2016_2017学年高中数学2.1.4数乘向量学案新人教B版必修.docx

2.1.4数乘向量1.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义.(重点)2.理解数乘向量的运算律.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.(难点)基础初探教材整理1数乘向量阅读教材P86P87以上内容，完成下列问题.1.定义：实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a的长度|a|a|.若a0，当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反.当0或a0时，0a0或00.2.数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.3.数乘向量的运算律：设，为实数，则(1)()aaa；(2)(a)()a；(3)(ab)ab(分配律).设a是非零向量，是非零实数，则以下结论正确的有_.a与a的方向相反；|a|a|；a与2a方向相同；|2a|2|a|.【解析】由向量数乘的几何意义知正确.【答案】教材整理2向量的线性运算阅读教材P88“例1”以上内容，完成下列问题.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算.如图2126，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.图2126【解析】由向量加法的平行四边形法则知，又O是AC的中点，AC2AO，2，2，2.【答案】2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型数乘向量的概念(1)若两个非零向量a与(2x1)a方向相同，则x的取值范围为_.(2)若平面内不共线的四点O，A，B，C满足，则_.(3)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且ABAC23.用表示；用表示.【精彩点拨】对数乘运算的理解，关键是对系数的作用的认识：0时，a与a同向，模是|a|的倍；0，即x.(2)因为，所以，即，所以|，同理可得|，得2.【答案】(1)x(2)2(3)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且ABAC23，所以AB2BC，AC3BC.如图b，向量与方向相同，所以2；如图c，向量与方向相反，所以3.对向量数乘运算的三点说明：(1)a中的实数叫做向量a的系数.(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)当0或a0时，a0.注意是0，而不是0.再练一题1.已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由.(1)a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍；(2)3a的方向与6a的方向相反，且3a的模是6a的模的；(3)4a与4a是一对相反向量；(4)ab与(ba)是一对相反向量；(5)若a，b不共线，则0a与b不共线.【解】(1)真命题.0，a与a同向，|a|a|，a的模是a的模的倍.(2)真命题.30，6a与a方向相同且|6a|6|a|，3a与6a方向相反且模是6a的模的.(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知.(4)假命题.ab与ba是相反向量，ab与(ba)是相等向量.(5)假命题.0a0，0a与b共线.向量的线性运算(1)化简：(2a3bc)(3a2bc)_.(2)已知向量a，b，x，且(xa)(bx)x(ab)，则x_.【精彩点拨】(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简；(2)可类比解方程方法求解.【自主解答】(1)(2a3bc)(3a2bc)2a3a3b2bcca5b2c.(2)因为(xa)(bx)x(ab)，所以2xabxab，即：x0.【答案】(1)a5b2c(2)0向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.再练一题2.(2016枣庄高一检测)化简：的结果是()A.2ab B.2baC.ba D.ab【解析】原式(a4b4a2b)(6b3a)2ba.【答案】B探究共研型向量的线性运算在平面几何中的应用探究1怎样理解a的几何意义？【提示】a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍.探究2如何用已知向量表示所求向量？【提示】在向量的线性运算中，用已知向量表示所求向量，要尽可能的转化到平行四边形或三角形中，结合图形的有关性质及联想到相关的法则来求.如图2127所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.【导学号：72010048】图2127【精彩点拨】解答本题可先将，视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出，.【自主解答】设x，y，则x，y.由，得用2乘以与相加得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即(2e2e1)，同理得y(2e1e2)，即e1e2.1.由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用.2.当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解.再练一题3.已知任意四边形ABCD中，E，F 分别是AD，BC的中点.求证：().【证明】取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.E为AD的中点，.F 是BC的中点，().又，()()，()().1.下列各式中不表示向量的是()A.0a B.a3bC.|3a| D.e(x，yR，且xy)【解析】向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量.【答案】C2.下列计算正确的个数是()(3)2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】因为(3)2a6a故正确；中左边2a2b2ba3a成立，故正确；中左边a2b2ba00，故错误.【答案】C3.化简：等于()A.ab2c B.5ab2cC.ab2c D.5ab【解析】(3a2a)(cc)ab2c.故选A.【答案】A4.O为平行四边形ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1_.【导学号：72010049】【解析】设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F 为AB边中点，则3e22e1.【答案】(或)5.化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2)2(2a8b)4(4a2b).【解】(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b；(2)原式(4a16b16a8b)(12a24b)2a4b.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2016德州高一检测)若向量方程2x3(x2a)0，则向量x等于()A.aB.6aC.6a D.a【解析】由题意得：2x3x6a0，所以有x6a.【答案】C2.设P是ABC所在平面内一点，且2，则()A.0 B.0C.0 D.0【解析】因为2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.【答案】B3.(2016北京高一检测)四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是()A.梯形 B.平行四边形C.菱形 D.矩形【解析】因为a2b，又4ab(5a3b)a2b.又因在四边形ABCD中，有|且ABDC，所以四边形ABCD为平行四边形.【答案】B4.已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么()A. B.2C.3 D.2【解析】由20，得2，又因为2，所以.【答案】A5.如图2128，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F 是BC的一个三等分点，那么()图2128A.B.C.D.【解析】，所以.【答案】D二、填空题6.(2016郑州高一检测)已知，若，则等于_.【解析】因为，所以()，即，所以.【答案】7.已知|a|6，b与a的方向相反，且|b|3，amb，则实数m_.【解析】2，|a|2|b|，又a与b的方向相反，a2b，m2.【答案】28.(2016南宁高一检测)若t(tR)，O为平面上任意一点，则_.(用，表示)【解析】t，t()，tt(1t)t.【答案】(1t)t三、解答题9.设a3i2j，b2ij，试用i，j表示向量.【导学号：72010050】【解】(4a3b)b(6a7b)a2bbababab(3i2j)(2ij)5ijijij.10.如图2129所示，OADB是以向量a，b为邻边的平行四边形.又BMBC，CNCD，试用a，b表示，.图2129【解】()(ab)，所以babab，所以()(ab)ab.(ab)abab.能力提升1.在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则()A. B.C. D.【解析】由题意知，且20.2得32，.【答案】A2.已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m()A.2 B.3C.4 D.5【解析】