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文档简介
2.5平面向量应用举例 2.5.1平面几何的向量方法 平面几何中的向量方法 向量概念和运算,都有明确的物理背景和 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算, 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜 明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移 、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线 性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方 法可以解决平面几何中的一些问题。 问题:平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图,你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗? AB CD 猜想: 1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有 何关系?何关系? 2.类比猜想,平行四边形有相似关系吗? 例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B DC已知:平行四边形ABCD。 求证: 解:设 ,则 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 其它线段对应向 量用它们表示。 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗? (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“ 三步曲”: 简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形 例2 如图, ABCD中,点E、F分别 是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗? AB CD E F R T 猜想: AR=RT=TC 解:设 则 由于 与 共线,故设 又因为 共线, 所以设 因为 所以 AB CD E F R T 线, 故AT=RT=TC AB CD E F R T 练习、证明直径所对的圆周角 是直角 A B C O 如图所示,已知O,AB为直径,C 为O上任意一点。求证ACB=90 分析:要证ACB=90,只须证向 量 ,即 。 解:设 则 , 由此可得: 即 ,ACB=90 思考:能否用向量 坐标形式证明? (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹
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