数列与三角函数练习题难题.doc

例1已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求数列an和bn的通项公式；解：(1)a1=f(d1)=(d2)2，a3=f(d+1)=d2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=bqn1=4(2)n1例2设An为数列an的前n项和，An= (an1)，数列bn的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列an的通项公式；(2)把数列an与bn的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列dn的通项公式为dn=32n+1;解：(1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1an= (an+1an)，即=3，而a1=A1= (a11)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列an的通项公式an=3n.(2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=4n+3，32n+1bn.而数32n=(41)2n=42n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而数列an=a2n+1a2n，dn=32n+1.例3数列an满足a1=2，对于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知数列bn的通项为bn=2n1+1.(1)求数列an的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由.解：(1）可解得，从而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1.(3)TnSn=2nn21，验证可知，n=1时，T1=S1，n=2时T2S2；n=3时，T3S3;n=4时，T4S4；n=5时，T5S5；n=6时T6S6.猜想当n5时，TnSn，即2nn2+1可用数学归纳法证明(略）.例4数列an中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn=a1+a2+an,求Sn;(3)设bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整数m，使得对任意nN*均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.解：(1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差数列，d=2,an=102n.(2)由an=102n0可得n5，当n5时，Sn=n2+9n，当n5时，Sn=n29n+40，故Sn=(3)bn=；要使Tn总成立，需T1=成立，即m8且mZ，故适合条件的m的最大值为7.例5已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项bn；(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1),记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列bn的公差为d，由题意得：解得b1=1,d=3,bn=3n2.(2)由bn=3n2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+)，logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+)(1+)与的大小，取n=1时，有(1+1)取n=2时，有(1+1)(1+) 由此推测(1+1)(1+)(1+)若式成立，则由对数函数性质可判定：当a1时，Snlogabn+1，当0a1时，Snlogabn+1，例1已知ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB().(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域.解：(1)A+C=2B，B=60，A+C=1200|60，x=cos(，1又4x230，x，定义域为(，)(，1.(2)设x1x2，f(x2)f(x1)=，若x1，x2()，则4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)，若x1，x2(，1，则4x1230.4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0.即f(x2)f(x1)，f(x)在(,)和(，1上都是减函数.(3)由(2)知，f(x)f()=或f(x)f(1)=2.故f(x)的值域为(，)2，+.例2在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_.解析：A+B+C=，A+C=2B，3、已知ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.，求cos的值.解法一：由题设条件知B=60，A+C=120.设=，则AC=2，可得A=60+，C=60，依题设条件有整理得4cos2+2cos3=0(M)(2cos)(2cos+3)=0，2cos+30，2cos=0.从而得cos.解法二：由题设条件知B=60，A+C=120，把式化为cosA+cosC=2cosAcosC ，利用和差化积及积化和差公式，式可化为 ， 将cos=cos60=，cos(A+C)=代入式得：将cos(AC)=2cos2()1代入 ：4cos2()+2cos3=0，(*)， 例4、在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，则cos2(B+C)=_.解析：A为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180.cos(2A+C)=，sin(2A+C)=.C为最大角，B为锐角，又sinB=.故cosB=.即sin(A+C)=，cos(A+C)=.cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=，cos2(B+C)=2cos2(B+C)1=.5、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积：S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=，又0A180，A=120故S=16sin120=8.6、如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：R=rcos，由此得：，7、在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.(1)求角A的度数；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.8、在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又AC=，试求A、B、C的值解：由a、b、3c成等比数列，得：b2=3acsin2B=3sinCsinA=3()cos(A+C)cos(AC)B=(A+C).sin2(A+C)=cos(A+C)cos即1cos2(A+C)=cos(A+C)，解得cos(A+C)=.0A+C，A+C=.又AC=A=，B=，C=. 9、在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值. .解：按题意，设折叠后A点