场馆个数如 下： 问在浦东区共有多少个场馆？ 解析： 浦东区的场馆有三类：A片区有73个，B片区有32个， C片区有139个根据分类加法计数原理，浦东区共有场馆73 32139244个. 片区场馆个数 A73 B32 C139 书架上层放有15本不同的数学书，中层放有16本不同的语文书，下层放有14本不同的化学书，某人从中取出一 本书，有多少种不同的取法？ 策略点睛 解题过程 要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法： 第1类，从上层取一本数学书有15种不同的方法； 第2类，从中层取一本语文书有16种不同的方法； 第3类，从下层取一本化学书有14种不同的方法 其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事， 故从中取一本书的方法种数为15161445. 题后感悟 (1)问题类型如何确定？ 本题要“完成的一件事”是“从书架中取出一本书”，这本书既可以 从上层取，也可以从中层取，还可以从下层取因而它是一个 分类问题，应用分类加法计数原理解决 (2)分类的方法是什么？ 方法一：按书架的“层”分类，即可以取上层的，也可以取中层的，还 可以取下层的，故分三类 方法二：按书的“种类”分类，即可以从数学书中取，也可以从语 文书中取，还可以从化学书中取，故分三类 (3)分类的原则是什么？ 标准一致，不重复，不遗漏 1.某高中毕业生填报志愿时，了解到甲、乙两所大学有自己感兴趣的专业，具体情况如下： 如果这名同学只能选择一所大学的一个专业，那么他的专业选择共有多少种？ 甲大学乙大学 专 业 生物学数学 化学会计学 医学信息技术学 工商管理学 物理学 解析： 由图表可知，分两类，第1类，甲所大学有5个专业， 共有5种专业选择方法； 第2类，乙所大学有3个专业，共有3种专业选择方法； 由分类加法计数原理知，这名同学可能的专业选择有N53 8(种) 书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书 (1)从这些书中任取一本数学、一本语文、一本英语共三本书的不同取法有多少种？ (2)从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？ 本题考查分步乘法计数原理使用这个原理的关键是：依据题 意把完成的一件事恰当地分成若干个步骤 解题过程 (1)完成这个工作可分三个步骤： 第一步，从6本不同的数学书中，任取一本，有6种取法； 第二步，从6本不同的语文书中，任取一本，有6种取法； 第三步，从5本不同的英语书中，任取一本，有5种取法 根据分步乘法计数原理，共有665180(种)不同取法 (2)本题实际上是从17本书中任取3本放在三个不同位置完成这 个工作分三个步骤： 第一步，从17本书中任取1本放在第一个位置上，共有17种不同 的方法； 第二步，从剩下的16本书中任取1本放在第二个位置上，共有16 种不同的方法； 第三步，从最后剩下的15本书中任取1本放在第三个位置上，共 有15种不同的方法 根据分步乘法计数原理，共有1716154 080(种)不同的排法 题后感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路： 2.有四位同学参加三项不同的竞赛 (1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？ (2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？ 解析： (1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条 件限制，所以每位学生均有3个不同的机会要完成这件事必须 是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步而 每位学生均有3个不同机会，所以用分步乘法计数原理故 33333481(种) (2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项 目可挑选4个不同学生中的一个要完成这件事必须是每项竞赛 所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步乘法 计数原理故4444364(种) 一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡 (1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法 (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？ (1)从两个袋子中任取一张卡有两类取法，是分类加法计数原 理； (2)从两个袋子中各取一张卡，要分两步完成，是分步乘法计 数原理 规范解答 (1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况： 第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；2 分 第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法.4分 根据分类加法计数原理，共有101222(种)取法.6分 (2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 第1步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法.8 分 第2步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法 .10分 根据分步乘法计数原理，共有1012120(种)取法.12分 题后感悟 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分 类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类 ”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注 意步与步之间的连续性 3.本例中第(2)问，若某人只要求两张卡(可同为移动卡或联通卡)，放到两个手机内使用，问共有多少种不同的取法 解析： 只要求两张不同的卡，可以分两步完成： 第一步，从包括移动和联通在内的22张卡中任选一张，有22种 选法； 第二步，从剩下的21张卡中任选一张，共有21种选法 根据分步乘法计数原理，共有2221462(种)选法 4现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营 (1)若从中选一人作总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选一名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ 解析： (1)从高一选一人作总负责人有50种选法；从高二选一 人作总负责人有42种选法；从高三选一人作总负责人有30种选 法由分类加法计数原理，可知共有504230122种选法 (2)从高一选一名负责人有50种选法；从高二选一名负责人有42 种选法；从高三选一人作负责人有30种选法由分步乘法计数 原理，可知共有50423063 000种选法 解析： (1)从高一选一人作总负责人有50种选法；从高二选一 人作总负责人有42种选法；从高三选一人作总负责人有30种选 法由分类加法计数原理，可知共有504230122种选法 (2)从高一选一名负责人有50种选法；从高二选一名负责人有42 种选法；从高三选一人作负责人有30种选法由分步乘法计数 原理，可知共有50423063 000种选法 (3) 高一和高二各选一人作中心发言人，有50 422 100种选法 ； 高二和高三各选一人作中心发言人，有42 301 260种选法； 高一和高三各选一人作中心发言人，有50 301 500种选法 故共有2 1001 2601 5004 860种选法 1 两个计数原理的区别 分类加法计数原理分步乘法计数原理 区别 一 完成一件事有两类不同方案，关键词“分类”完成一件事需要两个步骤，关键词“分步” 区别 二 每类方案都能独立地完成这件事，它是独立的 、一次的且每次得到的是最后结果，只需 一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都 完成了，才能完成这件事 区别 三 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的 2.分类加法计数原理的理解及简单应用 分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方 法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中 分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类一般地，标准不同，分类的结果也不同；其 次，分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案简单地说，就是应用分类 加法计数原理时要做到“不重不漏” 3 分步乘法计数原理的理解及简单应用 分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成两个步骤在每一个步骤中任 取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事情 分步时，要根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分成的步骤数也会不同一个合理的分步应当满足：第一，完成这件事 情必需且只需连续做完所分步骤，即分别从各个步骤中选一种完成该步骤的方法，将各步骤方法依次串联在一起就得到完成这 件事情的一种方法；第二，完成任何一个步骤可选用的方法数与其他步骤所选用的方法数无关简而言之，就是应用分步乘法 计数原理时要做到“步骤完整” 用 0到 6这 7个数字，可以能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【错解一】 分4步进行：第1步，排个位，在0,2,4,6中选一个 有4种方法；第2步，排十位，有6种方法；第3步，排百位有5种 方法；第4步，排千位有4种方法，共有方法种数4654 480. 【错解二】 考虑到首位不能排数字0，分4步进行：第1步，排 千位，在1,2,3,4,5,6中选1个，有6种方法；第2步，排个位，在 0,2,4,6中选1个，有4种方法；第3步，排十位，在余下的5个数 字中选1个，有5种方法；第4步，排百位，在余下的4个数字中 选1个，有4种方法；共有6454480种方法 【错因】 错解一忽视数字0不能在首位的约束，按此排法有可 能为“0134”这种不符合要求的情况 错解二忽视了题目“无重复数字的四位数”的约束，按此排法有 可能为“2032”，不符合条件 若先排首位，应考虑排的是1,3,5还是2,4,6，因它直接关系到第 2步排个位的