地中海鲨鱼问题--微分方程.doc

地中海鲨鱼问题种群的竞争与依存摘要自然界存在捕食者与被捕食者系统。这两个物种之间既相互制约又相互依存。本文首先建立了鲨鱼在战争前与战争期间的增长比例模型。由于考虑的外界因素不同，模型分为鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食饵）在自然条件下战争前、战争期间比较模型和鲨鱼（捕食者）、食用鱼（食饵）在人工捕获条件下战争前、战争期间比较模型。采用解微分方程组的方法分别求出战争前、战争中两种条件下鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食饵）的增长比例关系。由意大利著名生物学家（volterra）建立系列数学模型。食用鱼一多，鲨鱼易得食，鲨鱼量亦增，而由于鲨鱼数目增多吃掉大量的食用鱼，鲨鱼又进入饥饿状态而使其总数下降，这时食用鱼相对安全些，于是食用鱼总数回升，就这样，食用鱼鲨鱼数量交替着增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。由于战争中人的的捕获量百分比降低，战争中鲨鱼的比例比战前高。关键词：微分方程 捕食者 食饵 百分比 动态平衡 一、问题重述意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.7为了解释这一问题，通过建立一个食饵捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.，给出一个合理又具有说服力和可实际操作的的答案或方案！以供现实生产，捕捞的指导与借鉴！二、问题分析1背景分析第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加。年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.7为什么战争前后的食用鱼，鲨鱼的数量和比例发生如此大的变化。分析了解到，由于战争影响，导致渔民的日常捕鱼活动减少，从而使得海洋中的食用鱼和鲨鱼数量猛增。鲨鱼以食用鱼为原料而生存，它们相互制约，相互影响。鲨鱼数量的增长，从而导致食用鱼的减少。2问题分析战争的影响不仅仅是伤亡与痛苦，更是对于参战双方的经济，劳动生产等的影响。战争使得捕鱼量的下降，食用鱼与鲨鱼数量的变化。我们进行数据分析与整理，对于鲨鱼数量在战争中明显增加的现象给出合理解释。三模型假设1不考虑人工捕获时食饵在t时刻的增长率，与食饵在t时刻的数量成正比，与食饵独立生存时的增长率与捕食者掠取食饵的能力与捕食者掠取食饵的能力的乘积的差成正比捕食者掠取食饵的能力的增长率，与捕食者掠取食饵的能力成正比，与食饵对捕食者的供养能力.与食饵在t时刻的数量的乘积与捕食者独自存在时的死亡率的差成正比。2.考虑人工捕获时设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e四符号说明食饵在t时刻的数量； 捕食者在t时刻的数量；食饵独立生存时的增长率；捕食者掠取食饵的能力； 捕食者掠取食饵的能力食饵对捕食者的供养能力.e捕获能力系数五模型的建立和求解 生活在同一环境中的各类生物之间进行残酷的生存竞争，一类动物靠扑食另一种动物为生，被捕食者只能靠又多又快的繁殖后代和逃跑等方式求生存发展，如此等等，设想一海，居住着鲨鱼和食用鱼，设其水草类资源丰富，鲨鱼吃食用鱼，食用鱼吃水草，水草繁盛，食用鱼一多，鲨鱼易得食，鲨鱼量亦增，而由于鲨鱼数目增多吃掉大量的食用鱼，鲨鱼又进入饥饿状态而使其总数下降，这时食用鱼相对安全些，于是食用鱼总数回升，就这样，食用鱼鲨鱼数量交替着增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡，意大利著名生物学家（volterra）建立系列数学模型。模型（一） 不考虑人工捕获设食饵者与初始数量分别为对于数据t的终值经试验后确定为15，即模型为由matlab得和的曲线图见附录1相轨线y(x)的图形见附录2该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是最简单的模型食用鱼一多，鲨鱼易得食，鲨鱼量亦增，而由于鲨鱼数目增多吃掉大量的食用鱼，鲨鱼又进入饥饿状态而使其总数下降，这时食用鱼相对安全些，于是食用鱼总数回升，就这样，食用鱼鲨鱼数量交替着增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡并且它们的循环遵从着一定周期。模型（二） 考虑人工捕获设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e设战前捕获能力系数e=0.3, 战争中降为e=0.1, 则战前与战争中的模型分别为:由matlab得战争前与战争中鲨鱼的增长曲线见附录3可知，战争中鲨鱼的比例比战前高六模型评价及推广1. 模型优点1) 模型考虑的因素合理。本文模型针对战争前、战争期间鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食饵）在自然条件和存在人工捕获条件两方面因素而建立的。他们之间存在着联系，本文模型以寻求其联系为出发点来探求其中厉害。2) 模型约束的合理性。本文参考了不少文献，对鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食饵）之间的关系以及鲨鱼（捕食者）自身在战争前、战争期间的关系作全面而准确的探讨，给出了一系列合理的约束。2模型不足由于我们收集到的数据以及所掌握的信息不是很全，所以模型的求解难免会有误差。这就要求我们尽可能的去掌握不同时间的数据。但是，我们对所掌握的信息进行了合理的处理，在此基础之上将数据再代入模型求解并预测近几年的各个参数，在满足约束的条件下对鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食饵）之间的关系以及鲨鱼（捕食者）自身在战争前、战争期间的关系进行预测。另外，我们在建立模型时，并没有考虑到所有影响鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食饵）之间的关系以及鲨鱼（捕食者）自身在战争前、战争期间的关系的因素，例如天气变化、各鱼类之间的竞争和捕获关系等。3推广由此模型我们可以知道两个相互竞争种群之间的矛盾与联系，了解他们的关系有利于人类进行打捞计划。七参考文献【1】叶其孝，大学生数学建模辅导教材，湖南教育出版社，1994【2】W.F.Lucas,微分方程模型，朱煜民等译，国防科技大学出版社，1988【3】陈兰荪，数学生态学模型与研究方法，科学出版社，1991【4】姜启源，数学模型，高等教育出版社，1988【5】M.Braun,微分方程及其应