2018届高三数学（理）高考总复习：板块命题点专练（十二）Word版含解析.doc

板块命题点专练（十二）命题点向量法求空间角及应用命题指数：难度：中题型：解答题1(2015全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10于是MH6，所以AH10以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6,8)设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又(10,4,8)，故|cosn，|所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为2(2014全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角D AEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO因为平面ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC(2)因为PA平面ABCD，平面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，设B(m,0,0)(m0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cosn1，n2|，即 ，解得m因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为三棱锥EACD的体积V3(2016山东高考)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值解：(1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI在CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GIEF又EFOB，所以GIOB在CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HIBC又HIGII，BCOBB，所以平面GHI平面ABC因为GH平面GHI，所以GH平面ABC(2)法一：连接OO，则OO平面ABC又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)过点F作FMOB于点M，所以FM 3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量m因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n，所以二面角FBCA的余弦值为法二：如图，连接OO，过点F作FMOB于点M，则有FMOO又OO平面ABC，所以FM平面ABC，可得FM3过点M作MNBC于点N，连接FN，可得FNBC，从而FNM为二面角FBCA的平面角又ABBC，AC是圆O的直径，所以MNBMsin 45从而FN，可得cosFNM所以二面角FBCA的余弦值为4(2016天津高考)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解：依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0，0)(1)证明：依题意，(2,0,0)，(1，1,2)设n1(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，则即不妨取z11，可得n1(0,2,1)又(0,1，2)，可得n10又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF(2)易证(1,1,0)为平面OEF的一个法向量，依题意，(1,1,0)，(1,1,2)设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，则即不妨取x21，可得n2(1，1,1)因此有cos，n2，于是sin，n2所以，二面角OEFC的正弦值为(3)由AHHF，得AHAF因为(1，1,2)，所以AH，进而有H，从而因此cos，n2所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为5(2016全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到DEF的位置，OD(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值解：(1)证明：由已知得ACBD，ADCD又由AECF，得，故ACEF因此EFHD，从而EFDH由AB5，AC6，得DOBO4由EFAC，得所以OH1，DHDH3于是DH2OH2321210DO2，故DHOH又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD(2)如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，故(3，4