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数学竟赛培训资料(理工)第一讲 函数与极限（一）内容要点及重要方法提示1.不等式与有限和公式: 1. 对n个正数式中的三项依次称为这些正数的调和平均数、几何平均数与算术平均数.2. 对n个实数3. 对2n个实数4. 若0a-1,且整数n1,则有5. 若实数均大于-1且同号,则6. 对任意实数x有且等号成立当且仅当x=0 ;若7. 8. 9. 10. 11. 12.13. 14.2.函数,复合函数与变量替换.例1.1.设函数f(x) =，fj(x) = 1- x，且j(x)0，求j(x) . (1990北京理工大学竞赛)解. 因3.简单函数方程的求解.一般通过变量替换,从方程得到关于f(x)、fg(x)等的方程组,然后解出f(x) .例1.2.求满足方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy的函数f(x),其中f(0)=a与f(p/ 2)=b为已知常数 .解. 以(x, y)=(0,u),(u+p/ 2,p/ 2),(p/ 2, u+p/ 2)代入原方程,可得含f(u)、f(-u)、f(u+p)的方程组,然后解出f(u) = a cos u + bsin u ,即有f(x) = a cos x + bsin x .4.数列与函数极限的存在准则: (1)夹挤准则. (2)单调有界收敛准则. (3)柯西收敛准则.例1.3.设存在，并求其值.分析.给定数列的奇数项子列单调增加有上界，偶数项子列单调减少有下界，因此两子列均收敛 .对于这种数列仍可应用单调有界准则.解.首先易见命题1.1. 若命题1.2.设例1.4. 设解.5.幂指函数的极限. 命题1.3.在某变化过程中,函数f(x)为无穷小量, g(x) 为无穷大量,limf(x)g(x)=b, 则命题1.4. 在某变化过程中, f(x)与g(x), F (x)与G (x)均为等价无穷小(大),且f(x)0 , g(x)0, 例1.5.计算极限 解.令故原式=1.6.用洛必达法则与泰勒展开式计算极限.应用洛必达法则之前应注意: (1)先判断极限是否型;(2)通过分解、变量的等价替换、析出可成为常数的变量等整理和化简,以便于计算导数; (3)可重复上述步骤. 应用泰勒展开式时需注意分子与分母展开的阶数为各自主部的阶数.例1.6.设函数f(x)有连续的二阶导数,且解.因例1.7.若( )(A) 0 . (B) 6 . (C) 36 . (D) .解.用sin6x的泰勒展开式,知应选: C . 注.由于f(x)无可微条件,此题不能用洛必达法则 .7.无穷小、无穷大量阶的比较.(1)当正整数n时,以下各无穷大数列的阶由低到高排列为:(2)当实数x+时，以下各无穷大量的阶由低到高排列为:(3)当x0时，下列各无穷小量x :sin x , arcsin x , tan x , arctanx ,(4)设ar0，k为正整数，则x0时: arx , (5)当x时: 8.等价无穷小(大)量在极限计算过程中的替换：命题1.5.设函数f(x)可导，x0时f(x).命题1.6.设在某个变化过程中,无穷小(大)量函数f(x)ab,a0b, r0,s0:(1)若sr (r 0,且对每个x0,函数f(x)满足= . (5)函数y = sin x|sin x|(其中| x |p/ 2)的反函数为 . (6)在x=0的附近与函数f(x)=sec x的差为的高阶无穷小的二次多项式为 .(7)设f(x)定义在(-,+)上, a、b为常数, 则曲线y=f(a+2x)+f(b-2x)关于直线x= 对称 .(8)设函数f(x) =, 则f(x)的定义域是 . (1996北京竞赛本科)(9)= .(1998北京竞赛本科)(10)若数列= .(11)当x0时,a(x)=是等价无穷小,则k= .(12)= .(2003研招一)(13)= .(1996北京竞赛本科)(14)设数列= .(2000北京竞赛本科)(15)= ,其中a0,b0为常数,且a1,b1. (2002北京竞赛本科甲、乙)(16)已知函数f(x)在x=0的某邻域内有定义,且= .(17)若=2,则a= .(2000北京竞赛本科甲、乙)(18)曲线y=的斜渐近线方程为 . (2005研招一)(19)= .(20)设曲线y= f(x)与y=sinx在原点相切,则极限= .(2004北京竞赛本科甲、乙)1.2.单项选择题:(1)设(A)(B)(C)(D)(2)若f(x)与g(x)互为反函数,则fg (3x)2的反函数是 ( ) (A) gf (3x)2 . (B) f2g(x) 3 . (C) g2 f(x 3) . (D)2gf(x) 3 .(3)定义在(-,+)上的下列函数中没有反函数的是 ( )(A)y=x+sinx . (B) y=x-sinx . (C) y=xsinx . (D)(4)若对一切实数x ,都有f(x)= -f(x+5) ,则曲线y= f(x) ( )(A)向左(或向右)平移10个单位后与原曲线重合 . (B)关于直线x=5/ 2对称 .(C)关于点(5/ 2,0)对称 . (D)关于直线y= x对称 .(5)下列函数中的非周期函数是 ( )(A)cos(sin|x|) . (B) (C) (D)(6)设数列则下列断言正确的是 ( )(A)若 (B)若 (C)若 (D)若(1998研招二)(7)若 (D)A、B、C均不正确 . (2001天津竞赛理工)(8)曲线y=的渐近线有 ( ) (A)1条 . (B)2条 . (C)3条 . (D)4条 . (2002天津竞赛理工)(9)曲线y=x+ ( ) (A)没有渐近线 . (B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线 . (C)有一条铅直渐近线 . (D)有两条水平渐近线 . (2006天津竞赛理工)(10)设函数f(x)在(-,+)内单调有界,为数列,下列命题正确的是 ( )(A)若收敛. (B)若收敛. (C)若收敛. (D)若收敛 . (08研招一)1.3.设常数a0,求证:若f(x+a)=,或f(x+a) = ，则f(x)是周期函数.1.4.求函数f(x)=x+x , x(-,+), 的反函数1.5. 解下列函数方程: 当x0,1时, f(x)满足方程f(x)+ f(1-1/ x)=1+x .1.6.给定下列函数f(x),定义1.7.设对每一对实数(x, y) ,函数f满足方程f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1, f(1)=1 .求整数n使f(n) = n1 .1.8.设定义在(- ,+)上的函数f(x)满足f(x+T) = k f(x)，x(- ,+)，其中T与k1均为给定的正的常数,证明: 有正数a与以T为周期的函数j(x)使f(x) = j(x), x(- ,+) .1.9.试构造整系数多项式a+bx+c,使它在(0,1)内有相异实根,且a是满足条件的最小正整数 .1.10.证明: 若f(x)是单调增加函数，其反函数(x) f(x)，则f(x) x .1.11.计算极限: . 1.12.设1.13.设1.14.设1.15.(1)(2) (3)(4)(5)1.16.设1.17.设1.18.设1.19.求证:1.20.设=0 . 1.21.设1.22.计算下列各极限:(1) (2) (3) (4) (5)(6) (08研招一)1.23.设f(x)=1.24.如果f(x)是(-,+)上的周期函数,且=0 . 求f(x) . 1.25.设x0+时函数f(x)是与x等价的无穷小量,且f(x)x,试求极限1.26.设a, b是三维空间R上的两非零常向量,且|b|=1,(a, b)=3,求极限(|a+xb|a|).1.27.设f(x)在x=0的某邻域内有连续导数,且试求f(0)及f (0) . （三）习题解答或提示1.1. (1)x|1|x|2.(2)1 2 . (3)(kp , kp ), kZ .(4) (5) (6)1+ (7)(b-a)/ 4 . (8)(- 1,1). (9)5 2 . (10) 0 . (11)3 4 . (12)(13)10ln3 .(14)1. (15) (16) e . (17) -4 . (18) (19)1 . (20) 1.2. D ,B,C,A,C, D ,D,B,B.(10)B正确. A的反例是f(x)= C与D的反例是f(x)=arctan x ,=n . 应选: B .1.3.证.(1)由f(x+a) =(2)由f(x+a)=f(x) = f(x+4a), 故f(x)以4a为周期 .1.4.=x-m , 2mx x + 2 x+1，再从0与负整数中求解，将x = 0, -1, -2等代入(1)的等价式 f(x) = f(x+1) -(x+2) (2)得f(0) = -1，f(-1) = -2，f(-2) = -2，于是有一解n = -2 . 此外还有f(-3) = -1，f(-4) = 1 .当x2，由(2)式可知f(x) 0，不可能有f(x) = x .总之我们得唯一整数解n= -2 .1.8.证. 由k0，T 0，可设a=且不难验证j(x)以T为周期.1.9.解.设a+bx+c=a(x-l)(x-m),0lm0,二次三项式x(1-x)在x=12达到最大值14,故于是a 4 .若取a = 5,则由0lm = c/ a1,0l+m = -b/ a 4ac得c = 1，b = -5 .我们得多项式5-5x + 1,它完全满足条件 .而且可以通过枚举法验证,此解唯一. 1.10.证. 若1.11.解.令1.12.解.1.13.解. a 0时,收敛时,其极限的绝对值不超过1 .1.14.分析.利用不等式解.(2)因1.15.解.(1)显然0,n.其次根据正数算术平均数与几何平均数的不等式,有 (2)(3)先归纳证明奇数项子列单减有下界0,偶数项子列单增有上界1,两子列均收敛.其次,由递推式两端取极限可解得(4)解法1. 其次,(5)0a1时由由递推式取极限得2b=a-,两式相减得2(b-c)=(b-c)(b+c),因b+ca1可知b=c .并解得.a=0时此式仍然正确.1.16.解.a0时发散,a0时1.17.解.(1)(2)1.18.解.(1)单调减少有下界,1.19.证.(1)记, 对正整数mn, 有固定m,令n,则