高中数学第四章定积分章末综合测评北师大版.docx

(四)定积分(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.xdx表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为()ABCD【解析】由定积分的几何意义易知选项B正确.【答案】B2.sin xdx()A.1B.2C.2D.0【解析】sin xdxcos x0.【答案】D3.(3x22x3)dx()A.B.2C.D.2【解析】(3x22x3)dx(3x2)dx(2x3)dx3x2dx2x3dx327.【答案】C4.若(23x)dx2(a0)，则a的值为()A.2B.C.2或D.2或【解析】a0，(23x)dx2aa2，由题知2aa22，解得a2.【答案】A5.曲线y26ax，x2a(a0)绕x轴旋转所得旋转体的体积为()A.2a2B.4a2C.12a3D.14a3【解析】Vy2dx6axdx3ax212a3.【答案】C6.设f(x)则f(x)dx等于() A.B.C.D.【解析】f(x)dxx2dxdxx3ln x.【答案】A7.由yex，x2，ye围成的曲边梯形的面积是()A.e22eB.e2eC.e2D.e【解析】所求面积为S(exe)dx(exex)e22e.【答案】A8.(2016石家庄高二检测)若dx3ln 2，且a1，则a的值为()A.6B.4C.3D.2【解析】dx(x2ln x)|a2ln a1，故有a2ln a13ln 2，解得a2.【答案】D9.若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2S1【解析】S1x2dxx323，S2dxln xln 2，S3exdxexe2ee(e1)，ln 2ln e1，且2.5e(e1)，所以ln 2e(e1)，即S2S10，所以f(1)lg 10.又x0时，f(x)x3t2dtxt3xa3，所以f(0)a3.因为ff(1)1，所以a31，解得a1.【答案】D11.定积分(x)dx等于()A.B.1C.D.【解析】(x)dxdxxdx.dx表示圆(x1)2y21的上半圆与x1，x0，y0围成的图形面积.画出图形(略)可知S1dx，S2xdx，SS1S2.【答案】A12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.125ln 5B.825ln C.425ln 5D.450ln 2【解析】由v(t)73t0，可得t，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dtdt425ln 5.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.若(2xk)dx2，则k_.【解析】(2xk)dx(x2kx)1k2，k1.【答案】114.曲线y24ax，xa(a0)绕x轴旋转所得的旋转体体积是_. 【解析】由旋转体体积公式可得：Vy2dx4axdx4a2a3.【答案】2a315.设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_.【解析】(ax2c)dxaxc，ax.a0，x，又0x01，x0.【答案】16.曲线yx2和曲线y2x围成的图形的面积是_.【解析】作出两曲线yx2与yx围成的图形(如图阴影所示)，则图形的面积Sdx.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)由直线ykx(k0)，直线y0，x1所围成的图形的面积为S1，由曲线y33x2，直线x0，x1，y0所围成的图形的面积为S2，当S1S2时，求k的值及直线的方程.【解】依题意得S1kxdxkx2，S2(33x2)dx(3xx3)2.S1S2，2，解得k4，则直线的方程为y4x.18.(本小题满分12分)如图1所示，求由曲线yx2，x0，3，x0及y2所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成几何体的体积.图1【解】根据题意和图形，所求体积V (2)2dy4 ydy4y22.19.(本小题满分12分)计算曲线yx22x3与直线yx3所围成图形的面积.【解】由解得x10，x23.因此所求图形的面积为S(x3)dx(x22x3)dx(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.20.(本小题满分12分)求由曲线y，直线yx2以及x轴所围成的平面图形的面积.【解】作出直线yx2，曲线y的草图，所求平面图形的面积为图中阴影部分的面积.可求得直线yx2与曲线y的交点为(4，2).直线yx2与x轴的交点为(2，0).阴影部分的面积(记为S)，由两部分组成：一部分是直线x2左边的图形的面积(记为S1)；另一部分是直线x2右边的图形的面积(记为S2).则SS1S2dxxx.21.(本小题满分12分)设F(x)(t22t8)dt.(1)求F(x)的单调区间；(2)求F(x)在1，3上的最值.【解】依题意，F(x)(t22t8)dtx3x28x，定义域是(0，).(1)F(x)x22x8，令F(x)0，得x2或x4，令F(x)0，得4x2，由于定义域是(0，)，函数的增区间是(2，)，减区间是(0，2).(2)令F(x)0，得x2(x4舍去)，由于F(1)，F(2)，F(3)6，F(x)在1，3上的最大值是F(3)6，最小值是F(2).22.(本小题满分12分)求由曲线yx2，直线y2x3所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】曲线yx2与直线y2x3的交点为A(1，1)，B(3，9)，则它们所围成的平面图形如图中阴影部分所示.所以所得旋转体的体积V等于直线y2x3，x1，x3与x轴所围成的平面图