全国通用2018届高考数学二轮复习第13练空间几何体练习文.docx

第13练空间几何体明考情空间几何体是空间位置关系的载体，是高考的必考内容，题目难度为中档，多为选择题.知考向1.三视图与直观图.2.几何体的表面积与体积.3.多面体与球.考点一三视图与直观图要点重组(1)三视图画法的基本原则：长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线.(2)由三视图还原几何体的步骤(3)直观图画法的规则：斜二测画法.1.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图1所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案D解析被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条棱为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D项符合.2.(2017全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90 B.63 C.42 D.36答案B解析方法一(割补法)如图所示，由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.方法二(估值法)由题意知，V圆柱V几何体V圆柱.又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合.故选B.3.如图所示是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的直观图是()答案D解析先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正(主)视图和侧(左)视图可知选项D正确.4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱AA1平面A1B1C1，正(主)视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱侧(左)视图的面积为()A.2 B. C. D.1答案C解析由直观图、正(主)视图以及俯视图可知，侧(左)视图是宽为，长为1的长方形，所以面积S1，故选C.5.已知正三棱锥VABC的正(主)视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧(左)视图的面积是_.答案6解析如图，由俯视图可知正三棱锥底面边长为2，则AO2sin 602.所以VO2，则VA2.所以该正三棱锥的侧(左)视图的面积为226.考点二几何体的表面积与体积方法技巧(1)求不规则的几何体的表面积，通常将几何体分割成基本的柱、锥、台体.(2)几何体的体积可以通过转换几何体的底面和高以利于计算.6.(2016北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. B. C. D.1答案A解析由三视图知，三棱锥如图所示.由侧(左)视图得高h1，又底面积S11，所以体积VSh.7.(2017浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1 B.3C.1 D.3答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体的体积为V12331.故选A.8.已知某几何体的三视图如图所示，其正(主)视图和侧(左)视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是()A.2 B.1 C. D.答案C解析根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱，且该三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，所以该三棱柱的体积为VSh111，故选C.9.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为_.答案2解析由题可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥ABEDC得到的，故其体积V22322.10.(2017山东)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_.答案2解析该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱体构成，V21121212.考点三多面体与球要点重组(1)设球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到球的截面的距离为d，则有r.(2)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的对角线长等于球的直径.11.(2017全国)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A. B. C. D.答案B解析设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形.r.圆柱的体积为Vr2h1.故选B.12.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3答案A解析过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为R cm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，在RtOAB中，OA(R2)cm，AB4 cm，OBR cm，由R2(R2)242，得R5，V球R3(cm3).故选A.13.(2016全国)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4 B. C.6 D.答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.14.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B.16 C.9 D.答案A解析由图知，R2(4R)22，R2168RR22，R.S表4R24，故选A.15.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为_.答案解析设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，则V圆锥a2aa3.又R2a2(aR)2，所以Ra，故V球3a3，故其体积比值为.1.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之比为()A.11 B.21 C.23 D.32答案A解析由题意可得正(主)视图的面积等于矩形ADD1A1面积的，侧(左)视图的面积等于矩形CDD1C1面积的.又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正(主)视图与侧(左)视图的面积之比是11.2.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正(主)视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r等于()A.1 B.2 C.4 D.8答案B解析如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.3.已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256答案C解析易知AOB的面积确定，若三棱锥OABC的底面OAB的高最大，则其体积才最大.因为高最大为半径R，所以VOABCR2R36，解得R6.故S球4R2144.解题秘籍(1)三视图都是几何体的投影，要抓住这个根本点确定几何体的特征.(2)多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系，要熟悉长方体与球的各种组合.1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3 B.4 C.24 D.34答案D解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为S212212222434.2.(2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B. C. D.1答案C解析由三视图知，半球的半径R，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，V1113，故选C.3.(2016全国)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()A.17 B.18 C.20 D.28答案A解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，易得球的半径为2，则得S42232217，故选A.4.如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为()A.2 B. C. D.答案D解析多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V4，故选D.5.一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正(主)视图的是()A. B. C. D.答案D解析由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正(主)视图为；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正(主)视图为.而其他几种展开方式对应的正(主)视图在题中没有出现.故选D.6.在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为()A.6 B.12 C.32 D.36答案B解析因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，同理，SASC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB2，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积S4R212，故选B.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A.82 B.8C.8 D.8答案B解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V28.8.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为()A. B. C. D.答案D解析作如图所示的辅助线，其中O为球心，设OG1x，则OB1SO2x，由正方体的性质知，B1G1，则在RtOB1G1中，OBG1BOG，即(2x)2x22，解得x，所以球的半径ROB1，所以球的表面积为S4R2，故选D.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.答案解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.10.如图，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为_.答案6解析沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图，则AA即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得AA6.11.如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为_.答案4解析由三视图可知，该几何体是棱长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球，所以长方体的