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附录 1 习题答案 (研究生们: 请动手做过之后才看答案 !) 习 题 一 1 .(1)与(3)均是线性空间;(2)不是线性空间(加法不封闭;或因无零向量 .) 2 .都是线性空间 . 3 .(证)若 , V, 则 2(+ ) = 2+ 2 = (1 + 1)+ (1 + 1) = (1+ 1) + (1+ 1 ) = (+ ) + (+ ) = + (+ ) + , 又有2(+ ) = (1 + 1)( + ) = 1(+ ) + 1(+ ) = (+ ) + (+ ) = + (+ ) + , 因此有+ (+ ) + = + (+ ) + , 从而 ( - ) + + (+ ) + + ( - ) = ( - ) + + (+ ) + + ( - ) , 于是得 + = + . 4 .证 设 1,2, , n是 n 维线性空间 V 的一个基 ,又 = a11+ a2 2 + ann,则有 1 = 1( a1 1 + a22 + ann) = (1 a1) 1 + (1 a2)2 + (1 an)n = a11+ a22 + ann= . 5 .证 只需证明 1,2 ,n线性无关 .设 V 中有向量0 = x1 1 + x2 2 + xnn且表示法唯一 . 如有 c11+ c22 + cnn= 0 , 则有 0= ( x1+ c1)1+ ( x2+ c2)2 + ( xn+ cn)n, 由于向量 0表示法唯一 ,故有 x1=x1+ c1, x2=x2+ c2, , xn=xn+ cn, 从而有c1= 0 , c2= 0 , , cn= 0 . 这证明了 1,2 ,n线性无关 . 6 .(1)1 , 1 2 , - 1 2 ; (2) (33 , - 82,154) 7 .(1)过渡矩阵为A = 2056 1336 - 1121 1013 ; (2)向量 1= ( x1, x2, x3, x4)在基 1,2,3,4下的坐标为 x 1 = 4 9 x1+ 1 3 x2- x3- 11 9 x4 x 2 = 1 27 x1+ 4 9 x2- 1 3 x3- 23 27 x4 x 3= 1 3 x1- 2 3 x4 x 4=- 7 27 x1- 1 9 x2+ 1 3 x3+ 26 27 x4 ; (3)非零向量为( c, c, c, - c) , (任 c0) . 8 .(1)是子空间;(2)不是子空间 . 9 .提示 因为(2 , - 1, 3,3)= ( - 1)(1,1 ,0 ,0) + 3(1 ,0 ,1, 1) , (0 ,1 , - 1, - 1) = (1 ,1 ,0 ,0) + ( - 1) (1 ,0, 1,1) . 10 .证 如 V1的维数是 0, 则 V1与 V2都是零空间 ,当然相等 .如 V1的维数是 m0, 由于 V1 V2, 故 V1的任一个基 1,2, ,m 都是 V2中的线性无关组 .又因 V2与 V1的维数相同 , 故这个线性无关组也是 V2的一个基 .V1与 V2有 相同的基 , 因此相等 . 11 .设 = ( a1, a2, a3, a4) V W ,则有 a1- a2+ a3- a4= 0, a1+ a2+ a3+ a4= 0 . 由此两式相加或相减便可得 a1+ a3= 0, a2+ a4= 0 , 从而 a1= - a3, a2= - a4,故得 = ( a1, a2, - a1, - a2) =a1(1 ,0 , - 1,0) + a2(0 ,1 ,0 , - 1) . 但(1, 0, - 1 ,0) , (0,1 ,0 , - 1)线性无关 ,它就是所求的基 . 12 .因V1+ V2= L(1, 2,3) + L(1,2) = L(1, 2,3,1,2) , 故 V1+ V2的维数就是向量组 1,2,3,1,2 的秩, 它的任一最大线性无关组 ,都构成 V1+ V2的一个基 , 以 1, 2,3,1,2 为向量构成矩阵 A, 并施 行初等行变换 , 便得到 A = 12314 00011 21303 1- 1011 10101 01101 00011 00000 . 由此可见矩阵 A 的秩等于 3 ,且 1,2, 1线性无关 ,它就是 V1+ V2 的一个基 , 且 3 = 1+ 2, 2= 1 + 2+ 4 . 13 .(1)设 , V1,且 = n 1 xii= n 1 xii, = n 1 yii= n 1 yii. 则有 + = n 1 ( xi+ yi)i= n 1 ( xi+ yi)i, k = n 1 kxii= n 1 kxii ( k 是数) , 451矩阵分析引论 即 + 与 k在两个基上的坐标也是相同的 , 所以 + V1, k V1, 即 V1是子空间 . (2)因 V 中每个向量在两个基下的坐标相同 , 所以基向量 i( i = 1 ,2 , , n)在 1,2, ,n 下的坐 标为(0, ,0, 1,0 , ,0)(第 i 个坐标为 1) ,它也应为 i在基 1,2, ,n下的坐标 ,于是有 i= 1 i = i ( i = 1, 2, , n) . 14 .由 齐次 线性 方程 组 的理 论可 推 知 V1是 n - 1 维 的 , 且 有基 1= ( - 1 , 1 , 0 , , 0 ) , 2 = ( - 1, 0,1 ,0 , ,0) , ,n - 1= ( - 1 ,0, ,0 ,1) .又 x1= x2= = xn.即 x1- x2= 0 x2- x3= 0 xn -1- xn= 0 , 这个方程组系数矩阵的秩为 n - 1, 故解空间 V2的维数为 1 , 令 xn= 1 , 便得 V2的一个基 , 即 n 维向量 = (1,1 , , 1) ,又以 1,2, ,n - 1,为行的 n 阶行列式 - 11000 - 10100 - 10001 11111 = ( - 1) n+1 n 0 . 故 1,2, ,n - 1,为P n 的一个基 , 且有P n = V1V2. 15 .设 是 AX = 0 的一个解(向量) ,则有 A1 A2 AS = 0, 即 A1 A2 AS = 0 , 从而有 Ai= 0 ,即 Vi( i = 1 ,2 , , S) , 故有 V1 V2 VS,( * ) 反过来 , 如有关系式( * ) ,则将上述过程倒推 ,便可得出 A = 0, 故 V . 综合以上结果便得所证 . 16 .设 V 是 n 维线性空间 , 1,2, ,n为其一个基 ,则 L(i)都是一维子空间( i= 1 ,2 , , n) , 且有 L(1) + L( 2) + + L(n) = L(1,2, ,n) = V .又因 1, 2, ,n是基 ,零向量 0 表示式唯一 , 故 这个和是直和 , 即 L(1)L( 2) L(n) = V . 17 .从定义出发可证明 T1, T2是线性变换 , 又 ( T1+ T2)( x1, x2) = T1( x1, x2) + T2( x1, x2) = ( x2, - x1) + ( x1, - x2) = ( x1+ x2, - x1- x2) , ( T1T2)( x1, x2) = T1( T2( x1, x2) ) = T1( x1, - x2) = ( - x2, - x1) , ( T2T1)( x1, x2) = T2( T1( x1, x2) ) = T2( x2, - x1) = ( x2, x1) . 18 .(1)因 T( A + B)= C( A + B) - ( A + B) C = ( CA - AC) + ( CB - BC) = T( A) + T( B) , T( kA) = C( kA) - ( kA) C = k( CA - AC) = kT( A) , 故 T 是线性变换 . (2)因为 T( A) B + A T ( B) = ( CA - AC) B + A( CB - BC) = CAB - ABC = T ( AB) . 19 .因为 ( T + S)(1,0 ,0) = T(1 ,0 ,0) + S(1 ,0 ,0) = (1 ,0, 0) + (0,0 ,1) = (1 ,0 ,1) , 551附录 1 习题答案 同理得 ( T + S)(0, 1,0) = (2,0 ,0) , ( T + S)(0, 0,1) = (1 ,1 ,0) 这表明线性变换 T + S 把 R3的一个基向量 1= (1 ,0 ,0) , 2= (0 ,1 ,0) 3= (0, 0,1) 变换成R 3 中的另一个基向量(易证它们线性无关) 1= (1, 0,1) , 2= (2 ,0 ,0) 3= (1 ,1 ,0) . 又:象集( T + S) (R3)是R3的子空间(见例 114) ,而 1,2,3是子空间( T + S) (R 3 )的最大线性无关组 , 故这个子空间的维数是 3, 由第 10 题的结果可知( T + S)(R3) = R3(在第 10 题中取 V2= V) . 20 .因 T 2 ( x , y, z) = T(0, x , y) = (0 ,0 , x) , 所以 T 2 的象集(子空间)是一维的 ,而 3= (0 ,0 ,1)是它 的基。由 T2(x, y,z) = (0,0 ,x) = (0 ,0 ,0) = 0, 便知 T2的核是R3中一切由形如(0 , y, z)的向量组成的 2 维 子空间, 又 = (0 ,1 ,0) ,= (0 ,0 ,1)是它的一个基 . 21 .(1) 2- 10 011 100 ; (2) - 11- 2 220 302 . 22 .(1) , (2) , (3)的矩阵均为 1 2 - 4- 33 233 21- 5 . 23 .因为 BA = A - 1 ( AB) A ,故 AB BA . 24 .设 B = T - 1 1 AT1, D= T - 1 2 CT2,则有 B D = T1 T2 - 1 A C T1 T2 . 25 .(1)由线性变换定义 , 易证 T 是线性变换, 又因 T 2 ( x1, x2, , xn) = T(0, x1, x2, , xn -1) = (0 ,0 , x1, x2, , xn- 2) , T n ( x1, x2, , xn) = (0 ,0 , ,0) . 即 T n = 0(零变换) . (2)若 T ( x1, x2, , xn) = (0 , x1, , xn - 1) = (0, 0, , 0) , 则 x1= x2= = xn - 1= 0 .即 T - 1 (0)为由 一切形如(0, , 0, xn)的向量构成的子空间 ,它是一维子空间 , (0 , ,0 ,1)是它的基 . 又由定理 19, 便得 T ( V)的维数等于 n - 1 . 习 题 二 1 .(1)与(2)均不构成欧氏空间;(3)是 . 2 .可验证内积定义的四个条件均满足 . 3 . 1 26 (4 ,0 ,1 , - 3) .提示 向量 = ( x1, x2, x3, x4)0 与所给三个向量正交的充要条件是 x1, x2, x3, x4为方程组 x1+ x2- x3+ x4= 0 x1- x2- x3+ x4= 0 2 x1+ x2+ x3+ 3 x4= 0 的非零解 .可求得一个非零解为 = (4,0 ,1 , - 3) . 651矩阵分析引论 4 .令 n i =1 kii= 0 , 则对每个 j( j = 1 ,2 , , n)取内积便得 0 = (0,j) = ( n 1 kii,j) = n 1 ki(i,j) ( j = 1, 2, , n) . 这是关于 k1, k2, , kn的齐次线性方程组 , 它只有零解的充要条件是系数行列式0 . 5 .由不等式(,) ,取 = (a1,a2, ,an) = (1, 1, , 1) , 在R n 中展开便得 . 6 .可验证(i,j) = 0i j 1i = j . 7 .先求得基础解系(即解空间的一个基) ; 1 = (0 ,1, 1,0 ,0) , 2= ( - 1,1 ,0 ,1, 0) , 3 = (4 , - 5, 0,0 ,1) . 再将其正交化、 单位化 , 即得所求的标准正交基 1= 1 2 (0,1 ,1 ,0, 0) , 2= 1 10 ( - 2, 1, - 1 ,2 ,0) , 3= 1 315 (7 , - 6,6 ,13,5) . 8 .(1)由于(0,) = 0 ,故 0 V1, 即 V1非空 ,又若 1,2 V1, k 是实数 ,则有 (1+ 2,) = (1,) + (2,) = 0 + 0 = 0 , ( k 1,) = k(1,) = 0 . 故 1+ 2及 k 1均为 V1的向量 . (2)因 0, 故可将其扩充成 V 的正交基 1, 1,2, ,n- 1, 故 1,2, ,n - 1 V1, 所以 V1 至少是 n - 1 维的 , 又因为 0, 故 (, ) 0, 即 不属于 V1; 故 V1 V .所以 V1是 n - 1 维的子空间 . 9 .设 T(3) = x11+ x22+ x33, 则正交变换 T 在标准正交基1,2,3下的矩阵是正交矩阵 , 即 在 T(1) = 2 3 1+ 2 3 2- 1 3 3 T(2) = 2 3 1 - 1 3 2+ 2 3 3 T(3) =x11+ x22+ x33 中 ,矩阵 A = 2 3 2 3 x1 2 3 - 1 3 x2 - 1 3 2 3 x3 是正交阵 , 即有 AAT= E,于是可解得 x1= 1 3 , x2= x3= - 2 3 . 从而就确定了正交变换 T . 10 .设 T1, T2是两个正交变换 ,对任何 V ,则有 T1T2()=T1( T2() )=T2()= , =T1T -1 1()=T -1 1(). 751附录 1 习题答案 故 T1T2及 T - 1 1 均为正交变换 . 11 .上三角可逆方阵的逆阵也是上三角方阵 , 于是可设 A - 1 = b11b12b1 n 0b22b2 n 00bnn , 由 A T = A - 1 , 得 aij= 0( i j)故 A = a11 a22 ann . 又由 A T A = E ,得 a2ii= 1 ( i = 1, 2, , n) , 从而 aii= 1 ( aii是实数) . 12 .若 A 为酉矩阵 ,则 ( XA) ( XA) H = X( AAH) XH=XXH, 即XA 2 =X 2 , 故XA=X. 反过来 , 由XA=X可得 ( XA)( XA) H =XXH, 于是 X( AAH- E) XH= 0 .令 B = AAH- E,于是有 f =XBXH= n i, j =1 bijxixj= 0 . 取 X 满足条件 xi= 1, xj= 1, 其他的 xk= 0 ,则得 bij= 0 .由于 i, j 的任意性 , 故知 B = ( bij)是零矩阵 ,所以有 AAH= E, 即 A 为酉矩阵 . 13 .由于 A AH= P P H + B B H B Q H Q B H Q Q H =E, 可得 Q QH= En ( n 阶单位阵)(1) Q B H = 0(2) 由(1)式知 Q 为酉矩阵;再应用(2)式可推出 B = 0 .最后再由 P P H = Em,知 P 也是酉矩阵 . 14 .因 AH= A , BH= B,又 ( AB)H=AB BHAH=AB, 即BA = AB . 15 .设 A 为任一复方阵 ,令 A = B + C,(1) 其中 B 为厄米特矩阵, Y 为反厄米特矩阵 .于是可得 AH=BH+ CH= B - C .(2) 由(1)与(2)两式得到 B = A + A H 2 , C = A - A H 2 . 851矩阵分析引论 16 .(1) A 的特征值为 1= 1,2= - 1,3= - 2 .相应的三个特征向量为 1= (i,2 ,i)T, 2= (1,0 , - 1)T, 3 = (i, - 1,i)T, 将它们单位化得 1,2,3,则 P = (1,2,3) . (2)可求得 A 的特征值为 1 = 0 , 2 = -2 , 3= 2;相应的特征向量为 1 = (0, i,1) T , 2 = (2, i, - 1) T , 3= (2 , - i, 1) T . 将它们单位化得 1,2,3,则 P = (1,2,3) . 17 .设 A , B 是两个 n 阶正规矩阵 ,如果 A 与 B 是酉等价(酉相似)的 ,亦即存在酉矩阵 Q,使得 B = QHAQ= Q - 1 AQ . 因而有 E - B= E - Q - 1 AQ=Q - 1 ( E - A) Q= E - A. 即 A , B 有相同的特征多项式 . 反之 , 若 A , B 有相同的特征多项式, 因而有相同的特征值集合 1,2, ,n .由定理 2 8 ,存在酉矩 阵 Q1及 Q2, 使得 Q -1 1AQ1= 1 2 n = Q- 1 2BQ2, 因此有 A = Q1Q -1 2BQ2Q - 1 1= ( Q2Q - 1 2) -1 B( Q2Q -1 1) =P - 1 BP . 易知 P = Q2Q - 1 1是酉矩阵 ,即 A , B 是酉相似的 . 18 .(证)分下列四个步骤来证: (1)由 AB = BA, 推知 A , B 至少有一个公共的特征向量 . 事实上 ,设 R是 A 的属于特征值的特征子空间 .若 X R, 即 AX = X , 则 BAX = BX .由 BA = AB, 于是有 A( BX) = ( BX) .即 BX R, 从而 R是 B 的不变子空间 , 故在 R中存在 B 的特征向量 Y . 显然它也是 A 的特征向量 . (2)由 AB = BA,推知 A, B 可同时酉相似于上三角阵 .即有酉阵 Q,使 QHAQ 及 QHBQ 均为上三角 阵 . 事实上 , 对矩阵 A 与 B 的阶 n 进行归纳法 .当 n = 1 时结论显然成立 .今设单位向量 X (1) 是 A, B 的一 个公共特征向量 .再适当补充 n - 1 个单位向量 X (2) , , X ( n) , 使 X (1) , X (2) , , X ( n) 为C n 的标准正交 基 ,从而 P = ( X(1), X(2), , X ( n) )为一酉矩阵 .且有 BX(1)= X (1) , BP = ( BX(1), BX(2), , BX( n) . 从而有 PHBP = 0B1 = B * . 这里 是 1(n - 1)矩阵 , B1是 n - 1 阶方阵 . PHAP = 0A1 =A * , 这里 是 1( n - 1)矩阵 , A1是 n - 1 阶方阵 . 由 BA = AB 即有 ( PB PH)( PAPH) = ( PA PH)( PB PH) . 于是得 B*A * = A * B*.由此可推得 B1A1= A1B1.故由归纳法假设 , 存在 n - 1 阶酉矩阵 P1, 使得 951附录 1 习题答案 PH1B1P1=为上三角矩阵 , 令 T = 10 0P1 , Q = PT, 则有 Q H BQ = H H ( P H BP) T = 10 0P H 1 0B1 10 0P1 = P1 0 . 这是个上三角矩阵 .易证 Q 是酉矩阵, 故 B 酉相似于上三角矩阵 .同理 , QHAQ 也是上三角矩阵 . (3)由 AB = BA 且 A, B 均为正规矩阵 , 则 A , B 可同时酉相似于对角形矩阵 . 事实上 , 设 QHAQ = T( T 为上三角阵) , 则 QHAHQ = TH而且 AA H = QTQ H QTH Q H = Q( TT H ) Q H , A H A = QT H Q H QTQH = Q( T H T) Q H . 由 AAH= AHA(因 A 正规) , 可得出 TTH= THT, 从而又可推出 T 为对角形矩阵 . 对 Q H BQ 也可作同样的证明 . (4)由 A , B 可换且正规 ,故由(3)可设 QHAQ = 1 2 n , QHBQ = 1 2 n . 于是有 QHABQ = 11 22 nn 应用定理 28 ,便知 AB 为正规矩阵 . 习 题 三 1 .AX = X, A2X = AX = 2 X, 即 EX = 2 X,故( 2 - 1) X = 0 , 2 = 1 ,= 1( X0) . 2 .AX = X, A 2 X = 2 X ,一般 A m X = m X, ( X0) , 所以 m 是 A m 的特征值 ,而 A m 的属于特征值 m 的特征向量是 X . 3 .由于 A = ( aij)n n的任一行的元素之和均等于 a, 故下式显然成立 a11a12a1 n a21a22a2 n an1an2ann 1 1 1 =a 1 1 1 . 4 .(1)特征值为 7 , - 2 .相应的特征向量为 1 1 , - 4 5 .取 P = 1- 4 15 ,则 P - 1 AP = 70 0- 2 . (2)相似于对角形 100 020 003 . (3)相似于约当标准形 200 020 012 . 5 .如 A 可逆, 则 BA = A - 1 ( AB) A,又 E - BA=A -1 ( E - AB) A= E - AB. 6 .(1) 200 000 000 ; (2) 100 0i0 00- i ; (3) - 100 0- 10 01- 1 ; (4) 100 110 011 . 7 .设 P - 1 ATP= J(约当形 ) , 则 PTA( P - 1 ) T = JT, 即 Q - 1 AQ = JT(上三角阵 ) , 这里 Q = ( P - 1 )T= 061矩阵分析引论 ( PT) - 1 . 8 .(1)如为 A 的任一特征值 , 则 m 为 Am的特征值 .若 Am= 0 , 则 E - Am= E= n , 即 Am 为零矩阵时 A 的特征值为零 .反之 ,若 A 的所有特征值均为零 ,则 A 的特征多项式为 f() = n ( A 是 n 阶 方阵 ,上述 n 与此同) .故由哈密顿开来定理 ,有 f( A) = 0, 即 An= 0 . (2)设 A 的约当标准形为 J = J1 J2 Jk 则由 Am= 0 得知 A 的所有特征值皆为零 ,故 J1, J2, , Jk的主对角线上元素均为零 , 从而 J 的主对角线 上元素全为零 , 因此 J + E 为主对角线上元素全为 1 的下三角矩阵 .于是有 A + E=C- 1JC + E=C- 1( J + E) C=J + E= 1 . 9 .(1) 0 0 3 - 10 2 - 3 ; (2) 100 00 00 2 + ; (3) 100 0(+ 1)0 00 (+ 1) 2 . 10 . f() = E - A= n + a1 n - 1 + a2 n - 2 + + ( - 1) n A, 由 f( A) = 0 ,得 A n + a1A n - 1 + + ( - 1) n AE = 0, 即 A( A n - 1 + a1A n - 2 + a2A n - 3 + ) = ( - 1) n+ 1 AE, 故有 A - 1 = 1 ( - 1) n+ 1 A ( An - 1+ a1An - 2+ a2An - 3+ ) . 11 . f() = E - A= 2 - 6+ 7 ,又作多项式 ( ) = 2 4 - 12 3 + 19 2 - 29+ 37 . 则 () = f( ) (2 2 + 5) + + 2 .由 f( A) = 0, 得 ( A) = A + 2 E, 即 2 A4- 12 A3+ 19 A2- 29 A + 37E = ( A) =A + 2 E = 3- 1 27 , 由此看出 ( A)可逆 , 又 E - ( A + 2 E)= 2 - 10+ 23 , ( A + 2 E) 2 - 10( A + 2 E) + 23 E = 0 , ( A + 2E) ( A - 8 E) = - 23E , 故所求逆阵为 ( A + 2 E) - 1 = - 1 23 ( A - 8 E) . 12 .( E + B( E - BA) - 1 A)( E - BA)= E - BA + B( E - AB) - 1 A( E - BA) = E - BA + B( E - AB) - 1 ( A - ABA) = E - BA + B( E - AB) - 1 ( E - AB) A = E - BA + B E A = E . 故 E - BA 可逆 ,且逆阵为 E + B( E - AB) - 1 A . 13 .f () = E - A= 3 - 2 - + 1, 由 f ( A) = 0 得 A3= A + A2- E, 即在 n = 3 时等 式 An= An - 2+ A2- E成立 .对 n + 1 则有 161附录 1 习题答案 An+1= A An= A( An - 2+ A2- E) = An - 1+ A3- A = An - 1+ ( A + A2- E) - A = An - 1+ A2- E, 又 A 100 = A 98 + A 2 - E = A 96 + 2( A 2 - E) = (重复应用公式 49 次) = A2+ 49( A2- E) = 50 A2- 49 E = 100 5010 5001 . 14 .因( A + 2 E)( A - E) = 0 ,故 () = (+ 2)(- 1)是 A 的化零多项式 ,但最小多项式 m()可整除 ( ) , 故 m()无重根 ,从而 A 可与对角形相似 . 15 .设 A = P - 1 JP, J为约当矩阵 ,且 J = J1 J2 Jk ( Ji为第 i 个约当块) , 又取 H= H1 H2 Hk , 而 Hi= 1 1 1 与 Ji同阶 ,则 H 2 i= E,即 H - 1 i= Hi,且由计算得 J= H - 1 J T H,故 A = P - 1 JP = P - 1 H - 1 JTHP