有理数基本概念答案.doc

有理数基本概念及运算中考要求内容基本要求略高要求较高要求有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小相反数会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题例题精讲板块一、正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像、等的数，叫做正数.在小学学过的数，除外都是正数.正数都大于.负数：像、等在正数前加上“”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于.既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“”，“”号叫做它的符号.正数前面的“”可以省略，注意与表示是同一个正数.用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.譬如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:按定义整数与分数统称有理数. 注：正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数.【例1】 （2级）如果收入2000元，可以记作元，那么支出5000元，记为 .（2级）高于海平面300米的高度记为海拔米，则海拔高度为米表示 .（2级）某地区5月平均温度为，记录表上有5月份5天的记录分别为，那么这5项记录表示的实际温度分别是 .（2级）向南走米，表示 .【解析】 元；低于海平面米的高度；，；向北走米.【例2】 （2级）珠穆朗玛峰海拔高度为米，吐鲁番盆地海拔高度为米，则海平面为 【解析】 米【巩固】 （2级）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“()”字样，请问“”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603，611，589，573，627，问抽查产品的容量是否合格？【解析】 “()”表示：若每瓶饮料容量记为，则.抽查的5瓶容均是合格的.【例3】 （2级）下列个数中：中负分数有 个；负整数有 个；自然数有 个【解析】 2；1；2【例4】 （2级）下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？，【解析】 属于负数的有：，；属于非正数的有：，；属于正分数的有：，；属于非负有理数的有：，【巩固】 （2级）在下表适当的空格里打上“”号整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数【解析】整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数【例5】 （4级）(第16届希望杯培训试题)下列说法中正确的个数是( )当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；没有最大的非负数，也没有最小的非负数；不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；只有负数的绝对值等于它的相反数A0 B1 C2 D3【解析】 4个全错，选择A；【例6】 （2级）若是负数，则 【解析】 因为，则【巩固】 （四中）（2级）在下列各数：，中，负数的个数为 个（三帆）（2级）；一定是负数的是 （填序号）（理工）（2级）下列说法正确的个数是（ ）互为相反数的两个数一定是一正一负 没有倒数 如果是有理数，那么一定是正数，一定是负数 一个数的相反数一定比原数小 一定不是负数有最小的正数，没有最小的负数A个 B个 C个 D个（人大附）（2级）下列说法正确的是（ ）A表示负有理数 B一个数的绝对值一定不是负数C两个数的和一定大于每个加数 D绝对值相等的两个有理数相等（三帆）（2级）两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（ ）A这两个加数的符号都是正的 B这两个加数的符号都是负的C这两个加数的符号不能相同 D这两个加数的符号不能确定【解析】 ；C；B；C板块二、倒数【例7】 （2级）（2010朝阳二模）的倒数是 A B C D【解析】 D【例8】 （2级）（2010东城二模）的倒数是A-5 B5 C D 【解析】 C【例9】 （2级）（2010房山二模）的倒数是 A. 4 B. -4 C. D. 【解析】 C【例10】 （2级）(2010宣武二模)的倒数为A. B. C. D.【解析】 C【例11】 （2级）（2010顺义二模）5的倒数是A B C D【解析】 B【例12】 （2级）（2010西城二模）的倒数是 A. 2010 B. C. D. 2010【解析】 B【例13】 （2级）（金牌奥赛训练教程）一个数的倒数是它本身，则这个数一定是 【解析】 或【例14】 （4级）有理数等于它的倒数，有理数等于它的相反数，则 【解析】【例15】 （6级）若，和互为倒数，的绝对值为，求代数式的值【解析】 根据题意可得：，则原式等于【例16】 （6级）在一列数中，已知，从第二个数起，每个数都等于“与它前面的那个数的差的倒数” 求的值 根据以上计算结果，求的值【解析】 直接根据计算得 因为，所以这一列数以中所得的三个数为一组循环出现，依次为 因为被除余，所以，板块三 数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.注意：原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.数轴的画法及常见错误分析画一条水平的直线；在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：确定向右的方向为正方向，用箭头表示；选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：错例原因无原点没有正方向单位长度不统一没有单位长度有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.【例17】 （2级）在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“”号连接起来.，（2级）(2006年乌鲁木齐中考题)如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_.【解析】 先画出数轴，在数轴上方标注所求数（如图下所示），根据数轴上的大小顺序，按从左到右依次用“”号连接起来.即:，.【例18】 （2级）数轴上有一点它表示的有理数是，将点向左移动个单位得到点，再向右移动个单位，得到点，则点表示的数是，点表示的数是【解析】【巩固】 （2级）如右图所示，数轴上的点和分别对应有理数、，那么以下结论正确的是( )A.， B.，C.， D.， 【解析】 利用数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，判断可得出结论.选D.【例19】 （2级）数所对应的点在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系为（ ） A. B. C. D.不确定的【解析】 A【巩固】 （8级）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点对应的数分别为整数，并且，那么数轴的原点对应点为（ ）A.A点 B.B点 C.C点 D.D点【解析】 C【巩固】 （2级）在数轴上，下面说法中不正确的是( ) A两个正数，小的离原点B两个有理数，大数对应的点在右边 C两个负数，较大的数对应的点离原点近D两个有理数，大的离原点较远【解析】 选D.【巩固】 （2级）数轴上有一点到原点的距离是，那么这个点表示的数是 _.【解析】 .【巩固】 （4级）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点如果有一条数轴的单位长度是1厘米时，有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？【解析】【巩固】 （6级）（广西竞赛题）已知数轴上有两点，之间的距离为，点与原点的距离为，那么点所对应的数为 【解析】 或或或【例20】 （4级）一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续向前走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市以超市为原点，向东作为正方向，用个单位长度表示，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置小明家距离小彬家多远？货车一共行驶了多少千米？【解析】 如图所示： 小明距离小彬家 货车共行驶了【例21】 （4级）初一（4）班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参加活动，游戏结束后，5个队的得分如下：队：-50分；队：150分；队：-300分；队：0分；队：100分 将5个队按由低分到高分的顺序排序； 把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；从数轴上看队与队相差多少分？队与队呢？【解析】 队 队 队 队 队；如图所示：队与队相差200分，队与队相差400分【巩固】 （6级）在数轴上，点和点都在与对应的点上，若点以每秒个单位长度的速度向右运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，则秒之后，点和点所处的位置对应的数是什么？这时线段的长度是多少？【解析】 点对应的数是，点对应的数是，线段的长度是【例22】 （8级）（2005年重庆市竞赛试题）在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 【解析】【巩固】 （6级）数轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（ ） A. 2002或2003B. 2003或2004 C. 2004或2005D. 2005或2006【解析】 C。若线段的端点与整点重合，则线段盖住2005个点；若端点不与整点重合，则盖住2004个点。【例23】 （6级）(第6届希望杯)数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段，则线段盖住的整点有( )个A1994或1995 B1994或1996 C1995或1996 D1995或1997【解析】 答案为C【例24】 （6级）（“CASIO杯”河南省竞赛题）在数轴上，点与点的距离为点与所对应点之间的距离的倍，那么点表示的数是多少？【解析】 与板块四、相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数特别地，0的相反数是0.相反数的性质：代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0相反数必须成对出现，不能单独存在例如和互为相反数，或者说是的相反数，是 的相反数，而单独的一个数不能说是相反数另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开例如与互为相反数，而与虽然符号不同，但它们不是相反数几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等这两点是关于原点对称的求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式注意不一定是负数当时，；当时，；当时，.互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则，反之，若，则与互为相反数多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.【例25】 （2级）（2010丰台二模）的相反数是 A B C D（2级）（2010密云二模）的相反数是 A 3 B 3 C 3 D 【解析】 C，【例26】 （6级）第17届希望杯和是满足0的有理数，现有四个命题：的相反数是；的相反数是的相反数与的相反数的差；的相反数是的相反数和的相反数的乘积；的倒数是的倒数和的倒数的乘积其中真命题有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【解析】 、正确，选择C【巩固】 （2级）的相反数是 ，的相反数是 ，的相反数是 .【解析】 ，.【巩固】 （2级）若，且，则( ).A.与相等 B.与互为相反数 C. 与相等 D.与相等【解析】 选择A.【巩固】 （2级）若，且，那么，.【解析】 ，.【例27】 （2级）如果，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数；【解析】 ，是正数；，是负数；，是负数；（4），是正数；，是正数.【巩固】 （2级）下列说法错误的是( )A.与互为相反数 B.与互为相反数C.与互为相反数 D.与互为相反数【解析】 选择C.【例28】 （4级）已知与互为相反数，求【解析】 因为与互为相反数所以从而得到所以原式等于【例29】 （6级）和之和的次方等于，与的相反数之和的次方等于，则 【解析】 由题意得所以得所以，所以【例30】 （6级）（湖北黄冈竞赛试题）已知互为相反数，互为负倒数，的绝对值等于，求 的值【解析】 因为化简得原式等于或者板块五、科学计数法、有效数字科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是整数），此种记法叫做科学记数法例如：就是科学记数法表示数的形式也是科学记数法表示数的形式有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字如：有两个有效数字：2，7 ；有5个有效数字：1，2，0，2，7注意：万，亿常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别记忆方法：移动几位小数点问题比如：要科学记数法，实际就是小数点向左移动到和之间，移动了位，故记为 【例31】 （2级）（2008年广东中考题）2008年5月10日北京奥运会火炬接力传递活动在美丽的海滨城市汕头举行，整个火炬传递路线全长约米，用科学记数法表示火炬传递路程是（ ）A米 B米 C米 D米 （2级）（2008年北京中考题）截止到2008年5月19日，已有名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最将用科学记数法表示应为（ ）ABCD【解析】 C；D【巩固】 （2级）（2007年北京中考试题）国家游泳中心“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给平方米，将用科学记数法表示应为（ ）A B C D【解析】 D【例32】 （2级）（2010昌平二模）上海世博会的开幕式中，烟花的燃放是美景之一，而我们是先看到烟花，再听见声音，其原因是光的传播速度大于声音的传播速度. 在常温下光的传播速度约为300 000 000m/s，声音的传播速度约为340m/s. 将300 000 000用科学记数法表示为（ ）A BCD（2级）（2010朝阳二模）全球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水、保护水，是我们每一位公民义不容辞的责任其中数字0.00003用科学记数法表示为（ ）A B C D （2级）（2010东城二模）2010年北京市高考人数约8万人，其中统考生仅7.4万人，创六年来人数最低. 请将74 000用科学记数法表示为（ ） A B C D（2级）（2010丰台二模）某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，将0.0000000031用科学记数法表示为（ ） A3.1109 B0.3110-8 C3.1109 D3.110-9（2级）（2010门头沟二模）某种流感病毒的直径是0.00000008m，用科学记数法表示0.00000008为（ ）ABCD（2级）（2010密云二模）据上海世博会旅游推广工作领导小组透露， 2010年上海世博会参观人数有望突破7000万人次，把7000万用科学记数法表示应为（ ） A B C D （2级）（2010海淀二模）据统计，到目前为止，北京市的常住人口和外来人口的总和已经超过22 000 000人.将22 000 000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. （2级）（2010石景山二模）我国最长的河流长江全长约为6300千米将6300用科学记数法表示应为（ ） A B C D（2级）（2010延庆二模）在商品零售场所塑料购物袋有偿使用管理办法实施以后，某家超市一周内塑料袋的使用量约减少了57000个将57000用科学记数法表示为（ ）A B C D 【解析】 C；B；A；D；C；D；B；B；B【例33】 （2级）指出下列各近似值精确到哪一位： ； ； ； 万； ； 【解析】 十分位； 千分位； 万位； 十位； 千分位； 个位【巩固】 （2级）指出下列近似数有几个有效数字： ； ； ； 万； ； 【解析】 个； 个； 个； 个； 个； 个【例34】 （2级）近似数万精确到 位；有 个有效数字，分别是 【解析】 精确到百位；有个有效数字；分别是【例35】 （2级）下列说法正确的是（ ）A 近似数与近似数的精确度相同B 近似数与近似数中都有三个有效数字C 近似数与近似数中有效数字的个数相同D 四舍五入精确到个位，所得近似数有一个有效数字【解析】 C【例36】 （2级）（2006年广西课改）今年秋季，广西有一百三十余万名义务教育阶段的贫困学生享受到国家免费教科书政策，预计免费教科书发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为_册（保留2个有效数字）【解析】 ，若要求保留3位有效数字，结果应记为【巩固】 （2级）用四舍五入法，对，保留四位有效数字 ；保留两位有效数字 【解析】 ，【例37】 （2级）按照括号内的要求对下列个数取近似值（精确到千分位）； （保留三个有效数字） （精确到） （保留两个有效数字）【解析】 ；【巩固】 （2级）近似数万，它精确到 位；有 个有效数字【解析】 千位；两个有效数字课后练习练习 1 （2级）下面各量具有相反意义的是( )A.向北走3千米，向东走3千米 B.七年级班男生有25人，女生有15人C.上午气温零上，下午气温零上 D.上升200