解不等式知识点、题型详解.doc

不等式的解法1、一元一次不等式方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。【例1-1】（1）解：此时，因为的符号不知道，所以要分：=0，0, 1, 当=0时， 01.所以，此时不等式无解. 当0时， , 当0时，0； (2) 32-4-10； (3) 2-2+10； (4) 2-2+10； (5) 2-2+30； (6) 2-2+30.解析：（1）（2）代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过（1）对应的一元二次方程容易因式分解求两根，（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.（1）因为对此不等式对应的一元二次方程2-3-5=0因式分解得(2-5)(+1)=0. 所以该方程的两根为：1=,或2=-1.又因为此不等式对应的一元二次函数=22-3-5的抛物线开口向上， 所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，可以直接写出不等式22-3-50的范围： ，或0, 一元二次方程32-4-1=0有两个不同的实数根为 1=, 或2=. 此不等式中的取值范围是 ； （3）2-2+1=0的判别式D=0. 2-2+1=0有两个相等的实数根， 1=2=1.所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，不等式2-2+10中的取值范围是 11,即=1；（4）与（3）类似分析，可知不等式2-2+10中的取值范围是1，或1,即1； （5）因为方程2-2+3=0的判别式D0，不等式2-2+30中的取值范围是 R；（6）与（5）类似分析，可知 不等式2-2+30中的取值范围是空集.【例2-2】解下列关于的不等式：解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式. 解这类题的关键是：把参数以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法来做.（3）式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且2的系数含有参数. 这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式. 综合上述分析，我们应以2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数值作为讨论的依据. 求出的参数把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论.由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了.总结：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数值作为讨论的依据.求出的参数把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法：基本步骤：将不等式右边化为，左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积. 把每个因式的最高次项系数化为正数. 将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上. 从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴； 遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回. 即规律“奇穿偶不穿”. 根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.【例3-1】解下列关于的不等式：解析：这种类型的不等式如果用上述的方法1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易出现错误.所以，常用数轴表根法(又称零点分段法)来做这类题.所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函数值的符号变化规律即：曲线与轴的交点将轴分成若干区域，曲线在轴上方所对应区间内的值，使函数值大于0；曲线在轴下方所对应区间内的值，使函数值小于0；曲线与轴的交点所对应的值，使函数值等于0.按照上述的方法，易解出以上各题.参考答案：4. 分式不等式的解法：一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。基本步骤：（1）标准化：移项、通分使右边为0，即0(或0)； 0(或0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）（3）分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。【例4-1】解下列关于的不等式：（1）. 解析：这种题型的基本做法是化为一元一次不等式组或一元二次不等式来解.（1）方法1：原不等式等价于 .从而再利用一元一次不等式组的解法得到原不等式中的的范围为10.从而再利用一元二次不等式的解法得到原不等式中的的范围为14；比较这两种方法，可以看出方法2运算的较快一点，而且不容易出错.（2）与（1）类似两种方法都可以用.只不过，要注意分母不能为0.现在只用方法2来解: 原式等价于，因此，原不等式中的的范围为（3）首先要移项、通分，变为（2）式的形式，然后再用做（2）的方法来做.注意：因为分母的正负不知道，所以不能两边同时乘以分母！原式等价于总结：这种题型要注意两点：（1）要注意分母不能为0.（2）当不等号后面是不为0的式子（常数或关于未知数的式子），并且分母的正负不知道时，不能不等式两边同时乘以分母，而只能移项、通分，变为基本的形式来做.【例4-2】关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_.5.含绝对值不等式的解法题型一：形如与型的不等式的解法.【公式法】【例5-1】解下列关于的不等式：（1）|2-1|11； （3）|2-1|0；（4）|2-1 |0； （5）|2-1 |c(或c）以及|+b|c(或c）类型的绝对值不等式中（其中,b,c为常数，且0），（1）（2）代表常数c大于0的题型，（3）（4）代表常数c等于0的题型；（5）（6）代表常数c小于0的题型. 总结：解这类绝对值不等式常用教材上给出的公式：但是，我们要知道，当0,或=0时，这两个公式也可以用. 一般地，当绝对值后的常数大于0时，用公式；当绝对值后的常数小于或等于0时，直接用“任何式子的绝对值不小于0”来解更好.题型二：形如或 【公式法】【例5-2】解下列关于的不等式： 解析：因为这种形式还是含有绝对值的不等式，所以仍然可以用思路“讨论去绝对值”来解.对于题（4），我们还可以用公式法去绝对值，变成一元二次不等式组来解. 总结：对于含有绝对值符号的题目，讨论去绝对值是一个基本的、重要的思路！要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是不等式的解集.当只含有一个绝对值符号的式子内是关于的一次或者二次的式子时，如果不等号后面的式子是常数，还可以用公式法去绝对值来解.题型三：形如c|d或c|d类型的绝对值不等式题型（其中，b，c，d为常数，且0）【“零点分区间法”分类讨论、公式法】【例5-3】 解下列关于的不等式：解析：这种类型的不等式基本的解法是化为上述最基本的绝对值不等式（组）来解，但是，如果用初中的知识点讨论去绝对值来解，则会有意想不到的收获.总结：解与绝对值有关的题目的一个非常重要的思路是“讨论去绝对值”，在去掉绝对值后，这样就可以变为最基本的题型来做了. 要注意：一种情况内部取交集，所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集. 这类题中常考的是题（1）的形式，对于这种形式的题目，还可以进一步简化解题步骤. 如题（1）还可以直接得出：！题型四：形如| |c+d| (或=)e形式的绝对值（不）等式题型的解法总结（其中，b，c，d，e为常数，且0,c0）【根据绝对值的几何意义， 或数形结合思想方法】【例5-4】 解下列关于的（不）等式：解析：这是含有两个绝对值符号的（不）等式，并且（不）等号后面为常数的题型.这种题型的基本解法有两种：讨论去绝对值和利用绝对值的几何意义来解. 方法二，利用绝对值的几何意义：.如：.对于（2）（3）（4）这三题，以上两种方法都可以用，读者可以自己试着做一做.参考答案：.总结：在解这种题型时，分类讨论去绝对值的原则是：令绝对值内的式子为0时，所得到的值把数轴分为几部分，与此相对应我们就分几种情况来讨论. 要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集.利用绝对值的几何意义来解这类题时，一定要牢记：.比较这两种方法，我们可知：利用绝对值的几何意义来解这类题,相对要好一点.题型五：形如| |c+d| (或=)类型的绝对值不等式题型解法总结（其中，b，c，d，e，为常数，且，c，e0）.【例5-5】解下列关于的不等式： 解析：这类题与上一类题的共同点在于：都含有两个绝对值符号. 不同之处在于：这类题的（不）等号后是关于的式子，而不是常数了. 所以，解这种类型的题目，仍然可以用分类讨论去绝对值的方法. 但是，此时不易用绝对值的几何意义来解这类题了.对于（2）（3）两题，利用同样的方法易做出.参考答案： .总结：这种类型的绝对值不等式的主要解法是分类讨论去绝对值的方法. 这种方法也是解所有与绝对值有关的题目的基本方法. 同样，要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集.题型六、形如| 方法：两边平方【例5-6】若不等式对恒成立，则实数的取值范围为_。6、含指数不等式：方法 利用函数的单调性（） 利用函数的图像【例6】 解下列关于的不等式： （1）24； (2) ； (3) 5=1； (4) ； (5) 57.解析：这是与指数函数有关的（不）等式的题型.解决这类题的基本思路是：把常数化成同底的指数形式. （ 2）解析 这是一个指数不等式，基本解法是化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式. 原不等式即，也就是x2-2x-80，解得-2x4.故原不等式的解集为x| -2x4.(3) 原不等式由 由总结：解与指数函数有关的(不)等式的基本原则是：1. 把不等式两边化成同底的指数形式. 常用对数的定义：.2. 然后根据底的范围，利用单调性（为等式时，省略这一步）化原不等式为基本的一元一次不等式或一元二次不等式来解.7、含对数不等式：方法：1、化为同底，再利用函数的单调性；2、利用函数图象【例7】解下列关于的不等式： . （5）解析：与对数有关的（不）等式的解法和上一题型类似. 都是要把常数化为同底的形式，然后再利用单调性列出基本的不等式来解. 只不过，解与对数有关的不等式时，需要注意真数一定要考虑到大于0.（5）解析 这是一个对数不等式，基本解法是化为同底的对数形式，然后利用对数函数的单调性转化为整式不等式.原不等式变形为.所以，原不等式.故原不等式的解集为. 总结：解这种类型的不等式，首先要利用公式：N=log把常数化成同底的对数形式，然后根据单调性变原不等式为基本的不等式来解. 最后，别忘记对数的真数一定要大于0.8、三角不等式：利用函数的图像或是三角函数线【例8】解下列关于的不等式： .解析：本题型是与各种三角函数有关的（不）等式的题型，解这种题型时一定要记住各种三角函数对应的图象和特殊角的三角函数值. 如果不是一个三角函数式的形式，要先化成一个三角函数式的形式然后再做. (3)原式等价于 总结：（1）解这种题型时一定要牢记各种三角函数的图象, 特殊角的三角函数值, k.（2）如果不是一个三角函数式的形式，要先化成一个三角函数式的形式然后再做.化成一个三角函数式常用辅助角公式：. （3）选择哪一个周期不影响答案的正确性，但实际做题时主要选择原点附近的一个周期，并且使满足条件的答案形式尽量简单（例如: 能用一个不等式组表示解集时，就不要用更多的不等式组来表示）.9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 【例9-1】解：当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得 综合上面各式，得原不等式的解集为： 【例9-2】关于的不等式的解集为，求的解集。解：由题意得：，且 则不等式与不等式组同解 得所求解集为【例9-3】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围() 当=3时，由 易求出P=.() 由解绝对值题目的基本方法得：Q=.【例9-3】已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。解：关于的不等式的解集是，或 原不等式的解集是。提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。10、已知不等式的解集求参数的取值范围【例10-1】若不等式的解集为（1，2），则实数a等于（ ）A8 B2 C4 D8解析 原不等式两边平方后可化为a2x2+4ax-320且，解得a=. 【例10-3】 不等式的解为，求、解： ，恒为正 得依题意的根为，1 【例10-4】函数（为常数），若时，恒成立，则（ ）