高中数学(人教A版)选修2-1之2.4.2抛物线的几何性质.ppt

2.4.2抛物线的简单几 何性质(1) 一、温故知新 (一) 抛物线的定义 平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离相 等的点的轨迹. (定点F不在定直线l上 ) (二) 抛物线的标准方程 (1)开口向右 y2 = 2px (p0) (2)开口向左 y2 = -2px (p0) (3)开口向上 x2 = 2py (p0) (4)开口向下 x2 = -2py (p0) 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 焦点坐标标 准线线方程 （1） （2） （3） （4） （5，0） x= -5 （0，） 1 8 y= - 1 8 8 x= 5 （- ，0） 5 8 （0，-2） y=2 O y x F M 2、M是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点 M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是 X0 + 2 p （X0， y0) X=-p/2 3. 点M与点F ( 4, 0 )的距离比它到直线l : x +5 = 0的距离小1, 求点M的轨迹方 程. X y F M O l 范围1、 由抛物线y2 =2px（p0） 有 所以抛物线的范围为 二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质? 对称性2、 关于x轴 对称 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称. 则 (-y)2 = 2px 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 顶点3、 定义：抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线 的顶点。 y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）. 离心率4、 P(x,y) 抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比，叫做抛物线 的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1. 抛物线的离心率为一定值，那么什么在影响抛物线形状？ x y OF A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦 AB，称为抛物线的通径， 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图. |AB|=2p 通径5、 2p越大，抛物线张口越大. 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 |PF|=x0+ 焦半径公式： 焦半径6、 x y OF P 归纳: (1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它 也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条 准线； (4)、抛物线的离心率e是确定的为, 、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张 口越大. 例1 已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点， 并且经过点 ，求其标准方程，并用描 点法画图 则将M点代入得： 2 = 2p2 解得p=2 因此所求方程为：y2=4x 列表： 描点及连线： o 解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p0） y x 0 1 2 3 4 5 0 0.25 1 2.25 4 6.25 x y 三、典例精析 例2、某抛物线的顶点是椭圆16x2+9y2=144的中心， 而焦点在为椭圆的左顶点，求此抛物线的方程。 例3、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛 物线上的点M(-3,m)到焦点的距离为5，求抛物线的 方程及m的值。 例4. 过抛物线y2 =4x 的焦点, 斜率为1 的直线,与抛物线相交于A、B两点, 求 线段AB的长 l X y F A O B 法一: 写出AB方程, 解方程组求A,B坐标 求距离|AB| M N 法二:写AB方程, 设A,B坐标 方程组消y,得x的二次方程 求x1+x2 则|AB|=|AM|+|BN|=x1+x2+p 例6、已知抛物线焦点在轴x上，且截直线2x-y+1=0所 得的弦长为 ，求此抛物线的方程。 例5、如图，y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点， 求证：OAOB。 五、归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于； 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；