北航信号分析与处理中的数学方法试题答案.pdfVIP

1、叙述卡享南洛厄维变换，为什么该变换被称为最佳变换，何为 其实用时的困难所在，举例说明其应用。 被称为最佳变换是因为它经常用来处理随机变量信号，能使变换后的分量不 相关，且使均方误差最小。 实用时的困难是由其变换的特点所决定的，这种变换没有固定的变换矩阵， 依赖于给定的随机向量的协方差阵。依照不固定的矩阵 Cx 求特征值和特征向量 就是其困难所在。 应用：在数据压缩技术中。特别是随着信息时代的发展到第三个阶段-大数 据时代，数据量呈指数型增长，按照最优化原则的数据压缩技术可以解决通讯和 数据传输系统的信道容量不足问题。通过对信号作正交变换，根据失真最小的原 则在变换域进行压缩。卡享南-洛厄维变换使这种变换消除了原始信号诸分量间 的相关性，从而使数据压缩能遵循均方误差最小的准则实施。 2、最小二乘法的三种表现形式是什么？用三种方法求解希尔伯特空 间中线性逼近问题，并评价三种方法的优缺点。 答：三种表现形式分别为：投影法、求导法和配方法。 投影法：投影法： 设X为希尔伯特空间， 12 ,e e 为X中的一组归一化正交元素，x为X中 的某一元素。在子空间 12 ,Mspan e e中求一元素 0 m，使得 0 min m M xmxm (1) 由于M中的元素可表示为 12 ,e e 的线性组合，那么问题就转化为求系数 12 , ，使得 1 min kk k xe (2) 投影定理指出了最优系数 12 , 应满足 1 ,1,2, kkm k xeem (3) 由此即得 1 , mkkmm k x ee e 。也就是说，当且仅当 k 取为x关于归 一化正交系 12 ,e e 的傅立叶系数, kk x e时式(2-2)成立。 求导法：求导法： 记泛函 2 12 1 , kk k fxe (4) 为了便于使用求导法求此泛函的最小值，将它表为 12 11 2 2 11 , 2 kkm m km kkk kk fxe xe xc (5) 其中, kk cx e。于是最优的 12 , 应满足 0,1,2, m f m 即220 mm c，或,1,2, mm cm。 配方法：配方法： 2 2 12 11 ,2 kkk kk fxc (6) 2 222 1111 2 kkkkk kkkk xccc 22 2 11 kkk kk xcc min kk c，1,2,k 比较： （1）从数学理论上来说：投影法最高深，求导法次之，配方法最初等。 （2）从方法难度上：求导法最容易，投影法和配方法难度相当。 （3）从结果来看：配方法最好，因为它不仅求出了最优系数k，而且由配 方结果立即可知目标函数 f（1，2，）的极值。此外，配方法和投影 法都给出了 f 达到极小的充分和必要条件，但求导法给出的仅仅是极值的 必要条件，如果是极值，还不知道是极大还是极小，故是不完整的。 通过上面三个方面的比较，我们不能简单的说这三种方法谁更好，因为它们 实际应用时都有自己的局限性。 例如投影法必须把所讨论的最优化问题放到某个 希尔伯特空间的框架中去；求导法必须有可行的求导法则，如果未知的变元是向 量， 矩阵或函数， 求导法就不那么直接了； 而配方法则是一种技巧性很强的方法， 如果目标函数比较复杂，那么用配方法很相当困难。具体的优越性如何要根据具 体应用环境来决定。 3、二阶矩有限的随机变量希尔伯特空间中平稳序列的预测问题的法 方程称为关于平稳序列预测问题的 yule-walker 方程， 试用投影法和 求导法推导该方程。该方程的求解算法称为最小二乘算法，请对这些 算法的原理予以描述。 （2）求导法： 2 2 min NN kkkk xxExx 改写为如下形式 2 1 1 ,min n nkk k fxy 进一步推导有 11 2 111 2 , 2, 2 nn kkkk kk nnn kkkmkm kkm TT fxyxy xx yyy xY 利用求导公式， 应满足 220fY ，即Y 。 最小二乘算法包括 Durbin 算法、Levision 算法、Levision-Burg 算法、托布利 兹方程递推算法、Cholesky 算法。 Durbin 算法： 设 yule-walker 方程的解为： ,1, (,.,)T NNN n aaa (1) yule-walker 方程可以写为： 1,121 , , , T NN nNN Raarrr (2) 解（2）方程的 Durbin 递推算法为：从式（3）开始，依次按照式(5)和式(4)进 行递推运算。 1kk kkk xA xK y ,112 / L arr (3) ,1, 1,1 N mN L mN NNN m aaaamN (4) 111,11,1 , 0111,11,1 ( ,.,)(,.,) ( ,.,)(,.,) T NNNNN N N T NNNN rrraa a rrraa (5) Levision-Burg 算法： 托布利兹方程递推算法：方程（1）的递推算法是：从式（2）起始，依次按照式 （3） 、 （4） 、 （5）和（6）进行递推运算。 (0)(0) 00010000 ,/,/wr srr aur （1） (1)2 11 (1() ) N NNN wws （2） ()()() 11, NNN NNNN NN auvuv （3） ()()() 111, NNN NNNN NN aUuuv （4） ()(1) 1, / NN NNNN NN srr sw （5） ()(1)(1) 1,1, NNNN NN NNN NN ssDss （6） 4、简述卡尔曼滤波以及由其衍生出的EKF、UKF和粒子滤波的原理， 指出卡尔曼滤波中Q阵和R阵的确定方法以及对滤波结果的影响， 并 指出以上这些滤波算法可能的应用。 答： 卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列 的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。 EKF 扩展卡尔曼滤波： Bucy，Sunahara 等人提出并研究了扩展卡尔曼滤波 (Extended Kalman Filter，简称 EKF)，将卡尔曼滤波理论进一步应用到非线性领 域。EKF 的基本思想是将非线性系统线性化，然后进行卡尔曼滤波，因此 EKF 是一种次优滤波。 UKF（Unscented Kalman Filter)无损卡尔曼滤波。是无损变换(UT) 和标准 Kalman 滤波体系的结合，通过无损变换使非线性系统方程适用于线性假设下的 标准 Kalman 滤波体系。 粒子滤波：指通过寻找一组在状态空间中传播的随机样本来近似的表示概率 密度函数， 用样本均值代替积分运算， 进而获得系统状态的最小方差估计的过程， 这些样本被形象的称为“粒子”，故而叫粒子滤波。 卡尔曼滤波原理：卡尔曼滤波原理： 卡尔曼滤波器分为两个部分：时间更新方程和测量更新方程。时间更新方程 负责及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计的值， 以便为下一个时间状态 构造先验估计。测量更新方程负责反馈，它将先验估计和新的测量变量结合以构 造改进的后验估计。时间更新方程也可视为预估方程，测量更新方程可视为校正 方程。 时间更新方程为(1)和（2） ： 1kk kkk xA xKy (1) 1 T kk PAPAQ (2) 状态更新方程如下： 1 () TT kkk KP HHP HR (3) () kkkkk xxKyHx (4) () kkk PIK H P (5) 测量更新方程首先计算卡尔曼增益 Kk，接着便测量输出以获得 Zk，然后产 生状态的后验估计。最后按 () kkk PIK H P 产生估计状态的后验协方差。然后 反复迭代整个过程。上一次计算得到的后验估计被作为下一次计算的先验估计。 过程噪声的方差 Q 和测量噪声的方差 R 的选取的确是和你量测和系统噪声的相 关统计特性有关，目前的理论做法是通过对实验数据（量测数据和系统建模）来 进行估计，因为量测噪声的统计特性的建模的准确性，系统在不同的环境下表现 不同等，都有影响。Q、R 的选取是否和实际相符直接影响着滤波的精度,严重 时还会导致滤波发散。 EKF 原理：EKF 原理： Kalman 滤波能够在线性高斯模型的条件下，可以对目标的状态做出最优的 估计， 得到较好的跟踪效果。对非线性滤波问题常用的处理方法是利用线性化技 巧将其转化为一个近似的线性滤波问题。因此，可以利用非线性函数的局部性特 性，将非线性模型局部化，再利用 Kalman 滤波算法完成滤波跟踪。扩展 Kalman 滤波就是基于这样的思想，将系统的非线性函数做一阶 Taylor 展开，得到线性 化的系统方程从而完成对目标的滤波估计等处理。 非线性系统离散动态方程可以表示为 (k 1)fk,X(k)G(k)W(k)X （1） (k)hk,X(k)V(k)Z （2） 这里为了便于数学处理，假定没有控制量的输入，并假定过程噪声是均值为 零的高斯白噪声，且噪声分布矩阵 (k)G 是已知的。其中，观测噪声 (k)V 也是加 性均值为零的高斯白噪声。假定过程噪声和观测噪声序列是彼此独立的，并且有 初始状态估计 (0 | 0) X 和协方差矩阵 (0 | 0)P 。和线性系统的情况一样，我们可以 得到扩展 Kalman 滤波算法如下 这里需要重要说明的是， 状态转移 (k 1| )k 和量测矩阵 (k 1)H 是由 f 和h 的雅克比矩阵代替的。其雅克比矩阵的求法如下： 假如状态变量有 n 维，即 12 x x . x n X ，则对状态方程对各维求偏导， 123 (k1). n fffff xxxxx （8） 123 (k1). n hhhhh H Xxxxx （9） 可能的应用：可能的应用： 卡尔曼滤波在雷达系统以及交通管制领域得到了广泛的应用，因为卡尔曼滤 波能够利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好 的估计。在雷达系统中，比如目标跟踪。可以对当前目标位置滤波，也可以是对 于将来位置的预测，也可以是对过去位置的估计。 EKF 和 UKF 被广泛应用于导航、目标跟踪、信号处理和神经网络学习等多 个领域。 粒子滤波具有十分广泛的应用： （1）在经济学领域被应用在经济数据预测； （2）在军事领域已经被应用于雷达跟踪空中飞行物； （3）在交通管制领域它被应用在对车或人视频监控； （4）还用于机器人的全局定位。 5、什么是插值？有多少种插值？具体说明样条插值的原理，举例说 明其应用。 答：插值：在只知道逼近函数在一些采样点处的数值时 ,0,1, ii xtxi 就希望用简单的或可实现的函数 F（t）去拟合这些数据。如果正好能够做到 i