2016年高考新课标3理科数学及答案.docx

2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。第卷1、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，则STA.2，3 B.(，23，) C.3，) D.(0，23，)（2）若z12i，则A.1 B.1 C.i D.i（3） 已知向量(，)，(，)，则ABCA.30 B.45 C.60D.120（4） 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在0C以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均气温高于20C的月份有5个（5）若tan，则cos2 2sin2A. B. C.1 D.（6）已知a2，b3，c25，则A.bac B.abcC.bca D.cab(7)执行右面的程序框图，如果输入的a4，b6，那么输出的nA.3 B.4C.5 D.6（8）在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA=A. B. C. D.（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A.1836B.5418C.90D.81（10）在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是A.4 B. C.6 D.（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C:1(ab0)左焦点，A、B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A.B. C. D.（12）定义“规范01数列”an如下，an共有2m项，其中m为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m4，则不同的“规范01数列”共有A.18个 B.16个 C.14个D.12个第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）若x，y满足约束条件，则zxy的最大值为_.（14）函数ysinxcosx的图像可由函数ysinxcosx图像至少向右平移_个单位长度得到。（15）已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)，在点(1，3)处的切线方程是_.（16）已知直线l:mxy3m0与圆x2y212交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴并于C、D两点，若|AB|2，则|CD|_三解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)（本小题满分12分）已知数列an的前n项和Sn1an，其中0，（）证明an是等比数列，并求其通项公式；（）若S5，求。（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014.（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用关系数加以说明；（）建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理。参考数据：yi =9.32，tiyi =40.17， =0.55， 2.646参考公式：相关系数r = ，回归方程 = +t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = （19）（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点。（）证明：MN平面PAB（）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。（20）（本小题满分12分）已知抛物线C:y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A、B两点，交C的准线于P、Q两点，（）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；（）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。（21）（本小题满分12分）设函数f (x)acos2x(a1)(cosx1)，其中a0，记|f (x)|的最大值为A，（）求f (x)；（）求A；（）证明|f (x)|2A请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22）(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，O中的中点为P，弦PC、PD分别交AB于E、F两点。（）若PFB2PCD，求PCD的大小；（）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OGCD.（23）(本题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()2.（）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标。（24）(本小题满分10分) 选修45：不等式选讲已知函数f (x)|2xa|a（）当a2时，求不等式f (x)6的解集；（）设函数g(x)|2x1|，当xR时，f (x)g(x)3，求a的取值范围。2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案第I卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合 ，则ST=A. B. C. D. 【答案】D【解析】易得，选D【考点】解一元二次不等式、交集(2)若，则A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】易知，故，选C【考点】共轭复数、复数运算(3)已知向量，=(，)，则A. 30 B. 45 C. 60 D.120【答案】A【解析】法一：，法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知【考点】向量夹角的坐标运算(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于的月份有5个【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于的月份有七月、八月，六月为左右，故最多3个【考点】统计图的识别(5)若，则A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式(6)已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】，故【考点】指数运算、幂函数性质(7)执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】列表如下 426-2426-24646460610162001234【考点】程序框图(8)在中，边上的高等于,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，可设，则，由余弦定理知，【考点】解三角形(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. B. C. 90 D. 81【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为【考点】三视图、多面体的表面积(10)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，又，所以内接球的半径为，即的最大值为【考点】内接球半径的求法(11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】易得【考点】椭圆的性质、相似(12)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A18个B16个C14个D12个【答案】C【解析】【考点】数列、树状图第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设x，y满足约束条件，则的最大值为_.【答案】【解析】三条直线的交点分别为，代入目标函数可得，故最小值为【考点】线性规划(14)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到.【答案】【解析】，故可前者的图像可由后者向右平移个单位长度得到【考点】三角恒等变换、图像平移(15)已知f(x)为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】法一：，故切线方程为法二：当时，故切线方程为【考点】奇偶性、导数、切线方程(16)已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则_.【答案】3【解析】如图所示，作于，作于，即，直线l的倾斜角为30【考点】直线和圆、弦长公式三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列的前n项和Sn=1+an，其中0(1) 证明是等比数列，并求其通项公式；(2) 若，求【答案】(1) ；(2)【解析】解：(1) 当时，即，即即，是等比数列，公比，当n=1时，即（2）若则【考点】等比数列的证明、由求通项、等比数列的性质(18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，2.646.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】(1)见解析；(2)，1.82亿吨【解析】(1) 由题意得，因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系(2) 所以关于的线性回归方程为将代入回归方程可得，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨【考点】相关性分析、线性回归(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1) 见解析；(2) 【解析】(1) 由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. .3分又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. .6分(2) 取中点，连接，则易知，又面，故可以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则故平面的法向量直线与平面所成角的正弦值为【考点】线面平行证明、线面角的计算(20)(本小题满分12分)已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】(1) 见解析；(2) 【解析】(1)法一：由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为. .3分由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则.所以. .5分法二：证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及APBQ，得AFP+BFQ=90，PFQ=90，R是PQ的中点，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA=PQF，ARFQ(2)设与轴的交点为，则.由题设可得，所以(舍去)，.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. .12分【考点】抛物线、轨迹方程(21)(本小题满分12分)设函数，其中，记的最大值为. (1)求；(2)求；(3)证明：.【答案】见解析【解析】(1) (2) 当时，因此， 当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），当时，在内无极值点，所以当时，由，知又，所以综上，(3) 由(1)得.当时，.当时，所以.当时，所以.【考点】导函数讨论单调性、不等式证明请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选修：几何证明选讲如图，O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。(I)若PFB=2PCD，