[高考]2010年高考数学试题分类汇编第十部分解析几何初步.doc

本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 2010 年高考数学年高考数学试题试题分分类汇编类汇编圆锥圆锥曲曲线线 （2010 上海文数）上海文数）2323（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. . 已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点. 22 22 1(0) xy ab ab (0, )Ab(0,)Bb( ,0)Q a （1）若点满足，求点的坐标；M 1 () 2 AMAQAB M （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明： 11 :lyk xpCD 22 :lyk xE 2 12 2 b kk a 为的中点；ECD （3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线 ，使得 与椭圆的两个交点、PxPQFll 1 P 满足？令，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的 2 P 12 PPPPPQ 12 PPPPPQ 10a 5b P 点、满足，求点、的坐标. 1 P 2 P 12 PPPPPQ 1 P 2 P 解析：(1) ；( ,) 22 ab M (2) 由方程组，消 y 得方程， 1 22 22 1 yk xp xy ab 22222222 11 ()2()0a kbxa k pxapb 因为直线交椭圆于、两点， 11 :lyk xpCD 所以0，即， 2222 1 0a kbp 设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)， 则， 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组，消 y 得方程(k2k1)xp， 1 2 yk xp yk x 又因为，所以， 2 2 2 1 b k a k 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 故 E 为 CD 的中点； 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 (3) 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆 内，可以求得直线 OF 的斜率 k2，由 知 F 为 P1P2的中点，根据(2)可得直线 l 的斜率，从而得直线 l 的方程 12 PPPPPQ 2 1 2 2 b k a k ，直线 OF 的斜率，直线 l 的斜率， 1 (1,) 2 F 2 1 2 k 2 1 2 2 1 2 b k a k 解方程组，消 y：x22x480，解得 P1(6,4)、P2(8,3) 22 1 1 2 1 10025 yx xy （2010 湖南文数）湖南文数）19.（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基地，视冰川 面为平面形，以过 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（图 4）。 考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 （I）求考察区域边界曲线的方程： （II）如图 4 所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线 12 PP 沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线上？ 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 （2010 浙江理数）浙江理数）(21) （本题满分 15 分）已知 m1，直线，椭圆， 2 :0 2 m l xmy 2 2 2 :1 x Cy m 分别为椭圆的左、右焦点. 1,2 F FC （）当直线 过右焦点时，求直线 的方程；l 2 Fl （）设直线 与椭圆交于两点，lC,A B 12 AFFV 的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆 12 BFFV,G HOGH 内，求实数的取值范围. m 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位 置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （）解：因为直线经过，所以,得，: l 2 0 2 m xmy 2 2( 1,0)Fm 2 2 1 2 m m 2 2m 又因为，所以，1m 2m 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 故直线 的方程为。l 2 2 20 2 xy （）解：设。 1122 ( ,), (,)A x yB xy 由，消去得 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m x 2 2 210 4 m ymy 则由，知， 2 22 8(1)80 4 m mm 2 8m 且有。 2 1212 1 , 282 mm yyy y A 由于， 12 (,0),( ,0),FcF c 故为的中点，O 12 FF 由，2,2AGGO BHHO 可知 1121 (,), (,), 3333 xyxy Gh 22 2 1212 ()() 99 xxyy GH 设是的中点，则，MGH 1212 (,) 66 xxyy M 由题意可知2,MOGH 即 22 22 12121212 ()() 4()() 6699 xxyyxxyy 即 1212 0x xy y 而 22 12121212 ()() 22 mm x xy ymymyy y 2 2 1 (1 () 82 m m） 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 所以 2 1 0 82 m 即 2 4m 又因为且1m 0 所以。12m 所以的取值范围是。m(1,2) （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数）（21）（本小题满分 12 分） 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C： 22 22 100 xy ab ab ，相交于B、D两点，且BD的中点为 1,3M （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DF BF A，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况， 又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查， 如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定. （20102010 陕西文数）陕西文数）20.（本小题满分 13 分） （）求椭圆 C 的方程； ()设 n 为过原点的直线，l 是与 n 垂直相交与点 P，与椭圆相交 于 A,B 两点的直线 立？ 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 若存在，求出直线 l 的方程；并说出；若不存在，请说明理由。 （20102010 辽宁文数）辽宁文数）（20）（本小题满分 12 分） 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线 与椭圆 相交于, 1 F 2 F 22 22 :1 xy C ab (0)ab 2 FlCA 两点，直线 的倾斜角为，到直线 的距离为.Bl60 1 Fl2 3 （）求椭圆的焦距；C （）如果,求椭圆的方程. 22 2AFF B C 解：（）设焦距为，由已知可得到直线 l 的距离2c 1 F32 3,2.cc故 所以椭圆的焦距为 4.C （）设直线 的方程为 112212 ( ,), (,),0,0,A x yB xyyy由题意知l3(2).yx 联立 22224 22 22 3(2), (3)4 330. 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3(22 )3(22 ) ,. 33 baba yy abab 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 因为 2212 2,2.AFF Byy 所以 即 22 2222 3(22 )3(22 ) 2. 33 baba abab 得 22 3.4,5.aabb而所以 故椭圆的方程为C 22 1. 95 xy （2010 辽宁理数）辽宁理数）(20)（本小题满分 12 分） 设椭圆 C：的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 22 22 1(0) xy ab ab 的倾斜角为 60o,.2AFFB (I)求椭圆 C 的离心率； (II)如果|AB|=，求椭圆 C 的方程. 15 4 解： 设，由题意知0，0. 1122 ( ,), (,)A x yB xy 1 y 2 y （）直线 l 的方程为 ，其中.3()yxc 22 cab 联立得 22 22 3(), 1 yxc xy ab 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因为，所以.2AFFB 12 2yy 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得离心率 . 6 分 2 3 c e a （）因为，所以. 21 1 1 3 AByy 2 22 24 315 343 ab ab 由得.所以，得 a=3，. 2 3 c a 5 3 ba 515 44 a 5b 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 椭圆 C 的方程为. 12 分 22 1 95 xy （2010 全国卷全国卷 2 文数）文数）（22）（本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C：相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为 22 22 1(0,0) xy ab ab M（1.3） （）（）求 C 的离心率； （）（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了了圆锥圆锥曲曲线线、直、直线线与与圆圆的知的知识识，考，考查查学生运用所学知学生运用所学知识识解决解决问题问题的能力。的能力。 （ （1）由直）由直线过线过点（点（1， ，3）及斜率可得直）及斜率可得直线线方程，直方程，直线线与双曲与双曲线线交于交于 BD 两点的中点两点的中点为为（ （1， ，3），可利用直），可利用直线线与双曲与双曲 线线消元后根据中点坐消元后根据中点坐标标公式找出公式找出 A,B 的关系式即求得离心率。的关系式即求得离心率。 （ （2）利用离心率将条件）利用离心率将条件|FA|FB|=17，用含，用含 A 的代数式表示，即可求得的代数式表示，即可求得 A， ，则则 A 点坐点坐标标可得（可得（1， ，0），由于），由于 A 在在 X 轴轴上所以，只要上所以，只要证证明明 2AM=BD 即即证证得。得。 （20102010 江西理数）江西理数）21. （本小题满分 12 分） 设椭圆，抛物线。 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 22 2: Cxbyb （1）若经过的两个焦点，求的离心率； 2 C 1 C 1 C （2）设 A（0，b），,又 M、N 为与不在 y 轴上的两个交点，若AMN 的垂心为 5 3 3 4 Q ， 1 C 2 C ，且QMN 的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。 3 4 Bb 0， 2 C 1 C 2 C 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由 22 cb 。 2 2222 2 12 2, 22 c abcce a 有 (2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设 ,由 11111 (,),( ,)(0)Mx yN x yx 的垂心为 B，有AMN 。 2 111 3 0()()0 4 BM ANxyb yb 由点在抛物线上，解得： 11 ( ,)N x y 22 11 xbyb 11 () 4 b yyb 或舍去 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 故，得重心坐标. 1 555 ,(,),(,) 22424 bb xb MbNbQMN( 3, ) 4 b 由重心在抛物线上得：，又因为 M、N 在椭圆上 2 2 3,=2 4 b bb所以 11 (5,),( 5,) 22 MN 得：，椭圆方程为，抛物线方程为。 2 16 3 a 22 16 3 1 4 xy 2 24xy （2010 安徽文数）安徽文数）17、（本小题满分 12 分） 椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴， 焦点 12 ,F F在x轴上，离心率 1 2 e 。 ()求椭圆E的方程； ()求 12 F AF的角平分线所在直线的方程。 17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质， 直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查 解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示， 22 22 1 xy ab 2,3A 1 2 e , a c 再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线 l 上任一点坐标为，根据角平分 222 abc 22 ,a b( , )x y 线上的点到角两边距离相等得. |346| |2| 5 xy x 解：（）设椭圆 E 的方程为 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 【规律总结】 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1. 11 ,3,1. 2243 13 1,2, 1. 1612 3 ()( 2,0),(2,0),(2), 4 3460.2. xy ab cxy ebacc acc AcE cc xy FAFx xyAFxEAF 由得 将（2，3）代入，有解得：椭圆的方程为 由（）知F所以直线的方程为y= 即直线的方程为由椭圆的图形知，F的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510,280, xy AFx xyxxy AF 数。 设P（x, y）为F的角平分线所在直线上任一点，则有 若得其斜率为负，不合题意，舍去。 于是3x-4y+6=-5x+10, 即2x-y-1=0. 所以，F的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0. 对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这 22 22 1 xy ab 22 ,a b 一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距 离相等得方程. （2010 重庆文数）（21）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分. ） 已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.O( 5,0)FC 5 2 e （）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；C （）如题（21）图，已知过点的直线：与过点（其中） 11 ( ,)M x y 1 l 11 44x xy y 22 (,)N xy 21 xx 的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两 2 l 22 44x xy yECMNGH 点，求的值. OG OH A 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 （2010 浙江浙江 文数）文数） （22）、（本题满分 15 分）已知 m 是非零实数，抛物 线（p0） 2 :2Cyps 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 的焦点 F 在直线上。 2 :0 2 m l xmy （I）若 m=2，求抛物线 C 的方程 （II）设直线 与抛物线 C 交于 A、B，A,的重心分别为 G,Hl 2 A F 1 BB F 求证：对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 （2010 重庆理数）重庆理数）（20）（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分） 已知以原点 O 为中心，为右焦点的双曲线 C 的离心率。 5,0F 5 2 e （I）求双曲线 C 的标准方程及其渐近 线方程； （II）如题（20）图，已知过点 的直线 11 ,M x y 与过点 111 :44lx xy y （其中）的直 22 ,N xy 2 xx 线的交点 E 在 222 :44lx xy y 双曲线 C 上，直线 MN 与两条渐 近线分别交与 G、H 两点，求 的面积。OGH （2010 山东文数）山东文数）（22）（本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆过点. 22 22 1 (0) xy ab ab ，离心率为，左、右焦点分别为、 2 (1,) 2 2 2 1 F .点为直线上且不在轴上的任意 2 FP:2l xyx 一点，直线和与椭圆的交点分别为、 1 PF 2 PFAB 和、，为坐标原点.CDO （I）求椭圆的标准方程； （II）设直线、的斜线分别为、. 1 PF 2 PF 1 k 2 k （i）证明：； 12 13 2 kk （ii）问直线 上是否存在点，使得直线、的斜率、lPOAOBOCOD OA k OB k OC k 满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. OD k0 OAOBOCOD kkkkP （20102010 北京文数）北京文数）（19）（本小题共 14 分） 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线 y=t 椭圆 C 交与不同(2,0)( 2,0) 6 3 的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 （）求椭圆 C 的方程； （）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； （）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。 解：（）因为，且，所以 6 3 c a 2c 22 3,1abac 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 3 x y （）由题意知(0, )( 11)ptt 由 得 2 2 1 3 yt x y 2 3(1)xt 所以圆 P 的半径为 2 3(1)t 解得 所以点 P 的坐标是（0，） 3 2 t 3 2 （）由（）知，圆 P 的方程。因为点在圆 P 上。所以 222 ()3(1)xytt( , )Q x y 222 3(1)3(1)yttxtt 设，则cos ,(0, )t 2 3(1)cos3sin2sin() 6 tt 当，即，且，取最大值 2. 3 1 2 t 0x y （20102010 北京理数北京理数）（19）（本小题共 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积 等于. 1 3 ()求动点 P 的轨迹方程； ()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 （I）解：因为点 B 与 A关于原点对称，所以点得坐标为.( 1,1)OB(1, 1) 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 设点的坐标为P( , )x y 由题意得 111 113 yy xx A 化简得 . 22 34(1)xyx 故动点的轨迹方程为P 22 34(1)xyx （II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.P 00 (,)xyMN(3,) M y(3,) N y 则直线的方程为，直线的方程为AP 0 0 1 1(1) 1 y yx x BP 0 0 1 1(1) 1 y yx x 令得，.3x 00 0 43 1 M yx y x 00 0 23 1 N yx y x 于是得面积PMNA 2 000 0 2 0 |(3)1 |(3) 2|1| PMNMN xyx Syyx x A 又直线的方程为，AB0xy| 2 2AB 点到直线的距离.PAB 00 | 2 xy d 于是的面积PABA 00 1 | 2 PAB SAB dxy A A 当时，得 PABPMN SS AA 2 000 00 2 0 |(3) | |1| xyx xy x 又， 00 | 0xy 所以=，解得。 2 0 (3)x 2 0 |1|x 0 5 | 3 x 因为，所以 22 00 34xy 0 33 9 y 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.PPABAPMNAP 533 ( ,) 39 解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为PPABAPMNAP 00 (,)xy 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 则. 11 | |sin| |sin 22 PAPBAPBPMPNMPNAA 因为,sinsinAPBMPN 所以 | | PAPN PMPB 所以 00 0 |1|3| |3|1| xx xx 即 ，解得 22 00 (3)|1|xx 0 x 5 3 因为，所以 22 00 34xy 0 33 9 y 故存在点S 使得与的面积相等，此时点的坐标为.PPABAPMNAP 533 ( ,) 39 （2010 四川理数）四川理数）（20）（本小题满分 12 分） 已知定点 A(1，0)，F(2，0)，定直线 l：x，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距 1 2 离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N （）求 E 的方程； （）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由. w_w w. k#s5_u.c o*m 本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力. 解：(1)设 P(x,y)，则 22 1 (2)2| 2 xyx 化简得 x2=1(y0)4 分 2 3 y (2)当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 yk(x2)(k0) 与双曲线 x2=1 联立消去 y 得w_w w. k#s5_u.c o*m 2 3 y (3k)2x24k2x(4k23)0 由题意知 3k20 且0 设 B(x1,y1),C(x2,y2)， 则 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 k2(4) 22 22 438 33 kk kk w_w w. k#s5_u.c o*m 2 2 9 3 k k 因为 x1、x21 所以直线 AB 的方程为 y(x1) 1 1 1 y x 因此 M 点的坐标为() 1 1 31 , 2 2(1) y x ,同理可得w_w w. k#s5_u.c o*m 1 1 33 (,) 2 2(1) y FM x 2 2 33 (,) 2 2(1) y FN x 因此 2 12 12 93 () 22(1)(1) y y FM FN xx A 2 2 22 22 81 4 3 4349 4(1) 33 k k kk kk 0 当直线 BC 与 x 轴垂直时，起方程为 x2，则 B(2,3),C(2,3) AB 的方程为 yx1,因此 M 点的坐标为()， 1 3 , 2 2 3 3 (, ) 2 2 FM 同理可得 33 (,) 22 FN 因此0w_w w. k#s5_u.c o*m 2 333 ()() 222 FM FN A 综上0，即 FMFNFM FN A 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F12 分 （20102010 天津文数）天津文数）（21）（本小题满分 14 分） 已知椭圆（ab0）的离心率 e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. 22 22 1 xy ab 3 2 （）求椭圆的方程； （）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. （i）若，求直线 l 的倾斜角； 4 2 AB 5 | = 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 （ii）若点 Q在线段 AB 的垂直平分线上，且.求的值.y0（0，）QA QB=4 Ay0 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜 角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与 运算能力.满分 14 分. （）解：由 e=，得.再由，解得 a=2b. 3 2 c a 22 34ac 222 cab 由题意可知，即 ab=2. 1 224 2 ab 解方程组得 a=2，b=1. 2 , 2, ab ab 所以椭圆的方程为. 2 2 1 4 x y ()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为，直线 l 的斜率为 k. 11 ( ,)x y 则直线 l 的方程为 y=k（x+2）. 于是 A、B 两点的坐标满足方程组消去 y 并整理，得 2 2 (2), 1. 4 yk x x y . 2222 (14)16(164)0kxk xk 由，得.从而. 2 1 2 164 2 14 k x k 2 1 2 28 14 k x k 1 2 4 14 k y k 所以. 2 2 22 222 2844 1 |2 141414 kkk AB kkk 由，得. 4 2 | 5 AB 2 2 4 14 2 145 k k 整理得，即，解得 k=. 42 329230kk 22 (1)(3223)0kk1 所以直线 l 的倾斜角为或. 4 3 4 （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为. 2 22 82 , 1414 kk kk 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0），线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 由，得。 00 2,2,.QAyQBy 4QA QB y2 2 0 （2）当时，线段 AB 的垂直平分线方程为。0k 2 22 218 1414 kk yx kkk 令，解得。0x 0 2 6 14 k y k 由， 0 2,QAy 110 ,QBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 k kkk QA QBxyyy kkkk ， 42 2 2 4 16151 4 14 kk k 整理得。故。所以。 2 72k 14 7 k 0 2 14 5 y 综上，或 0 2 2y 0 2 14 5 y （20102010 天津理数）天津理数）（20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4。 22 22 1(0 xy ab ab ） 3 2 e （1）求椭圆的方程； （2）设直线 与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段l,A BA,0a 0 (0,)Qy 的垂直平分线上，且，求的值AB4QA QB A 0 y 【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方 法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12 分 （1）解：由，得，再由，得 3 e 2 c a 22 34ac 222 cab2ab 由题意可知， 1 224,2 2 abab即 解方程组 得 a=2,b=1 2 2 ab ab 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y (2)解：由（1）可知 A（-2,0）。设 B 点的坐标为（x1,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k(x+2), 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 2 2 (2) 1 4 yk x x y 由方程组消去 Y 并整理，得 2222 (14)16(164)0kxk xk 由得 2 1 2 164 2, 14 k x k 2 11 22 284 , 1414 kk xy kk 从而 设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为 2 22 82 (,) 1414 kk kk 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0）。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 000 ( 2, y ),(2,=2QAQByQA QBy A）由4，得= 2 （2）当 K时，线段 AB 的垂直平分线方程为0 2 22 218 () 1414 kk Yx kkk 令 x=0，解得 0 2 6 14 k y k 由 0110 ( 2, y ),( ,QAQBx yy ） 2 1010 2222 2(28)646 2() 14141414 kkkk QA QBxyyy kkkk A）= 42 22 4(16151) 4 (14) kk k = 整理得 2 0 142 14 72,= 75 kky 故所以 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 综上 00 2 14 =2 2= 5 yy或 （2010 广东理数）广东理数） 21（本小题满分 14 分） 设 A(),B()是平面直角坐标系 xOy 上的两点，先定义由点 A 到点 B 的一种折线距离 p(A,B) 11 ,x y 22 ,xy 为. 2121 ( , ) |P A Bxxyy 当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立. 1212 ()()0,()()0xxxxyyyy, ,A B C （2）当点 C(x, y) 同时满足P+P= P，P= P时，点是线段的( ,)A C( , )C B( , )A B( ,)A C( , )C BCAB 中点. ，即存在点满足条件。 1212 , 22 xxyy xy 1212 (,) 22 xxyy C （2010 广东理数）广东理数）20（本小题满分为 14 分） 一条双曲线的左、右顶点分别为 A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动 2 2 1 2 x y 11 ( ,)P x y 11 ( ,)Q xy 点。 （1）求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式； （2）若过点 H(0, h)（h1）的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点，且 ,求 h 的值。 12 ll 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 故，即。 22 1 (2) 2 yx 2 2 1 2 x y （2）设，则由知，。 1: lykxh 12 ll 2 1 :lyxh k 将代入得 1: lykxh 2 2 1 2 x y ，即， 2 2 ()1 2 x kxh 222 (12)4220kxkhxh 由与 E 只有一个交点知，即来源:高考资源网 KS5U.COM 1 l 2222 164(12)(22)0k hkh 。 22 12kh 同理，由与 E 只有一个交点知，消去得，即，从而来源:高考资源网 KS5U.COM 2 l 2 2 1 12h k 2 h 2 2 1 k k 2 1k ，即。 22 123hk 3h （ （2010 广广东东文数）文数）21.（本小题满分 14 分） 已知曲线 2 :nxyCn,点),( nnn yxP)0, 0( nn yx是曲线 n C上的点,.)2 , 1( n， 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 （20102010 福建文数）福建文数）19（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C：过点 A （1 , -2）。 2 2(0)ypx p （I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 L 的距离等于？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由。 5 5 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数）（21）(本小题满分 12 分) 已知抛物线的焦点为 F，过点的直线 与相交于、两点，点 A 关于轴 2 :4C yx( 1,0)K lCABx 的对称点为 D. （）证明：点 F 在直线 BD 上； （）设，求的内切圆 M 的方程 . 8 9 FA FB ABDK 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 （2010 四川文数）四川文数）（21）（本小题满分 12 分）w_w w. k#s5_u.c o*m 已知定点 A(1，0)，F(2，0)，定直线 l：x，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距 1 2 离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N （）求 E 的方程； （）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由. （2010 湖北文数）湖北文数）20.（本小题满分 13 分） 已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上没一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1。 （）求曲线 C 的方程 （）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。FAFB 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 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