十三五基础物理学讲义武汉大学出版社习题答案2章.pdf

2015年適基礎物理學講義習題解答第1章質點學 mv0 k 總習題1-37圖 解答：當鋼柱慢慢減速、 靶慢慢加速， 使得二者的速度相等時， 彈簧被壓縮的 長度最大水平方向沒有阻力， 水平動量守恆設共同的速度是v， 最大壓縮長 度是s， mv0= (m + M)v 鋼柱與軟彈簧的碰撞可以看做完全彈性的 1 2mv 2 0= 1 2(m + M)v 2 + 1 2ks 2 聯立上述兩式可得到 s = v0 mM k(m + M) 1-38 度為l的細線拴著個質量為M的沙袋動量為mv0的彈平射沙袋， 問沙袋向上擺動的最度是多少？ 解答：子彈打入沙袋的過程中， 有內摩擦力做功， 機械能不守恆但是水平動 量守恆 mv0= (m + M)v 沙袋與子彈上擺過程中， 衹有重力做功， 機械能守恆 1 2(m + M)v 2 = (m + M)gh 解得 h = 1 2g ( mv0 m + M )2 21 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 第二章廣延物質力學 2.1 剛體的基本運動形式有平動和轉動兩種基本類型 2.2 質量為m的質點沿著半徑為r的圓周以速度轉動，其轉動慣量 J =mr2 2.3 質量均為m的四個質點輕質細杆連接成個邊為a的正形剛體 若該正形圍繞其中的條邊轉動， 其轉動慣量J =2ma2； 若轉軸是對線， 其轉動慣量為J =ma2； 若轉軸經過正形中且垂直於正形平， 其轉動慣量為J =2ma2； 2.4 質量為m，半徑為r的均勻圓盤繞垂直於盤的中軸轉動，轉動慣量 為 1 2mr 2 ； 質量為m，度為l的細棒，對於過端點且垂直於棒的軸的轉動慣量 為 1 3ml 2 ； 質量為m，度為l的細棒，對於過中點且垂直於棒的軸的轉動慣量 為 1 12ml 2 2.5 轉動慣量為2.5 kg m2、 半徑為0.5 m的定滑輪繞中軸轉動， 其邊緣受 到20 N的切向摩擦阻，阻矩的為10 N m，其加速度的 為4 s2 2.6 判定正誤 剛體受到的合外不為零， 則合外矩定不為零；. . . . . . . . . . . . . . . . 若外穿過轉軸， 則它產的矩為零； 若外平於轉軸， 則它對轉軸的矩為零； 2.7 質量m速率v的質點做半徑為r的勻速率圓周運動，其動量 為mvr 2.8 質量m速率v的質點沿著x軸做勻速率直線運動， 它相對於坐標點(x, y)的 動量為mvy 2.9 某恆星誕之初慣量矩為J， 速度為當燃料耗盡之後坍塌為矮星， 22 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 慣量矩為J/4， 此時其轉動速度為4 2.10 已知地球在近點時距離太陽r1， 速率v1， 在遠點時距離太陽r2， 則速 率v2=v1r1/r2 2.11 判定正誤 剛體內部的相互作不能改變剛體的動量； 若剛體的動量守恆， 則剛體所受合外為零；. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 若外平於轉軸， 則剛體的動量守恆； 若外的延線穿過轉軸， 則剛體動量守恆； 衛星環繞地球橢圓運動， 其能量守恆動量不守恆；. . . . . . . . . . . . . 2.12 轉動慣量為J， 速度為的定軸轉動的剛體， 其動量為J， 轉 動能量為 1 2J 2 2.13 慣量矩為9.0 kg m2的定滑輪受到18 N m的矩作轉過了3.0 rad， 則滑輪的加速度為2.0rad/s2， 矩做功54J 2.14 某發動機銘牌上標註額定轉速為3600 rpm， 額定輸出扭矩為50.0 N m， 則此刻發動機的功率為6 = 18.8kW 2.15 杆 件 的 變 形 種 類 可 以 分 為伸縮、剪切、彎曲、 扭轉四種 2.16 10 N的拉拽條橫截為2 mm2的鐵絲， 則鐵絲內部橫截上的正 應為5 MPa 2.17 度為2 m、 橫截積為2 mm2的細鋼絲， 受到300 N的拉後， 度增 加了1.5 mm則鋼絲的正應變為7.5 104， 正應等於1.5 108Pa， 楊 模量為2 1011Pa 2.18 上海環球融中樓主體部分度約400 m， 其頂部在中搖擺的幅 度約1 m， 若將此視為剪切形變， 則剪切應變為2.5 103 2.19 9.4 N的推施加在半徑1.0 cm的注射器上，注射器內的壓強增 30kPa 2.20 取 重 加 速 度g = 10 m/s2， 的 密 度 = 103kg/m3， 則 氣 壓 p0= 105Pa相當於深度為10m的壓 2.21 設的表張係數為， 則半徑為r的珠內壓外壓2/r 2.22 判定正誤 23 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 彎曲液的附加壓強指向液體內部；. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 彎曲液的附加壓強指向曲率中； 球形液膜的直徑越， 附加壓強越； 細管內的液定升；. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 細管越細， 液度變化越； 2.23 段來管， 前半截直徑為4 cm， 流速為2 m/s； 後半截直徑為2 cm， 則流速為8 m/s 2.24 澆花的總管直徑5.0 cm， 速1.5 m/s； 噴頭上有10個相同的的圓孔， 直徑5 mm； 噴頭處的流速為15 m/s 2.25 判定正誤 機起時， 逆順更好； 平放置的來管， 粗管處的壓；. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 平的排氣管道中， 流速的位置氣壓； 總習題二 轉動慣量 2-1 半徑為R質量為m的均勻細圓環繞它的條直徑轉動， 根據定義計算它的轉動 慣量 總習題2-1圖 解答：以環心為坐標原點建立極坐標， 水平坐標軸為轉軸每個質元到轉軸的 距離為l = Rsin， 對應的圓心角為d整個圓周的角度為2， 總質量為m， 則 該質元的質量為dm = (m/2)d J = L l2dm = 2 0 R2sin2 m 2 d = mR2 2 2 0 sin2d = mR2 2 2 0 1 cos2 2 d 24 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 = 1 2mR 2 2-2 半徑為R質量為m的均勻細圓環繞它的條切線轉動， 根據定義計算它的轉動 慣量 總習題2-2圖 解答： 以環心為坐標原點建立極坐標， 每個質元到轉軸的距離為l = R+Rcos， 對應的圓心角為d整個圓周的角度為2， 總質量為m， 則該質元的質量為 dm = (m/2)d J = L l2dm = 2 0 R2(1 + cos2) m 2 d = mR2 2 2 0 3 + cos2 2 d = 3 2mR 2 2-3 六個質量均為m的球輕質硬杆連接成個邊為l的平正六邊形計算 轉動慣量： 轉軸為aa； 轉軸為bb 1 2 3 4 56 a a b b 總習題2-3圖 解答：小球1、 4到轉軸aa的距離是l， 其餘四個小球到轉軸的距離為l/2， J = mir2 i = m l2+ l2+ (l/2)2+ (l/2)2+ (l/2)2+ (l/2)2 = 3ml2 小球2、 5到轉軸bb的距離是0， 其餘四個小球到轉軸的距離為 3l/2， J = mir2 i = m ( 3l/2)2 4 = 3ml2 25 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 2-4 在半徑為R2的均勻薄圓盤中再挖去半徑為R1的圓盤， 剩餘的圓環總質量為 m證明剩餘部分相對於中垂軸的轉動慣量為m(R2 1+ R 2 2)/2 解答：圓盤的面密度為 = m (R2 2 R21) 將該圓盤切割為細圓環， 其轉動慣量 dJ = r2dm = r2 (2rdr) = 2m R2 2 R21 r3dr 總轉動慣量 J = 2m R2 2 R21 R2 R1 r3dr = m 2 (R2 2+ R 2 1) 另解： 設圓盤的面密度為， 半徑為R2的大圓盤質量為m2= R2 2， 挖去 的小圓盤質量為m1= R2 1， 剩餘部分的質量m = (R 2 2 R 2 1) 大圓盤的轉動慣量 J2= 1 2m2R 2 2= 1 2R 4 2 小圓盤的轉動慣量 J1= 1 2m1R 2 1= 1 2R 4 1 剩餘部分的轉動慣量 J = J2 J1= 1 2(R 4 2 R 4 1) = 1 2 (R2 2 R 2 1) (R2 2+ R 2 1) = 1 2 m (R2 2+ R 2 1) 轉動定律 2-5 如下圖所， 重物的質量m1 m2； 定滑輪的半徑為r， 轉動慣量為J； 軟繩與滑 輪之間無相對滑動， 滑輪的輪軸處無摩擦， 物體與平撐之間的摩擦係數為 計算重物加速度a的 m1 a J m2 I II 總習題2-5圖 解答：設滑輪兩側繩子的張力分別為F1， F2 重物1加速下落： m1g F1= m1a(1) 26 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 重物2向右加速： F2 m2g = m2a(2) 定滑輪加速轉動： F1r F2r = J = Ja/r(3) 式(1) r + (2) r + (3)可得 m1gr m2gr = r(m1+ m2+ J/r2)a = a = m1g m2g m1+ m2+ J/r2 另解： 假設重物下落距離l時， 速率為v， 則此刻滑輪的角速度根據動 能定理， 重力與摩擦力做功等於系統動能增量， m1gl m2gl = 1 2(m1 + m2)v2+ 1 2J 2 將 = v/r代入上式化簡， 可得到 (m1g m2g)l = 1 2 (m 1+ m2+ J/r2 ) v2 在該式中， l與v是隨著時間變化的兩邊對時間求導， 可得到 (m1g m2g) dl dt = 1 2 (m 1+ m2+ J/r2 ) 2v dv dt 其中 dl dt = v，dv dt = a， a = m1g m2g m1+ m2+ J/r2 2-6 如下圖所， 定滑輪由兩個半徑不同的輪拼接成， 總轉動慣量為J， 半徑分 別為r1、 r2， 且r1 r2； 重物的質量m1 m2； 軟繩與滑輪之間無相對滑動， 滑輪的輪 軸處無摩擦， 計算滑輪的加速度的 J m1 m2 總習題2-6圖 解答：設懸掛兩個重物的繩子的張力分別為F1、 F2定滑輪轉動一週， 重物1下 降的距離大於重物2上升的距離因此兩個重物運動的加速度是不同的； 而定 滑輪的角加速度是共同的 重物1加速下落m1g F1= m1a1= m1r1(1) 27 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 重物2加速上升F2 m2g = m2a2= m2r2(2) 定滑輪加速轉動F1r1 F2r2= J(3) 式(1) r1+ (2) r2+ (3)可得 m1gr1 m2gr2= (m1r2 1+ m2r 2 2+ J) = = m1gr1 m2gr2 m1r2 1 + m2r2 2 + J 角動量 2-7 如圖所， 在光滑平桌上， 為H質量為m1的均勻細棒能繞端由轉動 開始時， 細棒靜於平桌上現有度為r = H/2的輕質細線牽引質量為m2的 球， 在平桌內以速度v20垂直撞擊細棒並粘在起細線的固定點與細棒的 轉軸近似重合求細棒和球起運動時的速度 O F v0 總習題2-7圖 解答： 將細棒與小球看做系統水平桌面的支撐力平行於轉軸， 所以不予考慮 在水平方向存在的外力是由細線以及細棒的轉軸產生的， 所以水平方向的動量 不守恆但是這兩個力是通過轉軸的， 力矩為零， 因此該系統的角動量守恆 小球的轉動慣量J2= m2r2= m2H2/4， 初始角速度20= v20/r = 2v20/H， 在碰撞之前， 小球的角動量 J220= 1 2m2v20H 碰撞後， 小球與細棒一起運動， 相對於轉軸的轉動慣量為 J1+ J2= 1 3m1H 2 + 1 4m2H 2 根據角動量守恆定律， 1 2m2v20H = (1 3m1H 2 + 1 4m2H 2) 28 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 可得 = 6m2v20 (4m1+ 3m2)H 2-8 如下圖所， 轉動慣量J1半徑為R的定滑輪以速度10順時針轉動總質量m2 初速度v20的束玻璃膠逆時針向噴射到滑輪邊緣滑輪與膠起轉動的速度 多？ m v 220 h10 J1 R 總習題2-8圖 解答：系統的角動量守恆以順時針為正方向， 黏結之前系統的總角動量為 J110 m2v20h 設黏結之後的角速度為黏膠形成一個薄圓環， 其轉動慣量為m2R2， 所以系 統的角動量為 (J1+ m2R2) 由角動量守恆得 J110 m2v20h = (J1+ m2R2), = J110 m2v20h J1+ m2R2 2-9 質量為m1的均勻圓盤在平內以速度0無摩擦的轉動， 圓盤邊緣停著 隻質量為m2蟲如果蟲爬到圓盤的中， 圓盤的速度變為多？ 解答：令圓盤的半徑為R， 小蟲在邊緣時， 係統的總轉動慣量為 J0= 1 2m1R 2 + m2R2 小蟲爬到圓盤的中心後， 其轉動半徑為零， 故系統的總轉動慣量為J = 1 2m1R 2 在小蟲爬行過程中， 無外力矩， 所以系統總角動量守恆， J00= J, = m1+ 2m2 m1 0 2-10 平的均勻圓盤質量為m， 半徑為R1， 可以繞中垂軸無摩擦的轉動； 圓盤上有 個質量為m的； 開始時， 係統靜不動當在圓盤上繞中軸以半徑R2轉動 29 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 時， 圓盤必然倒轉若相對於圓盤的速率是v， 問圓盤倒轉的速度多？ 解答：設人對地的角速度為20， 圓盤對地角速度為10， 則人相對於圓盤的角 速度為 21= 20 10= v/R2 圓盤的轉動慣量為mR2 1/2， 人的轉動慣量為mR 2 2根據角動量守恆有 1 2mR 2 1 10+ mR 2 2 20= 0 聯立上述二式消去20， 可得到 |10| = 2R2v 2R2 2+ R21 轉動能量 2-11 如下圖所， 定滑輪半徑為r， 轉動慣量為J； 軟繩與滑輪之間無相對滑動， 滑 輪的輪軸處無摩擦； 彈簧的勁度係數為k； 系統剛開始處於靜狀態且彈簧無變形 計算物體m的最下落速率以及最下落距離 m v J 總習題2-11圖 解答：重物下落過程中， 衹有彈簧和重力做功， 機械能守恆設下落高度h時， 重物的速率為v， 則滑輪的角速度為 = v/r， 以剛開始下落的位置作為彈性勢 能和重力勢能的零點， 則有 0 = 1 2mv 2 + 1 2J 2 + 1 2kh 2 + (mgh) 化簡為 1 2(m + J/r 2)v2 = mgh 1 2kh 2 () 在下落過程中， 首先是重力大於彈性力， 加速下落； 然後彈性力大於重力， 減 速下落； 當彈性力等於重力時， 加速度為零， 下落速度最大， 即mg = kh, h = mg/k， 30 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 代入式()可得最大速率 vm= mg mk + Jk/r2 當下落的速率v = 0時， 下落的距離最大將v = 0代入式()可得 hm= 2mg k 另解：根據式()，速率v取得極大值時，等價於式()右側的二次函數 mgh 1 2kh 2取得極大值該二次函數的圖像是一條開口向下的拋物線， 與橫軸 有兩個交點， mgh 1 2kh 2 = 0, h1= 0,h2= 2mg k 拋物線的最高點必然位於兩個根的中點h = mg k ， 將它回代式()即可得到最大 速度vm 因為v2 0， 故式()的右側mgh 1 2kh 2 0， 從拋物線的圖像可以看出 0 h 2mg k ， h的極大值hm= 2mg k 2-12 如下圖所， 度為D， 質量為M的均勻細棒可以繞端點由轉動， 另端固 定個質量為m的球若系統從平位置開始擺動， 當擺動時， 速度多？ O 總習題2-12圖 解答：系統的總轉動慣量J = 1 3MD 2 + mD2當擺動角時， 細棒的重心下降 1 2Dsin， 小球重心下降Dsin在下落過程中， 重力做功轉化為系統的動能 Mg 1 2Dsin + mg Dsin = 1 2J 2 將J代入， 計算得 = (3M + 6m)gsin (M + 3m)D 另解： 利用 重力矩做功等於動能增量 來求解 系統轉動至任意角度時，棒的重力矩為Mg 1 2Dcos， 球的重力矩為 mg Dcos， 重力矩做功 W = 0 d = 0 ( Mg 1 2Dcos + mg Dcos ) d 31 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 = Mg 1 2Dsin + mg Dsin 可以看到重力矩做的功與重力做的功， 其結果是相同的 用動能定理W = 1 2J 2即可得到最終結論 2-13 如下圖所， 兩個定滑輪的半徑分別為R1、 R2， 轉動慣量分別為J1、 J2； 繩的 質量忽略不計， 兩端分別懸掛的重物質量為m1、 m2； 軟繩與滑輪之間無相對滑動， 滑輪的輪軸處無摩擦， 計算重物的加速度a的 J2 J1 R1 R2 m1 m2 a a 總習題2-13圖 解答：利用動能定理求解重物1下落的距離與重物2上升的距離相同， 設為h 重力做功等於系統動能的增量 m1gh m2gh = 1 2m1v 2 + 1 2m2v 2 + 1 2J1 2 1+ 1 2J2 2 2 其中1= v/R1, 2= v/R2， 代入上式得 (m1 m2)gh = 1 2 (m 1+ m2+ J1/R21+ J2/R22 ) v2 兩邊對時間求導 (m1 m2)g dh dt = 1 2 (m 1+ m2+ J1/R21+ J2/R22 ) 2v dv dt 其中 dh dt = v，dv dt = a， 代入即可得 a = (m1 m2)g m1+ m2+ J1/R2 1+ J2/R22 另解： 設懸掛兩個重物的繩子的張力分別為F1、 F2， 兩定滑輪之間的水平繩子張 力為F0兩個滑輪的線速度、 線加速度相同， 但是角速度、 角加速度不等 重物1加速下落m1g F1= m1a(1) 重物2加速上升F2 m2g = m2a(2) 32 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 滑輪1順時針轉動F1R1 F0R1= J11= J1a/R1(3) 滑輪2順時針轉動F0R2 F2R2= J22= J2a/R2(4) 式(1) + (2) + (3) R1+ (4) R2可得 m1g m2g = (m1+ m2+ J1/R2 1+ J2/R 2 2)a a = m1g m2g m1+ m2+ J1/R2 1+ J2/R22 2-14 如下圖所， 兩個定滑輪通過帶連在起， 半徑分別為R1、 R2， 轉動慣量分 別為J1、 J2； 帶的質量忽略不計， 與滑輪之間無相對滑動； 滑輪的輪軸處無摩擦； 若在滑輪上施加為0的外矩， 計算該滑輪的加速度的 R1 R2 a 0 II I 總習題2-14圖 解答：兩個滑輪的線速度、 線加速度相同，