浅谈初中数学的列方程解应用题.doc

乡土教材浅谈初中数学的列方程解应用题目录一、问题的背景：二列方程的步骤、三、列方程中的“设元”四、应用题中的相等关系五、列方程的一般规律：一、问题的背景： 应用性试题，是指有实际背景或实际意义的数学问题。随着课程改革的不断深入，应用性试题所涉及的知识领域越来越广，除了传统的行程、工程、测量、浓度等问题外，还包括具有时代气息的营销决策，生产计划安排，银行存款，租船租车，旅游方案，国民总产值和人口增长率等问题，题目取材于现实生活，情景新颖，立意独特，包含大量的数学知识。它也是今后中考命题的一个热点问题。 应用题常见的题型有：方程型应题、不等式型应用题、函数型应用题、统计型应用题、几何型应用题。而方程应用题是学习其他应用题的基础，学生必须学会列方程解应题。二列方程的步骤、1、认真审题：弄清题意和题中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；2、找相等关系：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；3、列方程：根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；4、解方程：解所列出的方程，求出未知数的值；5、答：根据问题的实际意义，写出答案（包括单位名称）三、列方程中的“设元”设元是学生必须掌握的一种技能，也是列方程解应用题的关键步骤之一。恰当地设元，往往能收到事半功倍的神奇效果。如何设元，需要根据具体问题的条件确定。下面通过具体例题简要说明列方程解应用题中常见的四种设元方法。（一）、直接设元直接设元，就是将题目中要求的量设为未知元，即问什么设什么。例1、 一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？解、设这批夹克每件的成本价是x元，根据题意得，（1+50%）80%x=60 解得 x=50 答：略。（二）、间接设元所设的量不是所求的，但容易找出符合题意的数量关系，这种把题中要求的量以外的其他量设为未知元的方法，称之为间接设元。例2甲，乙二人分别后，甲沿着铁轨方向反向而行。此时，一列火车均速地向甲应面驶来，列车在甲旁驶过，用了15秒；然后在乙身旁开过，用了17秒。已知两人的步行速度都是3.6千米/时，这列火车有多长？解 设这列火车的速度为X米/秒，根据题意，得(X+1)15=(X-1)17 (注：3.6千米/时1米/秒) 解得 X16所以（16+1）15255(米) 答：略（三）、辅助设元辅助设元，也叫设而不求。有些应用题中隐含一些未知的量，这些量对于求解无直接关系，但如果不知指明这些量的存在，则难以求解。因此需把这些未知的量设为未知元，以便建立等量关系，称之为辅助设元.例3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专长音乐会。入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的23。若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，公售出团体票数3/5，零售票每张16元，共售出零售票数的一半。如果在六月份内，团体票按每张16元出售。那么零售票应按每张多少元定价才能使则两个月的票款收入持平？解 设总票数为A张，六月份零售票应按每张X元定价，依题意，得2/3 A3/512+1/3A1/216=2/3A2/516+1/3A1/2X解得 X19.2答：略例4 山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间内流入池塘的水量相同）不停地向池塘中流淌。现池塘中有一定深度地水，若是一台A型抽水机则1小时后正好把池塘中地水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中地水抽完，若用3台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好能把池塘中水抽完？解：设泉水每分钟流进池塘里地水X立方米，每台抽水机每分钟抽水Y立方米，池塘中原存水Z立方米，三台抽水机抽完池塘中水需要T分钟，根据题意得：60X=Z 60Y-220Y-20X=Z 3TY-TX=Z -得 2 将代入得 Z=60X 将代入得 Z=12即用三台A型抽水机同时抽，需要12分钟可把池塘中的水抽完。（四）、整体设元有些应用题未知量太多，而已知关系又太少，如果某一部分未知量存在一个整体关系，则可设这一部分为一个未知元，这样就减少了设元的个数，称为整体设元。例5、有一个六位数，后三位数是857，将这个六位数乘以6以后，恰好前三位数与后三位数互换位置，求原六位数。解：设前三位数为x , 则原六位数为1000x+857，根据题意得， 6（1000x+857）=8571000+x解这个方程得，x=142原六位数=1000142+857=142857答：略。例6、古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的时候就跟丢番图学习数学，有一天他向老师请教一个问题：有四个数，把其中每三个相加，其和分别为22、24、27、20。求这个四位数。解：设这个四位数之和为x，那么这四个数就分别为X22，x-24，x-27，x20，依据题意得x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)解得 x=31 所以这个四位数是9、7、4、11。四、应用题中的相等关系(一)、从关键词语中找等量关系：在应用题中，等量关系往往通过一定的词语表现出来，所以在审题时，说先要留意描述它的语句。这种语句，一般含有“是”、“一共”、“比多”、“比少”、“是几倍”、“比几倍多几”、“增加了”、“减少了”、“增加到”、“减少到”等词语，很容易找到。(二)、从各种公式中找等量关系。如几何形体的周长、面积、体积等公式的本身就表达了等量关系，列方程时经常要用到它。(三)、从线段图中找等量关系。有些比较复杂的应用题，不易立即看出等量关系，可以画出线段图帮助寻找。(四)、从基本数量关系中找等量关系。有的应用题等量关系比较隐蔽，必须熟悉基本的数量关系才能找到。(五)、列方程解应用题的主要类型及其数量关系：1、 行程问题基本关系：路程速度时间基本类型：直线型的相遇问题、追及问题、航行问题，环形问题。常用的相等关系：（1）、相遇问题：同时不同地相向而行：两者路程和两地距离；两者所用时间相等不同时不同地相向而行：两者路程和两地距离 两者所用时间之差先行者先行时间（2）、追及问题：同时不同地：快者路程慢者路程两地距离 快者时间慢者时间同地不同时：快者路程慢者路程 快者时间慢者时间慢者先行时间（3）、航行问题：顺水速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度（4）、环形问题：同时同地同向而行：第一次相遇：快者路程慢者路程环形周长；第二次相遇：快者路程慢者路程2个环行路长 同时同地背向而行：同时同地同向而行：第一次相遇：快者路程慢者路程环形周长。2、工程问题：基本关系：工作量 工作效率工作时间相等关系：各队工作量的和全部工作量3、利润问题 相等关系：利润售价进价；利润利润率进价售价标价打折数 4、年龄问题：这类问题应抓住两个关键：（1）两者年龄之差是一个不变量；（2）两者增长的年龄数相同。 5、数字问题此类问题多采用间接设元，注意数位上的数字关系和含数位的数字关系的不同。 6、比例问题： 比例问题多采用间接设元，例如三角形周长是60，三边之比是3：4：5，求三边之长。可设三边长为3x、4x、5x。列方程为3x+4x+5x60,使问题得到解决。 7、配套问题:甲工件的数量=乙工件数量的几倍8、单位面积产量、总面积和总产量的关系。单位面积产量总面积=总产量9、单价、数量和总价的关系。单价数量=总价10、每份数、份数和总数的关系。每份数份数=总数11、大数、小数和相差数的关系大数小数= 相差数12、部分和总数的关系。一部分另一部分=总数五、列方程的一般规律：列方程解应用题是初中代数的重点内容之一，其关键是根据题意列出方程，而列方程的关键是寻找题目中的相等关系。应用题中的相等关系看似纷杂无绪，但归结起来不外乎两类：一类是题目中涉及的基本的相等关系，一类是题目中蕴含的特殊的相等关系；它们各有用途，前者一般用于寻找列方程需要的代数式，后者则多运用于设未知数和列出方程。以上是列一元一次方程的办法。（一般地、有几个特殊等量关系，就能列几个方程，组成方程组。）例1、（2006年、南京）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，现在停车场有50辆中小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中小汽车各有多少辆？分析：本题的基本等量关系是：总价单价数量，特殊等量关系是：中型车数+小型车数50辆，中型车收费+小型车收费230元。 用特殊等量关系设未知数：设中型汽车有X辆，则小型汽车有(50-X)辆。用特殊等量关系列方程：中型车收费+小型车收费230，并用基本等量关系表示列方程所需的代数式：中型车收费6X元，小型车收费4(50-X)元，则所列方程为6X+4(50-X) 230 例2、某校举办的珠球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某班足球队参加了12场比赛，共得22分。已知这个足球队输了2场，那么这个足球队胜了几场？负了几场？分析：本题的基本等量关系是：应得分数比赛场数每场得分。特殊等量关系是：胜的场数+平的场数+负的场数12场；胜场得分数+平场得分数+负场得分数22分。用特殊等量关系设未知数：设这个足球队胜X场，平(12-X-2)场。用特殊等量关系列方程：胜场得分数+平场得分数+负场得分数22分，并用基本等量关系表示列方程所需的代数式：胜场得分数3X分，平场得分数1(12-X-2)分，负场得分数02分，则所列方程为：3X+1(12-X-2)+ 0222 例3、同学们到距学校15千米的生产基地去支农，一部分学生骑自行车先去，40分钟后，其余的人乘汽车去，结果同时到达。已知汽车得速度是自行车的3倍，求两车的速度。 分析：用s表示路程，v表示速度，t表示时间。本题需要的基本等量关系是svt,用它可以找出列方程所需要的两个代数式：自行车行15千米用的时间是(15/v)小时，汽车行驶15千米用的时间是(15/3v)小时，本题中蕴含着两个特有的相等关系：汽3自 t汽t自- (2/3) 用式设出未知数：自行车速度为v千米/时，那么汽车的速度为3v千米/时；用式可列方程 (15/3v)(15/v)(2/3)。 例4、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时个做多少个？ 分析： 本题的基本等量关系是工作量工作时间工作效率，两个特殊等量关系是：甲的工作效率乙的工作效率+6，甲做90零件的时间乙做60个零件的时间。 用特殊等量关系设未知数：设甲的工作效率为X个/小时，则乙的工作效率为（X-6）个/小时。 用特殊等量关系列方程T甲T乙。用基本等量关系表示列方程所用的代数式， T甲90/X, T乙=60/（X-6）。 根据题意列方程为90/X60/（X-6）例5、如图，将正方形ABCD一角折叠，折痕为AE,BAD比BAE大48，求BAE与BAE度数。 图（1）分析:本题直接运用特殊等量关系可解决问题。特殊等量关系：BAD-BAE48，（隐含等量关系）BAD+2BAE90 (如图（2）) 用特殊等量关系设未知数：设BAD为X度，B图（2）则BAEX-48。用特殊等量关系列方程,则X+2(X-48) 90例6、某校办工厂生产的某种产品，今年的产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的产量达到1400件，求这个百分数。分析：本题的基本等量关系是：明年的产量今年的产量（1+增长百分数）。特殊等量关系：每年的增长百分数相同，三年的产量和1440件。用特殊等量关系设未知数：设每年的增长百分数位X。用特殊等量关系列方程：三年的产量和1440件。并用基本等量关系表示列方程所用的代数式：明年的产量200（1+X），后年的产量200（1+X）2。列方程为：200+200（1+X）+200（1+X）21440由上述可知，基本等量关系揭示了某一类问题的最基本量之间的关系，是列方程的基础，要透彻理解，灵活运用；特有相等关系给出两个同类量之间的关系，是列方程的突破口；特有相等关系，