论文：模糊数学的基本理论的初步研究.doc

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鹏摘要：模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。本文介绍模糊集合及其运算、模糊矩阵与模糊关系、模糊逻辑与模糊推理的基本内容及应用,模糊数学是相当新的数学方法和思想方法，虽有待于不断完善，但其应用前景却非常广阔。关键词：模糊数学;模糊集合;隶属函数;模糊语言;模糊矩阵;模糊关系;模糊逻辑康托创立的经典集合论是经典数学的基础，它是以逻辑真值为的数理逻辑基础的，扎德创立的模糊集合是模糊数学的基础，它是以逻辑真值为的模糊逻辑为基础的，它是对经典集合的开拓。一、 模糊数学的创立和发展模糊数学又称Fuzzy数学。“模糊”二字译自英文“Fuzzy”一词,该词除有模糊意思外,还有“不分明”等含意。有人主张音义兼顾译为“乏晰”等。在此将Fuzzy译为模糊,或直接采用原文。随着科学研究的不断深入,研究的对象越来越复杂,要求对系统的控制精度越来越高,而复杂的系统是难以精确化的,这样,复杂性与精确性就形成了十分尖锐的矛盾。科技工作者在实践中总结出了“不兼容原理”,即:当一个系统复杂性增大时,我们使它精确化的能力将减小,在达到一定阔值(即限度)之上时,复杂性和精确性将相互排斥。这一原理指出,高精度与高复杂性是不兼容的。美国加里福尼亚大学扎德(L.A.Zadeh ，1912)教授仔细地研究了这个问题,他发现古典集合论中的集合概念必须进行推广,这样有利于用数学模型来描述某些现象中的模糊性。1965年, Zadeh教授发表了模糊集合论论文,提出用“隶属函数”这个概念来描述现象差异的中间过渡,从而突破了古典集合论中属于或不属于的绝对关系。Zadeh教授这一开创性的工作,标志着数学的一个新的分支一一模糊数学的诞生。控制论创始人维纳在谈人胜过任何最完善的机器时说:“人具有运用模糊概念的能力”。人脑能对模糊事物进行识别和判决，但计算机对模糊现象识别能力较差，为提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率，这就推动数学家深入研究模糊数学。模糊数学是研究和处理模糊现象的，所研究的事物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合这个概念难以确定,这却由于概念的外延的模糊而造成的不确定性称为模糊型（fuzziness）。在0,1上取值的隶属函数就描述了这种模糊性。二、 模糊集合论提起数学来，人们自然会联想到“精确”二字，精确数学是建立在集合论的基础上，在康托创立的经典集合论中,经典集合所表达概念的内涵和外延都必须是明确的，一事物要么属于某集合,要么不属于某集合,二者必居其一，绝不允许模棱两可！但在人们的思维中,有许多没有明确外延的概念,即模糊概念。语言上有许多模糊概念的词,例如以人的年龄为论域,那么“年青”、“中年”、“老年”都没有明确的外延；或者以人的身高为论域,那么“高个子”、“中等身材”、“矮个子”也没有明确的外延。所以诸如此类的概念都是模糊概念。模糊概念不能用经典集合加以描述，这是因为不能绝对地区别“属于”或“不属于”,就是说论域上的元素符合概念的程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。Zadeh以精确数学集合论为基础，他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究。Zadeh认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。（一）模糊子集的定义及表示设给定论域，到的任意映射 : 都确定的一个模糊子集,成为模糊子集的隶属函数,称为对于的隶属度。隶属度也可记为。在不混淆的情况下，模糊子集也称模糊集合。论域上的模糊子集有隶属函数来表征，取值范围为闭区间，的大小反映了对于模糊从属程度。的值接近于1，表示从属于的程度很高；的直接近于0，表示从属于的程度很低。可见，模糊子集完全由隶属函数所描述。当的值域=时，蜕化成一个经典子集的特征函数，模糊子集便蜕化成一个经典子集。由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊形态，模糊集合是经典集合概念的推广。模糊集合的表达方式有以下几种：1 当为有限集时通常有如下三种方式：（1）Zadeh表示法 其中并不表示“分数”，而是表示论域中的元素与其隶属度之间的对应关系。“”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域上的整体。（2）序偶表示法将论域中的元素与其隶属度构成序偶来表示， 此种方法隶属度为0的项可不写入。（3）向量表示法 在向量表示法中，隶属度为0的项不能省略。有时也将上述三种方法结合起来表示为2 当时有限连续域时，Zadeh给出如下记法 同样，并不表示“分数”而表示论域上的元素与隶属度之间的对应关系；“”既不表示“积分”，也不表示“求和”记号，而是表示论域上的元素与隶属度对应关系的一个总括。例 以年龄作论域，取，Zadeh给出了“年老”与“年青”两个模糊集合的隶属函数为采用Zadeh表示法，“年老” 与“年青” 两个模糊集合可写为 (二)模糊子集的运算以经典集合的基本运算为基础，对模糊集合的基本运算另作定义，下面给出定义及其运算性质。1. 模糊子集的包含和相等关系设、为论域上的两个模糊子集，对于中的每一个元素，都有，则称包含，记作。如果，且，则说与相等，记作。由于模糊集合的特征是它的隶属函数，所以两个模糊子集相等也可以隶属函数来定义。如对所有元素，都有2. 模糊子集的并、交、补运算设、为论域上的两个模糊子集，规定、的隶属函数分别为、，并且对于的每一个元素，都有 上述三式分别为、并集、交集和的补集。式中“”表示取大运算，“”表示取小运算，称其为Zadeh算子。因此两个模糊子集的并、交可写成模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。3. 模糊子集的代数运算代数积：称为为模糊集合和的代数积，的隶属函数为 代数和：称为模糊集合和的代数和，的隶属函数为 环和：称为模糊集合和的环和，的隶属函数为模糊集合的运算基本性质与经典集合是相同的，但须指出，模糊集合不再满足互补律，其原因是模糊子集没有明确的边界，也无明确的边界。正是这一点，是模糊集合比经典集合能更客观地反映实际情况，因为在实际问题中，存在着许多模棱两可的情形。(三)模糊集合与经典集合的联系模糊子集是通过隶属函数来定义的，如果约定：当对于的隶属度达到或超过者就算做的成员，那么模糊子集就变成了经典子集。例如，“高个子”是个模糊集合，而“身高1.75以上的人”却是经典集合。三、模糊矩阵与模糊关系模糊关系在模糊集合论中占有重要的地位，而当论域为有限时，可以用模糊矩阵来表示模糊关系。模糊矩阵可以看作普通关系矩阵的推广。（一）模糊矩阵1. 模糊矩阵的定义及其运算（1）模糊矩阵如果对任意的及，都有，则称为模糊矩阵。通常以表示全体行列的模糊矩阵。（2）模糊矩阵的并、交及补的运算对任意、，则分别称以上三式为模糊矩阵和得并、交运算，及模糊矩阵的求补运算。如果，则称模糊矩阵被模糊矩阵包含，记为。如果，则称模糊矩阵被模糊矩阵相等。模糊矩阵的并、交、补运算性质与普通矩阵类同不再赘述。须指出，一般，即对模糊矩阵互补律不成立。其中、分别称为零矩阵及全矩阵，即 2. 模糊矩阵的合成（1）定义：设，是两个模糊矩阵，它们的合成指的是一个行列的模糊矩阵，得第行第列的元素等于的第行元素与第列对应元素两两先取较小者，然后在所有的结果中取较大者，即，模糊矩阵与的合成又称为对的模糊乘积，或称模糊矩阵的乘法。（2）模糊矩阵合成运算1）结合律 2） 注意：对于“交”运算，不满足上述分配律，即3）； 其中为零矩阵，为单位矩阵。4）若，则，5）若，则须特别指出的事，模糊矩阵的合成运算不满足交换律（可以自行验证），即3. 模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置矩阵同普通矩阵的转置矩阵的概念是相同的，即把相应的行变为列，列变为行即可得到转置矩阵。其性质类同于普通矩阵。（二）模糊关系1. 模糊关系的定义设、是两个非空集合，则直积中的一个模糊子集称为从到的一个模糊关系。模糊关系由其隶属函数完全刻划。序偶的隶属度为，它表明了具有关系的程度。上述定义的模糊关系，又称二元模糊关系，当时，称为上的模糊关系。当论域为个集合的直积时，它所对应的为元模糊关系。2. 模糊关系的运算设、是上的模糊关系，则定义一下模糊关系的并、交、包含、相等、补等运算。1） 并：2） 交：3） 包含：4） 相等：5） 补：6） 转置： 7） 恒等关系：若给定上的模糊关系满足则称为上的恒等关系。8） 零关系：若给定上的模糊关系满足， 则称为上的零关系。9） 全称关系：若给定上的模糊关系满足， 则称为上的全称关系。（三）模糊关系的合成模糊关系的合成是普通关系合成的推广，下边给出它的定义：设、是论域，是到的一个模糊关系，是到的一个普通关系，对的合成指的是到的一个模糊关系，它具有隶属函数当论域、为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成表示。设、三个模糊关系对应的模糊矩阵分别为 则有 即用模糊矩阵的合成来表示模糊关系的合成。四、模糊逻辑与模糊推理人类自然语言具有模糊性，能正确的识别和判断。计算机对模糊性却缺乏识别和判断能力，为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立合适的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。（一）模糊语言把具有模糊概念的语言称为模糊语言， 众所周知,任何一种语言都是以一定的符号来代表一定的意思，这种符号被称为文字，简称为“字”，语言中“字”和“义”的对应关系称为语义。当我们以颜色为语言主题时，即论域为颜色，而表示颜色这一类单词就构成一个集合。语义通过从到的对应关系来表达，通常是一个模糊关系，对任意固定的，记它是一个模糊子集，也可记为。单词对应于的这个模糊子集，用与相对应的大字母表示这个集合。当时，则集合为普通集合，单词的意义是明确的，否则称为模糊的。 是集合对论域的模糊关系，设为的隶属函数，它具有两个变量，其中，。表示属于的单词与属于的对象之间关系的程度。在自然语言中有一些词可以表达语气的肯定程度，如“非常”“狠”“极”等；也有一类词，如“大概”、“近似于”等，置于某个词前面，使该词意义变为模糊；还有些词，如“偏向”“倾向于”等可使词义由模糊变为肯定。下面着重介绍一下语气算子，语气算子定义如下其中为论域的一个模糊子集，称为语气算子，为一正实数。如论域为年龄，而表示单词老，那么随着取不同值，就可以表示出“年老”的程度。当时，称为集中化算子，它能加强语气的肯定程度。我们不妨称为“相当”，为“很”，为“极”，则当时，称为散漫化算子，它可以适当地减弱语气的肯定程度。如可称为“微”，为“略”，为“比较”。除上面介绍的语气算子外，还有模糊化、规定化、美化、比喻、联想等算子，不一一具体研究。自然语言中的一些词可以数量化，如大、小、长、短、高、矮等以及加上语言算子派生出来的词汇，如很大、略小、极长、倾向短、不高也不矮， 都称为语言值，它们都是以实数域或其子集为论域的词汇。此外，如可能、很可能、不大可能等也都是语言值。如果在论域上定义的语言值，则它们分别为那么根据前面介绍的语言算子，则有上面对模糊语言做了初步介绍，目前模糊语言方面的研究还很不成熟，语言学家正在深入研究。 （二）模糊命题与模糊逻辑1. 模糊命题人们把具有模糊概念的陈述句称为模糊命题,一个模糊命题用英文字母下面加波浪“”表示。模糊命题比二值逻辑中的命题更能符合人脑的思维，它是普通命题的推广，反映了真或假的程度。因此仿照模糊集合中的隶属函数的形式，将模糊命题的真值推广到区间上去连续值。模糊命题的真值记作 显然，当时表示完全真；时，表示完全假。介于0、1之间时，表征真的程度。越接近于1，表明真的程度越大；越接近于0，表明真的程度越小，即假的程度越大。2. 模糊逻辑通常将研究模糊命题的逻辑称为连续值逻辑，也称模糊逻辑，它是二值逻辑的推广是对经典的二值逻辑的模糊化，是建立在模糊集合和二值逻辑概念基础上的,可以把它视为一类特殊的多值逻辑。一个公式的真值,模糊逻辑中可取0,1区间中的任何值,其数值表示这个模糊命题真的程度。一般情况下，对于一个合适的给定模糊逻辑函数式，可以通过等价变换使其成为析取范式（又称逻辑并标准形）或合取范式（又称逻辑交标准形），或是析取范式和合取范式的组合。一般析取标准形可简记为合取标准形可简记为其中为模糊变量，称其为“字”，“字”的析取式叫子句；“字”的合取式叫字组。由此不难看出，析取标准形为“积之和”型，而合取标准形为“和之积”型。对于同一模糊逻辑函数，两种范式之间是对偶的。可以自行验证，不赘述。（三）模糊推理1. 判断与推理判断和推理是思维形式的一种，判断是概念与概念的联合，而推理则是判断与判断的联合。直言判断句的句型为“是”，是表示论域中的任何一个特定对象，称为语言变元；为表示概念的一个词或词组。这种判断句记作。如果的外延是清晰的，则所对应的集合为普通集合，称是普通的判断句。 如果，称“是”的判断为真，把称为的真域；如果，称“是”的判断为假。 不难看出 ， 当“是”的判断没有绝对的真假时，将对的隶属度定义为对的真值。“若是，则是”型的判断句称为推理句，简记为“”。2. 模糊推理句模糊推理句同模糊判断句一样，不能给出绝对的真与不真，只能给出真的程度。类似于普通推理句，模糊推理句真值定义如下“”对的真值由于有，故可得 于是有3. 模糊推理在应用模糊集合论对模糊命题进行模糊推理时，应用模糊关系表示模糊条件句，将推理的判断过程转化为对隶属度的合成及演算过程。设和分别为和上的模糊集，他们的隶属函数分别为和，词和分别用和上的子集、描述，模糊推理句“”可表示为从到的一个模糊关系，它是的一个模糊子集，记为，它的隶属函数定义为 4. 模糊条件语句及其推理规则模糊条件语句是一种模糊推理，它的一般句型为“若则否则”。模糊条件语句在模糊自动控制中占有重要地位，因为模糊控制是有许多条件语句所组成。“若则否则”这样的模糊条件语句，可以表示为实际上也是的一个模糊子集，因此它也是一种模糊关系，模糊关系中的各元素根据下式计算 如果隶属度、及分别用、及表示，则式变为采用模糊向量的笛卡尔乘积的形式，上式可表示为推理规则的合成规则可与叙述如下：如果是到的一个模糊子集，且是上的一个模糊子集，则由和所推得的模糊子集为下面通过具体例子来说明如何从模糊条件语句进行模糊推理。例1 某电热烘干炉依靠人工连续调解外加电压，以便克服各种干扰达到恒温烘干目的。操作工人的经验是“如果炉温低，则外加电压高，否则电压不很高。”如果炉温很低，如何确定外加电压应该如何调节？设表示炉温，表示电压，则上述问题可表述为“若低则高，否则不很高。”如果很低，试问如何？设定论域 为了便于计算，将模糊子集写成向量形式 模糊条件语句可写为由上式的模糊推理的合成规则可得由此可得出的模糊集为 计算结果表明“跟高差不多”，或说“近似于高”。目前，模糊逻辑还很不成熟，尚需继续研究。五、结论与展望模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的，这种不确定性是由于其概念的外延不明确而造成的，在这点上与概率论是严格区分开的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，Zadeh的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。模糊数学在理论上还处于不断发展和完善之中,它的应用也日益广泛。它在聚类分析、图像识别、自动控制、故障诊断、系统评价、机器人、人工智能等多方面得到了应用。进入90年代，模糊数学研究的一个显著特点是从理论研究走向了应用，国际学术会议增多，IEEE创办了模糊系统汇刊，并定期举办国际会议（FUZZ-IEEE）。模糊数学理论还远没有成熟，对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检验。 参考文献：1 楼世博等，模糊数学，科学出版社2 李士勇，模糊控制和智能控制论，哈尔滨工业大学出版社3 薛宏晔，计算机控制技术，西安电子科技大出版社4 汪培庄,模糊集合论及其应用，上海科学技术出版社5 葛苏林,模糊子集 模糊关系模糊映射，1985年，北京师范大学出版社6 刘锡荟，模糊数学及计算机应用，中国科学院研究生院讲义，20017 L.A.ZadehFuzzy SetsJInformation and Control，1965,88 李洪兴等编著，工程模糊数学方法及应用，天津科学技术出版社，天津，19919