2019届高考数学复习专题八选修4系列教案文.docx

专题八选修4系列1.(2018全国卷,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解:(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.2.(2018全国卷,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)1的解集为xx.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为x0x,所以1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.3.(2018全国卷,文22)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点(0,-)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解:(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=时,l与O交于两点.当时,记tan =k,则l的方程为y=kx-.l与O交于两点当且仅当1,解得k1,即,或,.综上,的取值范围是,.(2)l的参数方程为t为参数,.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin +1=0.于是tA+tB=2sin ,所以tP=sin .又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是为参数,0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以(a+b)38,因此a+b2.1.考查角度(1)坐标系与参数方程主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程化为普通方程,两曲线相交问题.(2)不等式选讲主要考查含绝对值不等式的解法,含参不等式恒成立或有解问题以及不等式的证明.2.题型及难易度解答题,难度中低档.(对应学生用书第5860页) 坐标系与参数方程考向1极坐标方程及其应用【例1】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为cos =4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,),(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=|OA|Bsin AOB=4cos sin-=2sin 2-2+.当=-时,S取得最大值2+.所以OAB面积的最大值为2+.考向2参数方程及其应用【例2】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.解:(1)曲线C的普通方程为+y2=1,当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),-,.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=.当a-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;当a0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:cos-=.(1)若l与曲线C没有公共点,求t的取值范围;(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为+,求t的值.解:(1)因为直线l的极坐标方程为cos-=,即cos +sin =2,所以直线l的直角坐标方程为x+y=2,又因为(为参数,t0),所以曲线C的直角坐标方程为+y2=1.由得(1+t2)y2-4y+4-t2=0,所以=16-4(1+t2)(4-t2)0,解得0t0,所以t=.(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验;(2)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角有关的参数方程,经常用到的公式有sin2+cos2=1,1+tan2=等;(3)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性;(4)涉及圆、椭圆上的点到直线距离时,可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,利用点到直线距离公式求解;(5)对于极坐标方程或参数方程应用不够熟练的情况下,可以先化为普通方程,然后求解;(6)极坐标方程为=的直线与曲线相交于M1,M2两点,坐标为(1,),(2,),则有以下结论:|M1M2|=|1-2|;若M(0,)是M1M2的中点,则0=.(7)参数方程为(t为参数)的直线l必过定点M(x0,y0),若直线l与曲线相交于M1,M2两点,M1,M2所对应的参数分别为t1,t2,则有以下结论:|M1M2|=|t1-t2|;若M(x0,y0)是弦M1M2的中点,则t1+t2=0;若弦M1M2的中点M,则点M对应的参数tm=.热点训练1:(2018石家庄市质检)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2+2sin -3=0.(1)求直线l的极坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.解:(1)由消去t得y=2x,把代入y=2x,得sin =2cos ,所以直线l的极坐标方程为sin =2cos .(2)因为2=x2+y2,y=sin ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4.圆C的圆心C(0,-1)到直线l的距离d=,所以|AB|=2=.热点训练2:(2018南昌市模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为1=(1R),2=(2R),设直线l1,l2与曲线C的交点分别为O,M和O,N,求OMN的面积.解:(1)由参数方程得普通方程为x2+(y-2)2=4,把代入x2+(y-2)2=4,得2-4sin =0.所以曲线C的极坐标方程为=4sin .(2)由直线l1:1=(1R)与曲线C的交点为O,M,得|OM|=4sin =2.由直线l2:2=(2R)与曲线C的交点为O,N,得|ON|=4sin =2.易知MON=,所以SOMN=|OM|ON|=22=2.不等式选讲考向1绝对值不等式的解法【例4】 (2018合肥市质检)已知函数f(x)=|2x-1|.(1)解关于x的不等式f(x)-f(x+1)1;(2)若关于x的不等式f(x)m-f(x+1)的解集不是空集,求m的取值范围.解:(1)f(x)-f(x+1)1,即|2x-1|-|2x+1|1,则或或解得x或-x,即x-,所以原不等式的解集为-,+.(2)由题意得,不等式|2x-1|+|2x+1|(|2x-1|+|2x+1|)min.由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|1-2x+2x+1|=2,当且仅当(1-2x)(2x+1)0,即x-,时等号成立,故m2.所以m的取值范围是(2,+).考向2不等式的证明【例5】 (2018广州市普通高中综合测试)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-1|,不等式f(x)2的解集为M.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|+|a-b|1.(1)解:f(x)2,即|2x+1|+|2x-1|2,当x-时,得-(2x+1)+(1-2x)2,解得x-,故x=-,当-x时,得(2x+1)-(2x-1)2,即22,故-x,当x时,得(2x+1)+(2x-1)2,解得x,故x=,所以不等式f(x)2的解集M=.(2)证明:法一当a,bM时,即-a,-b,可得|a|,|b|.当(a+b)(a-b)0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|1;当(a+b)(a-b)0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|1;所以|a+b|+|a-b|1.法二当a,bM时,即-a,-b,可得|a|,|b|.(|a+b|+|a-b|)2=2(a2+b2)+2|a2-b2|=因为a2,b2,所以4a21,4b21,故(|a+b|+|a-b|)21,所以|a+b|+|a-b|1.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:求零点.划区间,去绝对值号.分别解去掉绝对值号的不等式.取每个结果的并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值.(2)含绝对值不等式恒成立问题,用等价转化思想.法一,利用三角不等式求出最值进行转化.法二,利用分类讨论思想,转化成求函数值域.(3)证明不等式常用的方法有综合法;分析法;比较法;利用柯西不等式(二维形式);绝对值三角不等式;平均值不等式.热点训练3:(2018山东六校联考)已知函数f(x)=|x-a|,aR.(1)当a=2时,解不等式x-+f(x)1;(2)设不等式x-+f(x)x的解集为M,若,M,求实数a的取值范围.解:(1)当a=2时,原不等式可化为|3x-1|+|x-2|3.当x时,原不等式可化为-3x+1+2-x3,解得x0,所以x0;当x2时,原不等式可化为3x-1+2-x3,解得x1,所以1x2;当x2时,原不等式可化为3x-1-2+x3,解得x,所以x2.综上所述,当a=2时,不等式的解集为x|x0或x1.(2)不等式x-+f(x)x可化为|3x-1|+|x-a|3x,依题意可知不等式|3x-1|+|x-a|3x在,上恒成立,所以3x-1+|x-a|3x,即|x-a|1,即a-1xa+1,所以解得-a,故所求实数a的取值范围是-,.热点训练4:(2018山西省八校联考)已知函数f(x)=2|x-3|-|x+1|.(1)解不等式f(x)2;(2)若函数f(x)的最小值为m,且正实数a,b,c满足+m=0,证明:a+b+c9.(1)解:当x-1时,不等式可化为2(3-x)+(x+1)5,这与x-1矛盾,故此时不等式无解;当-1x3时,不等式可化为2(3-x)-(x+1)1,故此时不等式的解集为(1,3;当x3时,不等式可化为2(x-3)-(x+1)2,解得x9,故此时不等式的解集为(3,9).综上,不等式的解集为(1,9).(2)证明:由题知f(x)=如图,作出函数f(x)的图象,显然,函数f(x)的最小值为f(3)=-4,所以m=-4.所以+=4,则a+b+c=(a+b+c)+=1+4+9+=14+ba+ca+14+2+2+2=(14+4+6+12)=9当且仅当即a=,b=3,c=时等号成立.热点训练5:(2018河北省五个一名校联盟第二次考试)已知函数f(x)=|2x-1|,xR.(1)解不等式f(x)|x|+1;(2)若对x,yR,有|x-y-1|,|2y+1|,求证:f(x)1.(1)解:因为f(x)|x|+1,所以|2x-1|x|+1,即或或解得x2或0x或无解.故不等式f(x)|x|+1的解集为x|0x2.(2)证明:f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|2(x-y-1)|+|2y+1|=2|x-y-1|+|2y+1|2+=1. 【例1】 (2018山东省六校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,a为常数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2-7=2sin-.(1)求直线l的普通方程及圆C的直角坐标方程;(2)若直线l与圆C交于M,N两点,且|MN|=4,求实数a的值.解:(1)将直线l的参数方程消去参数t,得直线l的普通方程为3x-4y+3a+4=0.圆C的极坐标方程为2-7=2sin-,即2+2cos -2sin -7=0,由极坐标与直角坐标的互化公式,得x2+y2+2x-2y-7=0,即(x+1)2+(y-1)2=9.(2)由(1)得圆C的圆心为C(-1,1),半径为3,所以圆心C到直线l的距离d=.由|MN|=4,可得圆心