几类排列组合问题的处理方法.doc

几类排列组合问题的处理方法发表在学习报2010-2011第21期总第1130期 第2版 2010年11月19日国内统一刊号CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79几类排列组合问题的处理方法特级教师王新敞解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如“用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个”的问题中，数字0就是就是特殊元素，由于0是否在个位直接影响百位数字的安排，因此需要分成两类：当0在个位时，十位和百位可以随意安排两个数字，有个；当0不在个位时，个位可以安排2或4 、百位有三个数字可以安排、十位有三个数字可以安排，有个综上共有30个偶数插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 例如“7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_ ”的问题，先将除甲乙之外五人排列，再将甲乙插入到包括两端位置的六个“间隙”中的两个位置上，有种排法捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 例如“6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种”的问题，先将甲乙“捆绑”成一个元素，再将五个元素排列，有种不同的坐法排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.例如“四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有_种.”的问题，直接计数很困难,用间接法,从10个点中取4个有种方法,剔除四点共面的情况有: (1)四个面上的种数为;(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6;(3)任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有3种,故不同的取法共有种.剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m1块隔板），有种方法.例如 “某校准备参加2010年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种.”的问题，等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题将10个小球串成一串，截为8段有种截断法，对应放到8个盒子里因此，不同的分配方案共有36种再比如“把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有_种.”的问题，先给编号为2、3的两个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串，截为三段有种截断法，对应放到编号为1、2、3的三个箱子里因此，不同的放球方法有11010种错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.（特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44）例如“编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有_种.”的问题，选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有种.容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法. 例如“将A、B、C、D、E、F六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A不排在始端,元件B不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_ .”的问题，不考虑限制条件共有种排法,元件A排在始端和B排在末端各有种排法,把它们都剔除,则A排在始端同时B排在末端的总数多减了一次,需补上种.故组成不同的电路种.分组（堆）问题的六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；无序局部等分例如：将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ 分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本； 分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； 分给甲、乙、丙3人，每人2本； 分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； 分成3堆，每堆2 本 分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； 分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本分析：分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题解：是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；是没有指