二次函数背景下的不等式问题.doc

羁节莇蚅袇芁薀袀袃芀蚂螃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莁蚀蚇羃蒀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁膃肅莃蚄聿肄蒆罿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈蒇螇膃膇蕿蚀聿膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袄螆芃薆蚆肅芃芅袂羁节莇蚅袇芁薀袀袃芀蚂螃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莁蚀蚇羃蒀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁膃肅莃蚄聿肄蒆罿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈蒇螇膃膇蕿蚀聿膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袄螆芃薆蚆肅芃芅袂羁节莇蚅袇芁薀袀袃芀蚂螃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莁蚀蚇羃蒀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁膃肅莃蚄聿肄蒆罿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈蒇螇膃膇蕿蚀聿膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袄螆芃薆蚆肅芃芅袂羁节莇蚅袇芁薀袀袃芀蚂螃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芇薆薄袀莇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁 二次函数背景下的不等式问题蒋 际 明(浙江省湖州中学 313000)二次函数是中学代数的基本内容之一，它虽然形式简单但有着丰富的内涵.以二次函数为载体不仅可以研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的联系.纵观近几年来的数学高考试卷,每一年或多或少有它的“影子”,特别是以二次函数为背景的不等式的有关问题,是近年来高考的热点,也是难点.为此,本文就这类问题解题的思想方法作一些探讨.一.利用待定系数法二次函数的一般式中有三个参数. 解题时常常要通过某些条件“确定”这三个参数,以达到解题的目的. 例1 设，若，, 试证明：对于任意，有.分析：本题中，所给条件显然不能确定参数,c的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此可以用来表示.解： , , . 变式训练1: 已知，满足1且，求的取值范围.(答案: )二. 利用函数与方程根的关系合理选择二次函数的解析式,如二次函数的零点式,可直接显示出二次函数与方程根的关系.例2设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明:.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式. 证明：由题意可知., , 当时，.又, ,综上可知，所给问题获证. 评注:本题以二次函数为本源,联系一元二次方程的根,进行不等式的论证.处理本题时,一个误区是将方程化为去研究,导致无从下手.变式训练2.已知二次函数,若方程的所有根都在内,求证:三. 利用数形结合的思想(1) 二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观.例3 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.分析:由函数对称轴的位置可得又由的对称轴与的对称轴之间的关系即可得到的取值范围.解：由题意 .它的对称轴方程为由方程的两个根满足, 可得且, ，即 ， 而故 .变式训练3:已知函数上的最大值为2,最小值为求证:.(提示:用反证法,并研究函数对称轴位置)(2)二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根,所以有以下结论:存在实数使得,且在区间上必存在的唯一的实数根.存在实数使得, 同号且与异号在区间上必存在的两个实数根.例4 已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围.分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化. 解：设，则的二根为和.（1） 由及，可得 ，即 ，即 两式相加得，所以，;（2）由, 可得 .又，所以同号. ，等价于或,即 或解之得 或.变式训练4:(2006浙江卷理16)设,，,求证：() a0且21；()方程在（0，1）内有两个实根.证明：（I）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（II）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根. 膁蒃螇肆羃荿螆螅艿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀莅袂螂芅芁葿袄肈膇蒈肆芄薆蒇螆膇蒂蒆袈莂莈蒅羁膅芄蒅肃羈薃蒄螃膃葿薃袅羆莅薂羇膁芁薁蚇羄芇薀衿芀薅蕿羂肂蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃薇袆芆腿蚆羈聿蒈蚅蚈芅莄蚄螀肇莀蚄羂莃芆蚃肅膆薄蚂螄羈蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈螈螁羅蒇螈袃膁蒃螇肆羃荿螆螅艿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀莅袂螂芅芁葿袄肈膇蒈肆芄薆蒇螆膇蒂蒆袈莂莈蒅羁膅芄蒅肃羈薃蒄螃膃葿薃袅羆莅薂羇膁芁薁蚇羄芇薀衿芀薅蕿羂肂蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃薇袆芆腿蚆羈聿蒈蚅蚈芅莄蚄螀肇莀蚄羂莃芆蚃肅膆薄蚂螄羈蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈螈螁羅蒇螈袃膁蒃螇肆羃荿螆螅艿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀莅袂螂芅芁葿袄肈膇蒈肆芄薆蒇螆膇蒂蒆袈莂莈蒅羁膅芄蒅肃羈薃蒄螃膃葿薃袅羆莅