2019届高考数学第二部分突破热点分层教学专项一4第4练计数原理与二项式定理学案.docx

第4练计数原理与二项式定理年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷计数原理与组合问题T151.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型2二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第910题或第1315题的位置上.卷二项式定理、二项展开式中特定项的系数T52017卷二项式定理、二项展开式中特定项的系数T6卷计数原理、排列组合的应用T6卷二项式定理、二项展开式中特定项的系数T42016卷二项式定理、二项展开式中特定项的系数T14卷计数原理、组合的应用T5两个计数原理应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化考法全练1(2018石家庄模拟)用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A250个B249个C48个 D24个解析：选C.当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A24(个)；当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A24(个)由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有242448(个)，故选C.2如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为()A240 B204C729 D920解析：选A.分8类，当中间数为2时，有122(个)；当中间数为3时，有236(个)；当中间数为4时，有3412(个)；当中间数为5时，有4520(个)；当中间数为6时，有5630(个)；当中间数为7时，有6742(个)；当中间数为8时，有7856(个)；当中间数为9时，有8972(个)故共有26122030425672240(个)3(2018合肥质量检测)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为()A96 B114C168 D240解析：选C.先在a中种植，有4种不同方法，再在b中种植，有3种不同方法，再在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，再在e中种植，有2种不同方法，所以共有4313243222168(种)，故选C.4将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是_解析：按分步来完成此事第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种分法，故共有1098720种分法答案：7205在学校举行的田径运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种解析：分两步安排这8名运动员第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以安排方式有43224(种)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有54321120(种)所以安排这8名运动员的方式共有241202 880(种)答案：2 880排列、组合的应用排列、组合应用问题的8种常见解法(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法(2)相邻问题捆绑法(3)不相邻问题插空法(4)定序问题缩倍法(5)多排问题一排法(6)“小集团”问题先整体后局部法(7)构造模型法(8)正难则反，等价转化法考法全练1(2018辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于Grace年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处那么不同的搜寻方案有()A10种B40种C70种 D80种解析：选B.若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC30种搜寻方案；若Grace参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C10种搜寻方案综上，一共有301040种搜寻方案，故选B.2(2018甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A18种 B24种C36种 D48种解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12种；若甲、乙抢的是一个8和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.3(一题多解)(2018南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A120种 B156种C188种 D240种解析：选A.法一：记演出顺序为16号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AAAACAACAACAA120种法二：记演出顺序为16号，按甲的编排进行分类，当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA48种；当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA36种；当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA36种所以编排方案共有483636120种4现有红色、蓝色和白色的运动鞋各一双，把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是()A72 B144C240 D288解析：选D.首先，选一双运动鞋，捆绑在一起看作一个整体，有CA6种排列方法，则现在共有5个位置，若这双鞋在左数第一个位置，共有CAA8种情况，若这双鞋在左数第二个位置，则共有CC8种情况，若这双鞋在中间位置，则共有AAAA16种情况，左数第四个位置和第二个位置的情况一样，第五个位置和第一个位置的情况一样所以把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是6(282816)288.故选D.5冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有_种解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3，1，1和1，2，2，则分配的方案共有A150(种)答案：150二项式定理 通项与二项式系数(ab)n的展开式的通项Tk1Cankbk(k0，1，2，n)，其中C叫做二项式系数注意Tk1是展开式中的第k1项，而不是第k项 各二项式系数之和(1)CCCC2n.(2)CCCC2n1.考法全练1(2018高考全国卷)(x2)5的展开式中x4的系数为()A10B20C40 D80 解析：选C.Tr1C(x2)5rC2rx103r，由103r4，得r2，所以x4的系数为C2240.2(2018郑州第一次质量预测)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为321，则x2的系数为()A50 B70C90 D120解析：选C.令x1，则4n，所以的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以2n32，解得n5.二项展开式的通项Tr1Cx5rC3rx5r，令5r2，得r2，所以x2的系数为C3290，故选C.3(2018武汉模拟)若(3x1)5a0a1xa2x2a5x5，则a12a23a34a45a5()A80 B120C180 D240解析：选D.由(3x1)5a0a1xa2x2a5x5两边求导，可得15(3x1)4a12a2x3a3x25a5x4，令x1得，15(31)4a12a23a35a5，即a12a23a34a45a5240，故选D.4(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20C30 D60解析：选C.(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.5(2018南昌模拟)已知(x1)(ax1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a_解析：(ax1)6的展开式中x2项的系数为Ca2，x项的系数为Ca，由(x1)(ax1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得Ca2Ca0，因为a为正实数，所以15a6，所以a.答案：一、选择题1(2018福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，则不同的安排方案共有()A90种B180种C270种 D360种解析：选B.可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有A种不同的安排方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有CC种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案的种数为ACC180.故选B.2(2018河北“五个一名校联盟”模拟)的展开式中的常数项为()A3 B3C6 D6解析：选D.通项Tr1C(x4)rC()3r(1)rx66r，当66r0，即r1时为常数项，T26，故选D.3若二项式的展开式的各项系数之和为1，则含x2项的系数为()A560 B560C280 D280解析：选A.取x1，得二项式的展开式的各项系数之和为(1a)7，即(1a)71，1a1，a2.二项式的展开式的通项Tr1C(x2)7rC(2)rx143r.令143r2，得r4.因此，二项式的展开式中含x2项的系数为C(2)4560，故选A.4.(1x)6的展开式中x2的系数为()A15 B20C30 D35解析：选C.(1x)6的展开式的通项Tr1Cxr，所以(1x)6的展开式中x2的系数为1C1C30，故选C.5设(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，则a1等于()A80 B80C160 D240解析：选D.因为(x23x2)5(x1)5(x2)5，所以二项展开式中含x项的系数为C(1)4C(2)5C(1)5C(2)416080240，故选D.6(2018沈阳教学质量监测(一)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A4种 B8种C12种 D24种解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C28种站法，故选B.7(2018柳州模拟)从1，2，3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是()A72 B70C66 D64解析：选D.从1，2，3，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有CCCC56种选法，三个数相邻共有C8种选法，故至少有两个数相邻共有56864种选法，故选D.8(2018惠州第二次调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为()A24 B18C16 D10解析：选D.分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有CA种可选的路线所以小李可选的旅游路线数为ACA10.故选D.9已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，则(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值为()A39 B310C311 D312解析：选D.对(x2)9a0a1xa2x2a9x9两边同时求导，得9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8，令x1，得a12a23a38a89a9310，令x1，得a12a23a38a89a932.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38a89a9)312，故选D.10(2018广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A36种 B24种C22种 D20种解析：选B.根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA12种推荐方法故共有24种推荐方法，故选B.11若m，n均为非负整数，在做mn的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而mn称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是()A100 B150C30 D300解析：选D.第一步，110，101，共2种组合方式；第二步，909，918，927，936，990，共10种组合方式；第三步，404，413，422，431，440，共5种组合方式；第四步，202，211，220，共3种组合方式根据分步乘法计数原理知，值为1 942的“简单的”有序对的个数是21053300.故选D.12(2018郑州第二次质量预测)红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有()A240种 B188种C156种 D120种解析：选D.因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论当A在第一位时，有AA48种；当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有CAA36种；当A在第三位时，分两种情况：E，F在A之前，此时应有AA种，E，F在A之后，此时应有AAA种，故而A在第三位时有AAAAA36种综上，共有483636120种不同的安排方案故选D.二、填空题13(一题多解)(2018高考全国卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1