浅淡用函数模型解数学应用问题.doc

浅淡用函数模型解数学应用问题浙江省诸暨市湄池中学 朱金水 (311814)所谓函数模型即用函数知识对我们日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产出最大、效益最好、用料最省等实际应用问题进行归纳加工，建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数的方法进行求解。通常可以分为以下五种模型：一、一次函数或二次函数模型 【例1】经营甲、乙两种商品，所获得的利润依次为P和Q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式P=ax，Q=2b（a、b为正常数），今有C万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少万元？共能获得最大利润是多少万元？分析：本例要求获得最大利润,是一个最大值问题,因此可用函数模型,关键是寻找各种量的关系,探求目标函数,即利润函数,其主要数量关系为:总投入C=对甲的投入+对乙的投入;总利润y=经营甲的利润+经营乙的利润=P+Q【解】: 对甲种商品的投入x万元(axc),则对乙种商品的投入为Cx万元. 所获得的利润为y=ax+2b(0xC),令=t(0t),则x=Ct2,y=at2+2bt+ca=a(t)2+ac+当时,当t=,即x=c时,ymax=ac+;当时当t=,即x=0时, ymax=2b;综上所述: 当时, 对甲的投入c万元, 对乙的投入万元, 最大利润为ac+万元当时,对甲不投入,对乙投入c万元,最大利润为2b万元说明:本例的背景材料是营销活动中最为基本的数量关系模式,将这种关系转化为数学关系式,问题即可解决.在解决这一问题时,我们先用代换法将目标函数代换成二次函数,再用配方法求二次函数的最值。二、“y=Axp+”型函数模型【例2】(2001年文科高考第21题)设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为(1),画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白。怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？分析：本例要求最小纸张面积,是一个最小值问题,因此可用函数模型,关键是寻找纸张面积S关于画面的宽与高的函数关系式。【解】：设画面高为xcm，宽为xcm，则x2=4840。设纸张面积为S，有S=（x+16）（x+10）=x2+（16+10）x+160将x=代入上式，得S=5000+44 当，即=（0，为比例系数），4b+2ab+2a=60, b=(0a0,b0) 直接用基本不等式得: 60=4b+2ab+2a2ab+2,令=t, 则2t2+4t-6005t3即ab18,y=.当且仅当即时取到最大值。三、利用均值不等式求最值的函数模型【例4】现有一个半径为R的木球，将它加工成一个圆锥，试求圆锥的最大体积。2R-hrrh分析：为了达到加工的圆锥体积最大，它首先应该是球的内接圆锥。作圆锥的轴截面，如图所示。根据相交弦定理可得r2=h（2Rh），从而可用圆锥的高h为自变量建立圆锥体积V的函数关系式，函数的最值就是圆锥的最大体积。【解】：设圆锥的高度为h，底面半径为r，则有：r2=h（2Rh）， V圆锥=r2h=h2（2Rh）=hh(4R-2h),等号当且仅当h=4R/3时达到,圆锥取到最大体积 说明:在应用均值不等式求最值时,要注意以下三个环节：一正、二定、三相等。在本例中，首先要求h与2R-h均为正；其次，还要求h+h+(4R-2h)为定值；最后要看h、h、(4R-2h)这三个量能否相等。四、三角函数模型ASDRCQBMTP【例5】如图四边形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山。P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上长方形停车场PQCR。求长方形停车场PQCR面积的最大、最小值。 分析：要求停车场面积的最值,就需建立长方形PQCR的面积函数. 如果设长方形PQCR的一边长为x(不妨设PR=x),则另一边长PQ=100 这样SPQCR=PQPR=x100.但该函数的最值不易求得.如果我们将BAP作为自变量,用它可表示PQ、PR，再建立长方形PQCR的面积函数.则情况就不难解