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试析两个典型问题解法的正确性河北省沧州师专泊头分校 李同贤问题1:线段AB是已知半圆的直径,将AB分成相等的两条线段,以每一条为直径,在已知半圆内分别作两个更小的半圆,如此无限继续下去,所作小半圆能否和线段AB重合?解答:为表述解答过程方便,设线段AB的长为d,称第n次作出的所有直径相等的小半圆为第n级半圆。下面从弧长和面积两个角度考察。第1级有2个,其直径都是d/2,弧长之和为:(d/2)/22=d/2,面积之和为:(d/22)2/ 22=d2/24.第2级有22个,直径都是d/22,弧长之和为:(d/22)/222=d/2,面积之和为:(d/23)2/222=d2/25.一般地,不难得到各级半圆的个数、直径、弧长之和、面积之和如下表:级别个数直径弧长之和面积之和12d/2d/2d2/24222d/22d/2d2/25323d/23d/2d2/26d/2n2nd/2nd/2d2/2n+3d/20d/20可见,当无限继续作下去时,即当n趋向于无穷大时,所有小半圆的弧长之和是常数d/2,该值大于已知半圆的直径d,而所有小半圆的面积之和是0.因为对连接两点的线段(含曲线段)而言,“若不等长,则不重合”是真命题,所以能够断定所作的这些小半圆与线段AB不重合!然而,由所有小半圆与线段AB围成之封闭图形的面积之和为0,可以断定所作的这些小半圆与线段AB重合!这样,从弧长和面积两个不同角度得出了两个完全相反的结论,究竟哪一个正确呢?我们回过头来看,“弧长法”的根据是“连接两点的线段(含曲线段)若不等长,则不重合”,这是一个在有限范围内建立起来并用来解决有限问题的结论。本问题中小半圆的弧长之和d/2虽然是一个极限值,但它是一个非常特殊的数列常数列的极限问题,它没有象一般极限过程那样,真正实现从有限向无限的质的跨越。简言之,该法仍然是用有限“眼光”“看待”了无限问题,因而结论难免是错误的。而“面积法”,当作法无限继续下去时,小半圆弧按级同步向线段AB无限趋近,或说充分靠近,要多近有多近,直至完全重合。因而此法得出的结论才是正确的。问题2:一个鸡蛋的质量是60克,最多可承重3500克,如果把足够多同样的鸡蛋堆放成正棱锥型,最多可堆放几层而不出风险?解答:先看两种特殊情况:1堆放成正三棱锥型。不妨假设,沿底面的一个边沿相临摆放m个,则底面一层共可相临摆放m+(m-1)+3+2+1=(m+1)m /2个;每向上一层,沿一个外边沿就少放一个,由此可知,一共可摆放m层,且这m层共可摆放的个数为:(m+1)m /2+m(m-1)/ 2 +6+3+1=/2 = m(m+1)(m+2)/ 6.这m层的质量为:60 m(m+1)(m+2)/ 6 = 10 m(m+1)(m+2).最底层每一个承重:10 m(m+1)(m+2) / (m+1)m / 2 = 20(m+2).由已知,须20(m+2)3500,即m173.最多可堆放173层,但此时恰好已经达到负荷的极限。2.堆放成正四棱锥型。同上之理可得,若沿底层外边沿放m个,则最底层共可放m2个,m层共可放的个数为:m2+(m-1)2+32+22+12= m(m+1)(2m+1)/ 6 .这m层的质量为:10 m(m+1)(2m+1).最底层每一个承重:10 m(m+1)(2m+1)/ m2=10(m+1)(2m+1)/ m.由已知,须10(m+1)(2m+1)/ m3500,即m173.5最多可堆放173层而不出风险。再看一般情况:对正n棱锥(n为大于3的正整数)而言,假设最多可堆放m层,因每向上一层沿其一个外边沿少放1个,则沿底面一个外边沿可相临摆放m个。因为边长为m的正n边形的面积为Sm= n(m2Cot)/ 4 .我们近似地认为最底层即第m层可放的个数为Sm= n(m2Cot)/ 4 .因此,m层共可摆放的个数为:=(nCot)/ 4 =(nCot)/ 4= n(Cot)/4 m(m+1)(2m+1)/6这m层的质量为:60n(Cot)/4m(m+1)(2m+1)/6最底层每一个承重:10(m+1)(2m+1)/ m.由已知,须10(m+1)(2m+1)/ m3500,即m173.5最多可堆放173层而不出风险。类似地,堆成圆锥型时,若底面外沿放m个,我们近似地认为:底面周长为m,而底面面积m2/(4)是底面可放个数。从而m层共可放m(m+1)(2m+1)/ 6 /(4).这m层的质量为:60m(m+1)(2m+1)/ 6 /(4),最底层每一个承重:10(m+1)(2m+1)/ m.由已知,须10(m+1)(2m+1)/ m3500,即m173.5所以最多可堆放173层而不出风险。可见,结果只与层数有关,而与正锥体的具体形状无关。事实上,上述解答过程只对两种特殊情况,即正三棱锥和正四棱锥的那部分成立。而“一般情况”下用“边长”和“面积”代替个数,可以验证,对正三棱锥就有很大误差。当n大于或等

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