动力学II第五章习题解答.pdf

1 动力学第五章部分习题解答动力学第五章部分习题解答 5- 2 滑轮组上悬挂有质量为 10kg 的重物 1 M和质量为 8kg 的重物 2 M，如图所示。忽略滑轮 的质量，试求重物 2 M的加速度 2 a及绳的拉力。 解： 取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理 想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力 gMgM 21, 。假设重物 2 M的加速度 2 a的方向竖直向 下，则重物 1 M的加速度 1 a竖直向上，两个重物惯性力 21,IIFF 为： 111 aMFI= 222 aMFI= (1) 该系统有一个自由度， 假设重物 2 M有一向下的虚位移 2 x，则重物 1 M的虚位移 1 x竖直向上。 由动力学普遍 方程有： 0 22112211 =+=xFxFxgMxgMW II （2） 根据运动学关系可知： 21 2 1 xx= 21 2 1 aa = （3） 将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意0 2 x有： )/( 8 . 2 4 24 2 12 12 2 smg MM MM a= + = 方向竖直向下。取重物 2 M为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有： 222 aMTgM= 解得绳子的拉力)( 1 .56NT =。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。 5- 4 如图所示，质量为 m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为 R 的固定圆柱体上， 构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为 l，且不计线的质量，试求摆的运动微分 方程。 解： 该系统为保守系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为： 2 )( 2 1 & RlmT+= M1g M2g FI2 FI1 x2 x1 M2g T a2 PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 2 取圆柱轴线 O 所在的水平面为零势面， 系统 的势能为： cos)(sinRlRlmgV+= 拉格朗日函数VTL=，代入拉格朗日方 程有： 0)(= LL dt d & 整 理 得 摆 的 运 动 微 分 方 程 为 ： 0sin)( 2 =+gRRl & 5- 6 质量为 m 的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为 sin4bs =，式中s是以 O 为原点的弧坐标，是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质 点的运动规律。 解： 该系统为保守系统有一个自由度， 取弧坐标S 为广义坐标。系统的动能为： 2 2 1 SmT & = 取轨线最低点 O 所在的水平面为零势面，系 统的势能为： mghV = 由 题 可 知 b S dS dh 4 sin=， 因 此 有 ： b S dS b S h S 84 2 0 = 则拉格朗日函数： 22 82 1 S b mg SmVTL= & 代入拉格朗日方程： 0)(= S L S L dt d & ，整理得摆的运动微分方程为：0 4 =+S b g S& & ， 解得质点的运动规律为：0) 2 1 sin( 0 =+=t b g AS，其中 0 ,A微积分常数。 5- 13 质量为 m 的质点沿半径为r的圆环运动，圆环以匀角速度绕铅垂直径 AB 转动，如 图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩M。 零势面 h 零势面 PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 3 解： 1.求质点的运动微分方程 圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴 AB 转动，该 系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能 为： 22 )sin( 2 1 )( 2 1 rmrmT+= & 取圆环最低点 A 所在的水平面为零势面，系统的势能 为： )cos1 (= mgrV 则拉格朗日函数： )cos1 ()sin( 2 1 2222 +=mgrmrVTL & 代入拉格朗日方程：0)(= LL dt d & ，整理得质点的运动微分方程为： 0sin)cos( 2 =+ r g & 2.求维持圆环作匀速转动的力偶M 如果求力偶M，必须考虑圆环绕铅垂轴 AB 的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴 AB 匀 速转动”这一约束，将力偶M视为主动力。此时系统有两个自由度，去角度和圆环绕轴 AB 的转角为广义坐标， 系统的势能不变， 动能表达式中以 & 代替， 则拉格朗日函数为： )cos1 ()sin( 2 1 2222 +=mgrmrVTL& & 力偶M为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下： 取0, 0=，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为0= W，因此力偶M对应 于广义坐标的广义力0= M Q； 取0, 0=，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为 = MW，因此力偶M 对应于广义坐标的广义力M W QM= ； 代入拉格朗日方程0)(= M Q LL dt d & ，整理可得：0sin=+ r g & 零势面 PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 4 代入拉格朗日方程MQ LL dt d M = )( & ，整理可得： Mmrmr=+ & &2sinsin 222 圆环绕铅垂轴 AB 匀速转动，即：0,=&，代入上式可得： 2sin 2 & mrM = 5- 14 如图所示，质量为 m的物体可绕水平轴 21O O转动，轴 21O O又绕铅垂轴OC以匀角速 度转动。 物体的质心 G 在垂直于 21O O的直线上，lGO= 3 。 设 21O O和GO3是物体过 3 O 点的惯量主轴，转动惯量为 1 J和 2 J，物体对另一过 3 O点的惯量主轴的转动惯量为 3 J，试 求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。 解： 以该物体为研究对象，有一个自由度，取GO3和 OC 的夹角为广义坐标。若以框架 OCOO 21 为动系，则物体的相对运动是以角速度&绕轴 21O O的定轴转动，牵连运动是以角 速度绕OC轴的定轴转动，物体的绝对角速度 & 是&和的矢量之和。为了方便起见， 以 21O O为 x 轴，GO3为 y 轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，将角速度是&和 在该坐标系上投影有：zji+=sincos & &。 坐标系zyxO 3 的三个坐标轴为过 3 O点的三个惯量主轴，则系统的动能为： )sin()cos( 2 1 2 3 2 2 2 1 JJJT+= & x z y & z G O3 垂直于 O1O2的平面 y PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 5 取圆环最低点 A 所在的水平面为零势面，系统的势能为： cosmglV= 则拉格朗日函数： cos)sin()cos( 2 1 2 3 2 2 2 1 mglJJJVTL+= & 代入拉格朗日方程：0)(= LL dt d & ，整理得物体的运动微分方程为： sincossin)( 32 2 1 mglJJJ=+ & 5- 15 长为 2 l，质量为 m的均质杆 AB 的两端沿框架的水平及铅垂边滑动，如图所示，框架 以角速度绕铅垂边转动。忽略摩擦，试建立杆的相对运动微分方程。 解： 框架（质量不计）以匀角速度绕铅垂边转动，该系统是保守系统，有一个自由度，取 AB 杆与铅垂边的夹角为广义坐标。若以框架为动系，AB 杆上任意一点的速度是该点相对于 框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直。杆 AB 的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。AB 杆相对于框架作 平面运动，速度瞬心为 O 点，设 AB 杆的质心为 C，由几何关系可知lBCOCAC=， 则质心为 C 的速度： &lvC= 杆 AB 相对于框架运动的动能： 2222 2 1 3 2 )2( 12 1 2 1 2 1 & mllmmvT C =+= 杆 AB 随框架转动的动能 222 2 0 2 2 sin 3 2 )sin( 22 1 mlxdx l m T l = 系统的动能 21 TTT+=。 取 0 90=为势能零点，则系统的势能为： cosmglV = 则拉格朗日函数： cos)sin( 3 2 2222 mglmlVTL+= & 代入拉格朗日方程：0)(= LL dt d & ，整理得系统的运动微分方程为： 0sin3cossin44 2 =gll & C O PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 6 由于角描述的是杆 AB 相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。 5- 17 重 1 P的楔块可沿水平面滑动，重 2 P的楔块沿楔块 A 的斜边滑动，在楔块 B 上作用一水 平力F，如图所示。忽略摩擦，角已知，试求楔块 A 的加速度及楔块 B 的相对加速度。 解： 取楔块 A，B 构成的系统为研究对象，该系统有 二个自由度，取楔块 A 水平滑动的位移x，以 及楔块 B 相对于 A 的沿斜面滑动的位移s为广 义坐标。 若以楔块 A 为动系， 楔块 A 的速度 A v， 楔块 B 的速度 B v， 以及 B 相对于 A 的相对速度 满足如下的矢量关系（方向如图所示） ： BrAB vvv+= 系统的动能为： )sin()cos( 222 1 2 1 22221 22 ssx g P x g P vmvmT BBAA &+=+= 2 22 2 21 2 1 cos 1 )( 2 1 sP g sxP g xPP g &+= 取过x轴的水平为零势面，系统的势能为： sin 2s PV = 则拉格朗日函数： sin 2 1 cos 1 )( 2 1 2 2 22 2 21 sPsP g sxP g xPP g VTL+=& 将水平力F视为非有势力，它对应于广义坐标x和s的广义力计算如下： 取0, 0=sx，在这组虚位移下力F所作的虚功为xFW x =，因此力F对应于广 义坐标x的广义力FQF x =； 取0, 0=sx，在这组虚位移下力F所作的虚功为sFW s cos=，因此力F对应 于广义坐标s的广义力cosFQF s =； 代入拉格朗日方程FQ x L x L dt d F x = )( & ，整理可得： FgsPxPP=+&cos)( 221 （1） x s A v Br v PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 7 代入拉格朗日方程cos)(FQ s L s L dt d F s = & ，整理可得： gPFsPxP)sincos(cos 222 =+& （2） 由方程(1)和方程(2)解得： 楔块 A 的加速度： g PP PF xaA 2 21 2 sin cossin + + = = & &，方向水平向右。 楔块 B 的相对加速度：g PPP PPPFP saBr )sin( sin)(cos 2 212 2211 + + = = & &，方向沿斜面向上。 5- 18 在光滑水平面上放一质量为 m的三角形楔块 ABC，质量为 1 m，半径为r的均质圆柱沿 楔块的 AB 边滚动而不滑动，如图所示。试求楔块的加速度及圆柱的角加速度。 解： 取楔块 ABC 和圆柱构成的系统为研 究对象，该系统为保守系统，有二个 自由度，取楔块水平滑动的位移x， 以及圆柱的转角（A 点=0） 为广 义坐标。若以楔块为动系，楔块的速 度 A v，圆柱轴心 O 的速度 o v，以及 轴心 O 相对于 A 的相对速度满足如 下的矢量关系（方向如图所示） ： OrAO vvv+= 圆柱在斜面上作纯滚动有：rvOr & =。系统的动能为： 22 1 2 1 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 & rmvmmvT OA += 22 1 22 1 2 4 1 )sin()cos( 2 1 2 1 &rmrrxmxm+= 22 11 2 1 4 3 cos)( 2 1 &rmxrmxmm+= 取过楔块上 A 点的水平为零势面，系统的势能为： sin 1 rgmV= 则拉格朗日函数： x A v Or v 零势面 PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 8 sin 4 3 cos)( 2 1 1 22 11 2 1 rgmrmxrmxmmVTL+=& 代入拉格朗日方程0)(= x L x L dt d & ，整理可得： 0cos)( 11 =+&rmxmm （1） 代入拉格朗日方程0)(= LL dt d & ，整理可得： sin2cos23gxr=& （2） 由方程(1)和方程(2)解得： 楔块的加速度： g mmm m xa 2 11 1 cos2)(3 2sin + = = & &，方向水平向左。 圆柱的角加速度：g rmmm mm cos2)( 3 sin)(2 2 11 1 + + = &，顺时针方向。 5- 21 系统由定滑轮 A 和动滑轮 B 以及三个重物组成，如图所示。重物 321 ,MMM的质量 分别为 321 ,mmm， 32321 ,mmmmm+a，即： 32 32 1 4 mm mm m + 5- 22 重 1 P的平台 AB 置于水平面上，物体M重 2 P，弹簧的刚度系数为 k，如图所示。在平 台上施加水平力F，忽略摩擦。如果系统从静止开始运动，此时弹簧物变形，试求平台和 物体M的加速度。 解： 取整个系统为研究对象，该系统有二个 自由度， 取平台的位移x， 以及物体M 相对于平台的位移s（弹簧原长为坐标 原点）为广义坐标。系统的动能为： 2221 )( 22 sx g P x g P T&+= 2 22 2 21 2 11 )( 2 1 sP g sxP g xPP g &+= x s PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 10 设初始时刻势能为零，系统的势能为： 2 2 1 ksV = 则拉格朗日函数： 22 22 2 21 2 1 2 11 )( 2 1 kssP g sxP g xPP g VTL+=& 将水平力F视为非有势力，它对应于广义坐标x和s的广义力计算如下： 取0, 0=sx，在这组虚位移下力F所作的虚功为xFW x =，因此力F对应于广 义坐标x的广义力FQF x =； 取0, 0=sx， 在这组虚位移下力F所作的虚功为0= s W ， 因此力F对应于广义坐 标s的广义力0= F s Q； 代入拉格朗日方程FQ x L x L dt d F x = )( & ，整理可得：FgsPxPP=+& 221 )( （1） 代入拉格朗日方程0)(= F s Q s L s L dt d & ，整理可得： 0 22 =+kgssPxP& （2） 由方程(1)可得：s PP P PP Fg x& )()( 21 2 21 + + = （3） 代入方程(2)得：FgPkgsPPsPP 22121 )(=+& （4） 解微分方程（4）得： )( cos )( 21 2 21 2 PPk FP pt PPk FP s + + =，其中： 21 212 )( PP kgPP p + =。 求导得：pt P Fg scos 1 =&，代入方程(3)可得： 平台的加速度： )cos1 ( 1 2 21 1 pt P P g PP F xa+ + = = & &，方向水平向右。 物体 M 的加速度：)cos1 ( 21 2 ptg PP F sxa + =+=&，方向水平向右。 5- 27 质量为 1 m的滑块 1 M可沿光滑水平面滑动，质量为 2 m的小球 2 M用长为 l 的杆 AB 与 滑块连接，杆可绕轴 A 转动，如图所示。若忽略杆的重量，试求系统的首次积分。 解： PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 11 取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块的位移x，以及杆 AB 与铅垂方向的 夹角为广义坐标。系统的动能为： 2 2 2 1 2 1 2 1 BA vmvmT+= )sin()cos( 2 1 2 1 22 2 2 1 llxmxm&+= 22 22 2 21 2 1 cos)( 2 1 &lmxlmxmm+= 设0=时势能为零，系统的势能为： )cos1 ( 2 =glmV 拉格朗日函数： )cos1 ( 2 1 cos)( 2 1 2 22 22 2 21 +=glmlmxlmxmmVTL& 拉格朗日函数中不显含广义坐标x和时间 t，存在循环积分和广义能量积分，即： =+= = cos)( 221 & & lmxmm x T x L 常数 =+=+)cos1 ( 2 1 cos)( 2 1 2 22 22 2 21 glmlmxlmxmmVT&常数 5- 28 图示质量为 2 m的滑块 B 沿与水平成倾角 的光滑斜面下滑，质量为 1 m的均质细杆 OD 借助铰链 O 和螺旋弹簧与滑块 B 相连，杆长为 l，弹簧的刚度系数为 k。试求系统的首次积分。 解： 取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度， 取滑块 B 沿斜面的位移s， 以及杆 OD 与铅垂方 向的夹角为广义坐标。 杆 OD 作平面运动， 系 统的动能为： 2 2 22 1 2 1 2 1 ) 12 1 ( 2 1 2 1 BC vmlmvmT+= & 2 2 22 1 22 1 2 1 24 1 2 )cos()sin( 2 1 smlm l ssm&+= 22 11 2 21 6 1 )cos( 2 1 )( 2 1 &lmslmsmm+= A v BA v B v CB v C PDF 文件使用 “pdfFactory“ 试用版本创建 12 设 0 90, 0=s时势能为零，系统的势能为： 2 211 2 1 sin)(cos 2 k