[高考数学]全国名校高考专题训练8-圆锥曲线解答题3数学.doc

本资料来源于七彩教育网全国名校高考专题训练08圆锥曲线三、解答题(第三部分)51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.PQoxyF(1)设（为原点），求点的轨迹方程；(2)若直线的倾斜角为60，求的值.解：(1)设 由，易得右焦点 -（2分）当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为代入E有; -（5分）于是; 消去参数得而也适上式，故R的轨迹方程是-（8分）(2)设椭圆另一个焦点为，在中设，则由余弦定理得 同理，在，设，则也由余弦定理得 于是 -（12分）52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上， （1）求双曲线的离心率e； （2）若此双曲线过C（2，），求双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N，的方程。解：（1）四边形F2ABO是平行四边形四边 形F2ABO是菱形.由双曲线定义得（2），双曲线方程为把点C代入有双曲线方程（3）D1（0，3），D2（0，3），设l的方程为则由因l与与双曲线有两个交点，故所求直线l方程为53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB过抛物线x22py(p0)的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点 (1)求的取值范围； (2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点 求证：0，54、设圆满足:（1）截直线y=x所得弦长为2;（2）被直线y=x分成的一段劣弧所在的扇形面积是圆面积的倍在满足条件（1）、（2）的所有圆中,求圆心到直线x+3y=0的距离最小的圆的的方程解：设所求圆的圆心为P（a,b）,半径为r,则P到直线y=x、直线y=x的距离分别为、（2分）由题设知圆P截直线y=x所得劣弧所对圆心角为90,圆P截直线y=x所得弦长为r,故r2=（）2，即r2=（a+b）2，（4分）又圆P截直线y=x所得弦长为2，所以有r2=1+,从而有（6分）又点P到直线x+3y=0的距离为d=,所以10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+22（8分）当且仅当b=0时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值,由此有a=,r=（10分）于是所求圆的方程为（x）2+y2=2或（x）2+y2=2（12分）55、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知椭圆y2l的左焦点为F，O为坐标原点 ( I )求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； ()设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线xy0上，求直线AB的方程56、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知,点在轴上，点在的正半轴上，点在直线上，且.（1）当在轴上移动时，求点轨迹C；（2）若曲线的准线交轴于，过的直线交曲线于两点，又的中垂线交轴于点，求横坐标取值范围； （3）在（2）中，能否为正三角形.解：(1)设得又由得 即4分(2)由(1)知N（1，0）设得：由由设对AB的中点为AB的中点为令即x03.57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足（）求证：直线经过一定点；（）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值解：, .设A,B两点的坐标为（），（）则 .（1）经过A，B两点的直线方程为 由，得 . 令，得, . 从而. (否则, 有一个为零向量),. 代入，得 ，始终经过定点. （6分）（2）设AB中点的坐标为()，则 . 又, ，即 .AB的中点到直线的距离.将代入，得.因为d的最小值为. （12分）（若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分.）58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知半圆，动圆与此半圆相切且与轴相切。（1）求动圆圆心的轨迹方程。（2）是否存在斜率为的直线，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。（1）设动圆圆心，作轴于点若两圆外切： ，则 化简得： 3分若两圆内切： ，则 5分综上，动圆圆心的轨迹方程是 及 6分其图象为两条抛物线位于轴上方的部分，如图所示。（2）假设直线存在，可设的方程为。 依题意得，它与曲线交于点，与曲线交于点。即 ， 2 =2即+=4 得11分将其代入方程得 因为曲线的横坐标范围为，所以这样的直线不存在。13分59、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由解 （）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得又由知，所以 （） 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上当且时，由，得又，所以T为线段F2Q的中点在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是 （） C上存在点M（）使S=的充要条件是由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M当时，由，得【总结点评】平面向量与椭圆的综合问题是考试大纲所强调的问题，应熟练掌握其解题技巧，一般地，在这类问题种，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想，比如本题（）本质是焦半径公式，核心内容还是椭圆的第二定义的转化思想（） 由“PT其实为线段QF2的垂直平分线”可联想到下面的题目：如右图，Q为长轴为2a椭圆上一动点，QP是F1QF2的外角平分线，且F1PQP，延长F2Q，使F2Q与F1P交于点M，则|QF1|=|QM|，所以点M的轨迹是以F2为圆心2a为半径的圆，进一步可得到P的轨迹是以O为圆心a为半径的圆60、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)已知直线相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，且点M在直线上. （）求椭圆的离心率； （）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.解：（）由知M是AB的中点，设A、B两点的坐标分别为由，M点的坐标为4分又M点的直线l上：7分 （）由（）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为关于直线l：上的对称点为，则有10分由已知，所求的椭圆的方程为12分61、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)在ABC中，B是椭圆在x轴上方的顶点，是双曲线位于x轴下方的准线，当AC在直线上运动时。(1)求ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；(2)过定点作互相垂直的直线，分别交轨迹E于M、N和R、Q，求四边形MRNQ面积的最小值。解：（1）由椭圆方程及双曲线方程可得点直线方程是 且在直线上运动。 可设 则的垂直平分线方程为 的垂直平分线方程为 P是ABC的外接圆圆心，点P的坐标满足方程和由和联立消去得故圆心P的轨迹E的方程为(2)由图可知，直线和的斜率存在且不为零，设的方程为，的方程为由 得 =直线与轨迹E交于两点。设，则。同理可得：四边形MRNQ的面积当且仅当，即时，等号成立。故四边形MNRQ的面积的最小值为72。（13分）62、(湖北省荆门市2008届上期末)已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足：，（0） （1）求此双曲线的离心率； （2）若过点N（，）的双曲线C的虚轴端点分别为B1、B2（B1在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且，求双曲线C和直线AB的方程.解：（1）法一：依题意四边形OF1PM为菱形，设P（x，y）则F1（c，0），M（，y）代入得 化简得e2 4分法二：OF1PM为平行四边形，又（0）知P在的角平分线上四边形OF1PM为菱形，且边长为， 4分由第二定义知即 又 （2）双曲线C的方程为 8分 过B2的直线交曲线C于A、B两点，且设直线AB：代入得设A（x1，y1），B（x2，y2）由 直线AB的方程为63、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图，已知为平面上的两个定点，为动点，且，（是和的交点）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；若点的轨迹上存在两个不同的点，且线段的中垂线与（或的延长线）相交于一点，证明：（为的中点）解：如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系由题设，而点是以为焦点、长轴长为的椭圆，故点的轨迹方程为 （6分）如图2，设，且，即，又在轨迹上，即代入整理得：， （10分），即。64、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：。求椭圆的方程；设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为,设，求的值。65、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知圆A：，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切，直线的方程为xa(a).（） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，（1）求MN的最小值；（2）若MN的中点R在上的射影Q满足MQNQ，求的取值范围.解：（）设动圆P的半径为，则PA，PB=,PAPB=2. 故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为（1）. 3分（）(1)设MN的方程为，代入双曲线方程，得.由，解得. 5分设,则.当时,. 7分(2)由（1）知 ，.由,知.所以，从而.由,得. 13分另解： (1)若MN的斜率存在，设斜率为，则直线MN的方程为，代入双曲线方程,得.由 解得. 5分设,则6.当直线斜率不存在时，2，得3，3.此时6.所以6. 7分(2)当MQNQ时，RQ. 又2，即2 ，所以MN， 故. 将代入，得MN2.由MN2,得1. 13分PQR。FAxy66、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知抛物线x24y上的点P(非原点)处切线与x、y轴分别交于Q、R点，F为抛物线的焦点。（）（）若抛物线上的点面积的最小值，并写出此时过P点的切线方程。解：（）设令。（）知 =显然只需考查函数 时，也取得最小值 。 故此时过P点的切线PR的方程为：67、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（）求点M的轨迹方程；ABCDOxylE（）若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形的三边分别与曲线S切于点.求梯形面积的最小值.解：（1）如图，设M（x,y），又E（0，b）显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,则而的中点在直线l上，故，由于代入即得，又 点M的轨迹方程（）-6分（2）易知曲线S的方程为设梯形的面积为，点P的坐标为. 由题意得，点的坐标为，直线的方程为. 直线的方程为即： 令 得，令 得，当且仅当，即时，取“=”且， 时，有最小值为.梯形的面积的最小值为-13分68、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)已知圆M：（x+）2+y2=36及定点N（，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.（1）求点G的轨迹C的方程.（2）过点K（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（1）为PN的中点，且GQ是PN的中垂线.又点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，的轨迹方程是（5分）（2）四边形OASB为平行四边形，假设存在直线，使；则四边形OASB为矩形.若直线的斜率不存在，则的方程为.，这与=0矛盾，故的斜率存在.（7分）设直线的方程为、. （9分）又（12分）存在直线满足条件. （13分）69、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)在平面直角坐标系中，已知，若实数使得（为坐标原点）（I）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；（）当时，若过点的直线（斜率不等于零）与（I）中点的轨迹交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求OBE与OBF面积之比的取值范围.解：（I）由已知可得 5分即P点的轨迹方程是 7分当 P点的轨迹是两个点 9分，即时，方程为 P点的轨迹是双曲线 11分，即时，方程为, P点的轨迹是两条射线 13分70、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知直线l: y2x与椭圆C:y2 1 (a1)交于P、Q两点, 以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A. (1) 设PQ中点M(x0,y0), 求证: x0 (2)求椭圆C的方程.解: (1)设直线l: y2x与椭圆C: y2 1 (a1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右顶点A(a,0), 将y2x代入x2a2y2a20中整理得(4a21)x24a2x2a20 M(x0,y0)为PQ中点 x0 故x0(2)依题意: 0, 则(x1a)(x2a)y1y20 又y12x1, y22x2故 (x1a)(x2a)(2x1)(2x2)0 由代入 得: 4a44a3a230(a)(4a2a)0 a1, 则4a2a0 故a故所椭圆方程为 y2171、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。过点F的直线交椭圆于A、B两点 （1）若直线的倾斜角，求； （2）求弦AB的中点M的轨迹； （3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围解：（1）直线方程为与联立得 4分（2）设弦AB的中点M的坐标为依题意有 所以弦AB的中点M的轨迹是以为中心，焦点在轴上，长轴长为1，短轴长为的椭圆。 8分（3）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点 则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为 13分72、(吉林省吉林市2008届上期末)抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足 （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程； （2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上； （3）当时，若点P的坐标为（1，1），求PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围.解：（1）由抛物线C的方程得，焦点坐标为 2分 （2）设直线PA的方程为点 的解将式代入式，得，于是 4分又点 的解将式代入式，得，于是 4分由已知得， 设点M的坐标为将式和式代入上式，得所以线段PM的中点在y轴上 8分 （3）因为点P（1，1）在抛物线由式知将代入式得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为故当即12分73、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)设分别是椭圆的左，右焦点。（）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标。（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（）易知。， 3分联立，解得， 5分（）显然 6分可设联立 7分由 得 8分又， 9分又 11分综可知 12分74、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)在中，已知，、两边所在的直线分别与 轴交于原点同侧的点、，且满足。(1)求点的轨迹方程； (2)若是上任一点，动点在线段上，求的最小值。解：（1）设点，当时，轴，当时， 轴，与题意不符，所以;由三点共线有，解得同理由 三点共线，解得， ，化简得点的轨迹方程为 （2）解略。最小值为275、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B过F、B、C作P，其中圆心P的坐标为（m，n）（）当mn0时，求椭圆离心率的范围；（）直线AB与P能否相切？证明你的结论 解：（）设F、B、C的坐标分别为（c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为，2分联立方程组，解出4分，即，即（1b）（bc）0， bc 6分从而即有，7分又， 8分（）直线AB与P不能相切9分由， 10分如果直线AB与P相切，则1 12分解出c0或2，与0c1矛盾，14分所以直线AB与P不能相切 15分评讲建议：此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与P相切，则有AB2AFAC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.（）求此椭圆的离心率；（）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.解：（1）设A、B两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理，得 线段AB的中点坐标为（）. 由已知得 故椭圆的离心率为（2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得。由已知得 ，故所求的椭圆方程为 .77、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点. （）如果直线过抛物线的焦点，求的值； （）如果证明直线必过一定点，并求出该定点.解：（）由题意：抛物线焦点为（1，0）设消去x得则，=（）设消去x，得，则y1+y2=4t ，y1y2=4b。=。令，直线l过定点（2，0）。78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)倾斜角为60的一束平行光线，将一个半径为的球投影在水平地面上，形成一个椭圆若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系（1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A、B两点上，且已知C（4，0），求的取值范围解：（1）设椭圆方程是，由题知b=，2a=，a=2所求椭圆的标准方程是 6（2）设A（x1,y1），B（x2,y2），A、B关于坐标原点O对称，=（x14,y1），=（x24,y2），=（x14,y1）（x24,y2）=x1x24(x1x2)16y1y2= x1x216y1y2 9AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程是y=kx，代入椭圆方程得： = 12由于k可以取任意实数，故12，13）， 14AB与x轴垂直时，|=|=，cosACB=1312，13 1679、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)设A、B是抛物线y=2x2上两点，求证：AB的垂直平分线经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。证明：设A（x1,y1）,B(x2,y2)，AB的中点落在y 轴上即x1x2=0；抛物线y=2x2的焦点 3充分性：当AB的中点落在y 轴上即x1x2=0时，y1=y2，A、B关于y轴对称，直线即为y轴，经过抛物线的焦点。 6必要性：（1）直线的斜率不存在且经过时，直线即为y轴，A、B关于y轴对称，AB的中点落在y 轴上。 （2）直线经过且斜率存在，设斜率为k（显然k0），截距为，即直线：y=kx+由已知得：0 即的斜率存在时，AB的中点不可能落在y 轴上即题设A、B点不存在。 9综上所述，经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。 1080、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)椭圆C：的两个焦点分别为 ,是椭圆上一点，且满足。 （1）求离心率e的取值范围（2）当离心率e取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为5(i)求此时椭圆C的方程(ii)设斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P（0，- ）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由。解：(1)、由几何性质知的取值范围为：e13分(2)、(i) 当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为+ = 1 。设H( x , y )是椭圆上的一点，则| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - byb若0b3 ，则当y = - b时，| NH |2有最大值b2+6b+9 ，所以由b2+6b+9=50解得b = -35(均舍去) 5分若b3，则当y = -3时，| NH |2有最大值2b2+18 ，所以由2b2+18=50解得b2=16所求椭圆方程为+ = 17分(ii) 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，则由两式相减得x0+2ky0=0；8分又直线PQ直线l，直线PQ的方程为y= - x - ，将点Q( x0 , y0 )坐标代入得y0= - x0- 9分由解得Q( - k , )，而点Q必在椭圆的内部 + 1， 10分由此得k2 ，又k0 - k 0或0 k 故当( - , 0 ) ( 0 , )时，A、B两点关于过点P、Q、的直线对称。12分81、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，直线y=kx+b与椭圆交于A、B两点，记AOB的面积为S （I）求在k=0，0b1的条件下，S的最大值； （II）当|AB|=2,S=1时，求直线AB的方程解：（）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，取到最大值（）解：由得， 设到的距离为，则， 又因为，所以，代入式并整理，得，解得，代入式检验，故直线的方程是或或，或82、(山东省聊城市2008届第一期末统考)已知定点A（2，0），动点B是圆F：（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P. （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）直线交于M，N两点，试问在曲线E位于第二象限部分上是否存在一点C，使共线（O为坐标原点）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意因此点P的轨迹是以A，F为焦点