全国版高考数学第二章函数导数及其应用2.11.3导数的综合应用课时提升作业理.docx

课时提升作业 十六 导数的综合应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.从边长为10cm16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为()A.12cm3B.72cm3C.144cm3D.160cm3【解析】选C.设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm,则x(0,5).则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以y=12x2-104x+160.令y=0,得x=2或(舍去),所以ymax=6122=144(cm3).2.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf(x)0,由xf(x)0,得x0,所以x-1.当x(-1,1)时,f(x)是减函数,所以f(x)0.由xf(x)0,所以0x1.故xf(x)0),则h(x)=.当x(0,1)时,h(x)0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,所以ah(x)min=4.4.若a2,则函数f(x)=x3-ax2+1在区间(0,2)上恰好有()A.0个零点B.1个零点C.2个零点D.3个零点【解析】选B.因为f(x)=x2-2ax,且a2,所以当x(0,2)时,f(x)0,f(2)=-4a0,所以f(x)在(0,2)上恰好有1个零点.5.(2016绵阳模拟)已知函数f(x)=给出如下三个命题:f(x)在(,+)上是减函数;f(x)在R上恒成立;函数y=f(x)图象与直线y=-有两个交点.其中真命题的个数为()A.3个B.2个C.1个D.0个【解析】选B.当x0时,函数f(x)=ex+x-1显然是增函数;当x0时,函数f(x)=-x3+2x,f(x)=-x2+2且f(0)=0,所以函数在0,)上单调递增,在,+)上单调递减,f(x)极大值=f()=,由此画出函数大致图象,故,正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是.【解析】令f(x)=3x2-3=0,得x=1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-2a0),为使耗电量最小,则速度应定为.【解析】由y=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,由于0x40时,y40时,y0.所以当x=40时,y有最小值.答案:408.(2016邯郸模拟)设函数f(x)=6lnx,g(x)=x2-4x+4,则方程f(x)-g(x)=0有个实根.【解析】设(x)=g(x)-f(x)=x2-4x+4-6lnx,则(x)=,且x0.由(x)=0,得x=3.当0x3时, (x)3时, (x)0.所以(x)在(0,+)上有极小值(3)=1-6ln30,试判断f(x)在定义域内的单调性.(2)若f(x)0,所以f(x)0,故f(x)在(0,+)上是增函数.(2)因为f(x)x2,所以lnx-0,所以axlnx-x3.令g(x)=xlnx-x3,h(x)=g(x)=1+lnx-3x2,h(x)=-6x=.因为x(1,+)时,h(x)0,所以h(x)在(1,+)上是减函数.所以h(x)h(1)=-20,即g(x)0,所以g(x)在(1,+)上也是减函数.g(x)g(1)=-1,所以当a-1时,f(x)0,(0,+)是f(x)的递增区间;当a0时,令f(x)=0,x=(负值舍去);当0x时,f(x)时,f(x)0,所以(0,)是f(x)的递减区间,(,+)是f(x)的递增区间.综上,当a0时,f(x)的单调递增区间是(0,+);当a0时,f(x)的单调递减区间是(0,),f(x)的单调递增区间是(,+).(2)由(1)知,当a0时,f(x)在(0,+)上是增函数.当a=0时,有零点x=1.当a0时,f(ea)=a(e-2a+1)0(或当x0时,f(x)-,当x+时,f(x)+),所以f(x)在(0,+)上有1个零点.当a0时,由(1)知f(x)在(0,)上是减函数,f(x)在(,+)上是增函数,所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值f()=(ln2a+1).当(ln2a+1)0,即a时f(x)无零点;当(ln2a+1)=0,即a=时f(x)有1个零点;当(ln2a+1)0,即0a时f(x)无零点;当a=或a=0或a0时,f(x)有1个零点;当0af(x)成立,则()A.3f(ln2)2f(ln3)B.3f(ln2)=2f(ln3)C.3f(ln2)0,所以有g(x)=是增函数,从而有,即3f(ln2)时,令f(x)=0,得x=.若x,则f(x)0,则a的取值范围是()A.(2,+)B.(-,-2)C.(1,+)D.(-,-1)【解析】选B.(1)当a=0时,函数f(x)=-3x2+1,显然有两个零点,不合题意.(2)当a0时,由于f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),利用导数的正负与函数单调性的关系可得在(-,0)和上函数单调递增,在上函数单调递减,显然存在负零点,不合题意.(3)当a0,则有a24,解得a2(不合条件a0,舍去).综合可得a1.【解题提示】(1)先对函数f(x)=aexlnx+求导,将x=1代入到导函数中确定曲线的切线的斜率,求出a,b的值.(2)证明f(x)1时,将其转化为xlnxxe-x-,分别构造函数进行证明.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aexlnx+ex-ex-1+ex-1.由题意得f(1)=2,f(1)=e,故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=exlnx+ex-1,从而f(x)1等价于xlnxxe-x-.设函数g(x)=xlnx,则g(x)=1+lnx.所以当x时,g(x)0.故g(x)在x上单调递减,在x上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的最小值为g=-.设函数h(x)=xe-x-,则h(x)=e-x(1-x).所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.5.(13分)(2016秦皇岛模拟)已知函数f(x)=xlnx.(1)若对一切x(0,+),都有f(x)x2-ax+2恒成立,求实数a的取值范围.(2)试判断函数y=lnx-+是否有零点?若有,求出零点的个数;若无,请说明理由.【解析】(1)由f(x)x2-ax+2得xlnxx2-ax+2,因为x0,所以ax-lnx+,令g(x)=x-lnx+,g(x)=1-=(x0).当x(0,2)时,g(x)0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(2)=3-ln2,因为对一切x(0,+),都有ax-lnx+恒成立,所以a(-,3-ln2.(2)函数y=lnx