北师大版高中数学必修5《余弦定理》教学设计.doc

北师大版高中数学必修5第2.1.2节余弦定理教学设计一、教材分析：正弦定理与余弦定理是北师大版高中数学必修5的第二章第一节的内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理与余弦定理”教学的第二节内容，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。二、教学目标认知目标：引导学生发现余弦定理，掌握余弦定理的证明，会运用余弦定解三角形中的两类基本问题。能力目标：创设情境，构筑问题串，在引导学生发现并探究余弦定理过程中,培养学生观察、类比、联想、迁移、归纳等能力；在证明定理过程中，体会向量的思想方法；在解决实际问题过程中，逐步培养学生的创新意识和实践能力。情感目标：通过自主探究、合作交流，使学生体会到“发现”和“创造”的乐趣，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。三、教学重点难点教学重点：探究和证明余弦定理；初步掌握余弦定理的应用。教学难点：探究余弦定理，利用向量法证明余弦定理。四、学情分析和教法设计：本节课的重点和难点是余弦定理的发现和证明，教学中，我采取“情境问题”教学法，从情境中提出数学问题，以“问题”为主线组织教学，从特殊到一般，引导学生在解决问题的过程中，既归纳出余弦定理，又完成了用几何法对余弦定理的证明，以分散难点；用向量证明余弦定理时，我首先引导学生利用向量证明勾股定理，让学生体会向量解题基本思路，感受到向量方法的便捷，然后鼓励学生证明余弦定理，最后通过两组例题加深学生对余弦定理的理解，体会余弦定理的实际应用。五、教学过程环节一 【创设情境】1、复习引入让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。2、情景引入浙江杭州千岛湖，A、B、C三岛位置如图所示，根据图中所给的数据，你能求出A、B两岛之间的距离吗？3.4km6km120）岛屿C岛屿A岛屿B?千岛湖 学生不难将这个实际问题转化到数学问题：在ABC中，已知AC=6km，BC=3.4km，C=120o，求 ABCABD（已知三角形的两边和它们的夹角，去求三角形的另外一边。）这个问题难以使用正弦定理来求解。环节二 【探究新知】探究1：你能采取新的方法解决这个问题吗？启发学生积极思考，尝试转化为直角三角形,利用已学知识解决问题解决问题。在三角形ABC中，作ADBC，交BC延长线于D，由ACB=120o，则ACD=60o ，在RtADC中，CAD=30o，AC=6 则CD=3,AD=. 在RtADB中,由勾股定理得:AB2=AD2+BD2，AB2=67.96 AB8.24km答：岛屿A与岛屿B的距离为8.24 km探究2：若把上面这个问题变为：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a ，b，C（C为钝角）求 c.在探究1的解法基础上，把具体数字用字母替换，结合三角函数知识，不难得出c2= a2+b22abcosC探究3：若把上面这个问题变为：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a ，b，C（C为锐角）求 c.CBAD如右图，当C为锐角时，作ADBC于D，BD把ABC分成两个直角三角形：在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtADC中，AD=ACsinC=bsinC，DC=ACcosC=bcosC容易求得：c2=a2+b22abcosC探究4：若把上面这个问题变为：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a ，b，C（C为直角）求 c.结合前面的探究，你有新的发现吗？ 此时，ABC为直角三角形，由勾股定理得c2=a2+b2;也可以写成c2=a2+b22abcos900环节三【总结规律，发现新知】探究1：总结规律。结合前面的探究，我们容易发现，在ABC中，无论C是锐角、直角还是钝角，都有c2=a2+b22abcosC同理可以得到 a2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB这就是余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。探究2：余弦定理的证明：问题:用向量的方法能证明勾股定理吗?ABC在ABC中已知A=900，BC=a，AB=c, CA=b, 求证：a2=b2+c2证明：如右图，在ABC中，设由向量的减法运算法则可得， 等式两边平方得，由向量的运算性质得 即 所以 a2=b2+c2问题:如何用向量的方法证明余弦定理？把问题的证明中cos900换为cosA即可。教师点评：利用向量来证明勾股定理,让学生体会向量解题基本思路、感受到向量方法的便捷，激发学生兴趣，在此基础上，可以很简单的证明余弦定理，让学生切身体会到向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用。探究3：余弦定理的分析问题：在ABC中，当C=90时，有c2=a2+b2若a，b边的长度不变，变换C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请同学们思考。首先，可借助于多媒体动画演示，让学生直观感受，a，b边的长度不变时，C越小， AB的长度越短，C越大， AB的长度越长其后，引导学生，由余弦定理分析： c2=a2+b22abcosC。 当C=90时，cosC=0，则有c2=a2+b2，这是勾股定理，它是余弦定理的特例。当C为锐角时，cosC0，则有c2a2+b2当C为钝角时，cosC0，则有c2a2+b2问题：余弦定理作用？从以上的公式中解出,则可以得到余弦定理的另外一种形式：即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；知三求一 已知三角形的三条边，求角。已知三角形的两边和其中一边的对角，可求另一边；（方程的思想）环节四【及时练习，巩固提高】下面，请同学们根据余弦定理的这两种应用，来解决以下例题。例1：在ABC中，已知a=5,b=4,C=120O,求c.在ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三个内角的大小及其面积。BQAPCDO环节五【应用拓展，提高能力】 例2：如图所示，有两条直线AB和CD相交成800角，交点是O，甲、乙两人同是从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4km/h、4.5km/h ，3小时后两个相距多远（结果精确到0.1km）?【分析】经过3时，甲到达点P，OP=43=12（12km）乙到达点Q，OQ=4.53=13.5(km). 问题转化为在OPQ，已知OP=12km.，OQ=13.5km,POQ=800,求PQ的长。BDC111A例3：下图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 的图形，试计算图中线段BD的长度及DAB的大小.环节六 【课堂反思总结】通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）1、余弦定理的发现从直角三角形入手，分别讨论了锐角三角形和钝角的三角形情况，体现了由特殊到一般的认识过程，运用了分类讨论的数学思想；2、用向量证明了余弦定理，体现了数学知识的应用以及数形结合数学思想的应用；3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。环节七 【布置课后作业】1、若三角形ABC的三条边长分别为，则 。2、在ABC中,若a7,b8,则最大内角的余弦值为 _ 。3、已知ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状（用两种不同的方法）。4、P52教材习题2-1第6,7题。六、教学反思1、余弦定理是解三角形的重要依据。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理。 3、本节课的重点首先是定理的发现和证明，教学中，我采取“情境问题”教学模式，沿着“设置情境提出问题解决问题总结规律-应用规律”这条主线，从情境中提出数学问题，以“问题”为主线组织教学,形成以提出问题与解决问题携手并