数学系毕业论文《浅谈数学中的美》.doc

哈尔滨师范大学本科毕业设计（论文）哈尔滨师范大学毕业论文（函授）浅谈数学中的美年 级：13届 学 号：姓 名：颜玉娥 专 业：数学教育 指 导 教 师：二零一三年四月院 系 数学系 专 业 数学教育 年 级 xx级数学（xx）班 姓 名 xx 题 目 浅谈数学中的美 指导教师评 语 指导教师 (签章) 评 阅 人评 语 评 阅 人 (签章) 成 绩 答辩委员会主任 (签章) 年 月 日 浅谈数学中的美【摘要】：自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写的，数学为这种原文提供了注释。其中数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。数学追求的目标是：从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本。数学的无穷无尽的诱人之处还在于,它里面最棘手的悖论也能盛开出魅力的理论之花。数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的。数学具有简洁美、和谐美、奇异美等特征，但数学美却蕴藏于它所有的抽象符号、严格语言、演绎体系中。英国著名数学家B-A-W-罗素（18721970）曾说过：“数学，如果正确的看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面。这种美虽然没有音乐或绘画的那些华丽的装饰，但是它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地”。数学就是这样一门“既美而真”的学科。【关键词】：美； 空间； 二进制； 黄金分割； 杨辉三角； 【正文】：一、 简洁美简洁美是数学的重要标志。数学的语言是最简洁的语言，用最简洁的方式揭示自然的客观规律，这正是数学最迷人的所在。爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性”。他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论，在数学界也被多数人认同。朴素、简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。世事再纷繁，加减乘除算尽，宇宙虽广大，点线面体包完。正是数学的这种简洁性，使人们更快更准确的把握理论的精髓，促进自身学科的发展，也使数学学科具有了很强的通用性。目前数学已经成为了包括自然科学在内的所有科学的语言和工具。为了更清楚地说明简洁美所导致的“真正的进步”,以二进位数制的建立为例来进行分析。二进位制渊源已久。作为一种系统的研究,莱布尼兹最早认为建立这样一种数制的可能性。他认为在二进位数制中,只需使用0和1这样两个数字就可表示出所有数量。他指出,1表示统一,0表示无。于是他推论道：只用0和1就可以把所有的数字都表现出来。这种记数法对于电子计算机是特别适用的。因为,在计算机中可以很方便地用一个特别按钮的“开”和“关”来分别对应数字“1”和“0”。进而,又只需适当增加按钮的数量,我们就可用按钮的组合来表示任何一个二进制数。这是多么伟大的一个构想。毫不夸张的说，没有数学的简洁，就没有现在这个互联网络四通八达、信息技术飞速发展的世界。数学中有个非常漂亮的公式，那就是欧拉公式。这个式子把数学中几个“伟大的”数给联系到了一块，它们分别是自然对数、圆周率、虚数单位以及1，其中前两个是超越数，是无数个超越数中人类目前仅仅找到的两个，而且这两个对数学影响巨大。还有圆的周长公式也是简洁美的典范。世间的圆形有多少？没有人说得清楚。但它们的周长C、半径R，都必须服从圆的周长公式。一个如此简单的公式概括了所有圆形的共同特征，实在令人惊叹不已。在数学中像圆的周长公式这样简洁、内容深刻、作用很大的定理还有很多。比如：勾股定理、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等等。其中有许多简便的解法，也是数学简洁美的体现，比如：1966+1976+1986+1996+2006=?，这个计算题用一般的方法来解决，会带来繁杂的计算，认真观察，我们不难发现，后四个数分别比1966大10、20、30、40，根据这一特点，即可简化运算，于是等于1966510(1+2+3+4)=9830+100=9930,这一简洁的解法，给人以美的感受。数学的这种简洁美，用几个定理和例子是不足以说明的。数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁明了。正如伟大的希尔伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。二、 和谐美和谐性也是数学美的特征之一。和谐即雅致。数学美的和谐性主要表现形式是统一、有序、无矛盾以及对称、对偶等等。在美学书刊中所说的整体美、平衡美、对称美、以及中和美，其实都属于和谐美。它亦是数学美的重要表现，即部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。所谓数学的“和谐”不仅是宇宙的特点、原子的特点、生命的特点、同时也是人的特点。数学的严谨自然流露出它的和谐。为了追求严谨、追求和谐，数学家们一直在努力。德国数学家康托尔创立了“集合论”，这是现代数学的基础,也是现代数学诞生的标志。自然界中许多事物的存在都遵循着一定的数学规律。例如：疏影横斜的腊梅、银装素裹的梨花、红润华丽的桃花，都是均匀排列的五瓣之花，令人流连忘返。然而，在这花香浓郁，令人心旷神怡之际，你可曾想到：如果把圆十等分，每隔一点相连接，即得正五边形，每隔三点相连接，即得正五角星。它们都与五瓣之花有着内在的联系。一切空间图形都可以简化抽象为点、线、面、体，这充分显示出数学和谐美的规范，这种美感既是精细的，又是深邃的。和谐的实例中最负盛名的是被开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的黄金分割。它成为人们普遍喜爱美的比例，并为之广泛使用。艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品。科学家利用它创造了丰硕的科技成果。这圣神的比例值也被抬高了身价，而被称为黄金数了，成了宇宙的美神。人体最优美的身段遵循着这个黄金分割比：(1) 眼睛的宽度占眼睛所在面部位置的3/10；(2)下巴长度占脸长的1/5；(3)从眼珠到眼眉的距离是脸长的1/10；(4)从正面端详,眼珠竖长占脸长的1/14；(5)鼻部面积占脸整个面积的5%以下；(6)嘴站嘴所在脸部宽度的50%；象征黄金分割的五角星在欧洲也成为一种巫术的标志；就连芭蕾舞艺术的魅力也离不开它。真是“哪里有黄金数，哪里就有美”。数学美中的和谐美还体现在公式、图形的对称之中。美丽的“雪花”图案，更显示出几何图形的对称美，和谐美。数量中的和谐，比如：加减乘除的运算意义和法则构成整体之间的相依、相反关系。它们既存在着可逆的关系，又存在着相互转换的关系，除法可转化为乘法，乘法也可转化为除法，和谐统一，又各有特点。毕达哥拉斯有句名言：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”而圆和球形正是几何中对称美的杰出体现。圆是关于圆心对称的，也是关于过圆心的任意一条直线对称。球形既是点对称，又是线对称，还是面对称。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才够成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美和多彩的生活美。其实在我们身边随处可见根据对称设计的东西。小到一块橡皮、一只球拍,大到一架飞机、一座建筑。著名的北京人民大会堂；高耸入云的上海东方电塔；埃及金字塔的缩影；形象逼真的扇形；铜钱式的圆中有方。不仅几何中有美，数学中的杨辉三角也很美： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 1 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1真可谓美丽无处不在。三、 奇异美数学美的奇异性特征，即在于“新”与“奇”。它正好迎合了人们在艺术欣赏和科学探索中求新、求奇、求异的心理。奇异又指奇妙和变异。变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点。变异有悖于人们的想象与期望，因此就更引起人们的关注与好奇。奇异性是数学美的一个重要特征，数学中有不少结论令人赞叹，因为其奥妙无穷，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。数学中许多新分支的诞生都是人们对数学奇异性探讨的结果。数学趣味题、数学游戏都具有趣味性，大自然的数学现象具有奇异性，可以激发人们的兴趣爱好。在绘画与数学中，美有客观的标准，画家讲究结构、线条、造型、肌理，而数学则讲究真实、正确、新奇、普遍。如：蜂房的建筑结构、歌德巴赫猜想、无处不在的黄金分割、地图着色的五色问题、希尔伯特第三问题、欧拉公式、单纯形法、四色问题、货郎担问题等，还有数学中结果新颖奇特、出人意料的七巧板，它可以拼成简单的正方形，也可以拼出千姿百态的图案，如花草、人形、鸟兽、房屋等等，都能引起人们的关注和好奇。奇异有时也近于荒诞，因而奇异性与通常艺术欣赏中所说的荒诞美、滑稽美有些类似。因为奇异之处容易使人产生崇高感，在数学中对于新奇的领域和新奇的问题，也可以使人产生一种神秘莫测的美感。数学有时像一本书，一个故事情节，开头以悬念见长，充满着神秘感，然后需要你一步步去求解，最终得出一个清楚明白的结论，如“鸡兔同笼不知其数，三十六头笼中露，数清脚共50双，多少只鸡多少只兔”，设鸡有x只，兔有y只，容易得出方程组X+Y=36和2X+4Y=50*2=100并解得结果。这就是数学的乐趣，让人们抱着探求事实真相的目的、满怀好奇的求解过程和最终真相大白的快感。这一点，和人们读文学作品所产生的感觉是相似的，难怪有人说，世界本身就是未知数，而数学本身就是探索世界之谜的方程式。从有理数发展到无理数，从实际中一维、二维、三维空间，到抽象的n维空间的建立，从有限的观念，到无限的观念的认识，每一次认识上的深化，都导致了数学理论的重大进展。可以说，数学的历史，就是一部不断探索的历史，就是一部不断产生奇异性，又不断解决奇异性的历史。例如：在数值计算中也经常会产生一些奇异而美妙的结果。3*4=1233*34=1122333*334=1112223333*3334=11112222这一系列美妙的结果显示了一种规律：m个3构成的数与其直接后继的积是一个2m位数，其前m位为1，后m位为2。数学美的奇异性是客观世界奇特的性的反应，下面我们再看一个例子，它也是如此的美。1*8+1=912*8+2=98123*8+3=9871234*8+4=987612345*8+5=98765123456*8+6=987654123456789*8+9=987654321虽然不知道这个变化的名称，但是，从第一眼看到如此美妙的规律，心情还是格外开心与快乐的。数学中有一种有趣的数是回文质数，所谓回文质数就是指某数为质数，而该数的各数字倒过来写还是质数。任何学科都有“美”存在，只要你用心挖掘到它，你就会发现它。结 论美是一切事物生成和发展的本质特征；美是心借物的形象来表现情趣，是合规律性与合目的性的统一，没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号，展现一系列完备且完美的世界。就说数吧，实数集是完备的，任意多的实数随便做加减乘除乘方开方，其结果依然是实数。引入虚数单位，实数集扩展到复数集，还是任意多的复数，还做那些运算，结果还是复数。把具体的数抽象成空间中的点，在一定的假设和约定之下，可以得到完备的空间，这些空间可以是一维的，也可以是二维三维甚至多维的。三维之外，你就难以想象，但不能否认其存在。如欧式几何，这是大家所熟知的，在几个公理的基础上，推演出一系列漂亮的结论，生命力经久不衰，尤其在工程运用中。数学美除了具有以上内容外,还有许多美，例如：简洁美包括了符号美、抽象美、统一美；和谐美包括了和谐美、对称美、形式美）;奇异美包括了奇异美、有限美、神秘美（又称朦胧美）、常数美等等。当然，在数学教学当中，教师绘声绘色的讲解、精辟的分析、巧妙的点拨、生动的语言、合理的板书等都给学生以美的享受。教学中教师应当经常有意识的向学生讲解数学发展史,数学的广泛应用,不断展示数学的美,使学生进一步理解数学美的真正含义，让他们爱上数学，学好数学。第XII页 共14页 大学本科毕业设计（论文）致 谢我能完成这篇论文，首先需要感谢的是我的导师。我毕业论文动手的时间很短，大三下学期三月份的时候才开始着手的。当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，在经历了找工作的焦灼、写论文的煎熬之后，感觉好像一切都尘埃落定，想起了那句伤感的歌词：“Time to say goodbye.”即将给自己的学生时代和校园生活划上一个分号，之所以说它是分号，是因为我对无忧无虑的学生生活还有无比的怀念，对单纯美好的校园生活还有无比的向往。这只是我生命中的一个路口，并不是终点，我始终相信青春不会散场，坚信有一天会重返校园，以学生或老师的身份去延续这种快乐和幸福。三年时光悠悠走过，在这里，我度过了人生中最为美丽的时光，在这里，我的人生之路得以确立。在这三年里，虽然我一直在抱怨学校住宿条件差，学校网络速度慢，学校食堂饭难吃，校园生活实在沉闷。而今，马上就要毕业了，我却对此依依不舍。舍不得那虬枝古树，舍不得那宽敞的球场，舍不得我那些可爱的同学，舍不得我那可敬可爱的老师，舍不得的东西太多太多。在毕业前最后的时光，我仍旧要感谢我生命中出现的那些十分重要的师姐师兄、师弟师妹们，以及我结识的同学朋友们。他们不仅在学术上给予我指点，同时也是我生活中一起同行的人，在交往的过程中我们建立信任、彼此鼓励、互相支持与帮助，深厚的感情自是不必言语了。 当然，在我求学期间，还要感谢我深爱的家人们一直以来对我无怨无悔的付出、支持、关爱、尊