高中数学 第三章 导数及其应用 3_3_2 第2课时 利用导数研究函数的最值课件 新人教b版选修1-1

第三章,导数及其应用,3.3.2 利用导数研究函数的极值 第2课时 利用导数研究函数的最值,学习目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念. 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？,答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，非常数函数的最值只要不在端点处取得必定是极值，在开区间(a，b)上若有唯一的极值，则此极值必是函数最值.,预习导引 1.函数f(x)在闭区间a，b上的最值 函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得.,端点,极值点,2.求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的 ； (2)将函数yf(x)的各极值与 的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .,极值,端点处,最小值,最大值,3.函数在开区间(a，b)的最值 在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的 .,最大(小)值,4.极值与最值的意义 (1) 是在区间a，b上的所有函数值相比较最大(小)的值； (2) 是在区间(a，b)上的某一个x0附近相比较最大(小)的函数值.,最值,极值,要点一 求函数在闭区间上的最值,例1 求下列各函数的最值： (1)f(x)2x36x23，x2,4； 解 f(x)6x212x6x(x2)， 令f(x)0，得x0或x2,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表,当x4时，f(x)取最大值35. 当x2时，f(x)取最小值37.,(2)f(x)x33x26x2，x1,1.,解 f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23， f(x)在1,1内恒大于0， f(x)在1,1上为增函数. 故x1时，f(x)最小值12； x1时，f(x)最大值2. 即f(x)的最小值为12，最大值为2.,规律方法 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得. 求出导数为零的点. 比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值. (2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得.,跟踪演练1 求下列函数的最值：,令f(x)0得x2或x2.,(2)f(x)ex(3x2)，x2,5. 解 f(x)3exexx2， f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1)， 在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0， 即函数f(x)在区间2,5上单调递减， x2时，函数f(x)取得最大值 f(2)e2； x5时，函数f(x)取得最小值 f(5)22e5.,要点二 含参数的函数最值问题 例2 已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值. 解 f(x)x2(xa)，f(x)x(3x2a).,从而 f(x)maxf(2)84a.,从而 f(x)maxf(0)0.,规律方法 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性变化，从而导致最值变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.,跟踪演练2 在本例中，将区间0,2改为1,0结果如何？,从而 f(x)maxf(1)1a；,要点三 函数最值的应用 例3 设函数 f(x)tx22t2xt1(xR，t0). (1)求 f(x)的最小值h(t)；,解 f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)， 当xt时，f(x)取最小值 f(t)t3t1， 即h(t)t3t1.,(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.,解 令g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由g(t)3t230得t1或t1(不合题意，舍去). 当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：,对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，,h(t)1.故实数m的取值范围是(1，),规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常用的解决“恒成立”问题的方法. 一般地，可采用分离参数法进行转化. f(x)恒成立f(x)max； f(x)恒成立f(x)min. 对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可. (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.,跟踪演练3 设函数 f(x)2x39x212x8c， (1)若对任意的x0,3，都有f(x)0； 当x(1,2)时，f(x)f(1)，,x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c. 对任意的x0,3，有f(x)9. c的取值范围为(，1)(9，).,(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围. 解 由(1)知f(x) f(3)98c， 98cc2， 即c1或c9， c的取值范围为(，19，).,1,2,3,4,1.函数 f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是( ) A.f(2)，f(3) B.f(3)，f(5) C.f(2)，f(5) D.f(5)，f(3) 解析 f(x)2x4，当x3,5时，f(x)0，故f(x)在3,5上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).,B,2.函数 f(x)x33x(|x|1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值 解析 f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0， 所以 f(x)在(1,1)上单调递减，无最大值和最小值，故选D.,1,2,3,4,D,1,2,3,4,C,1,2,3,4,解析 由 f(x)2，得a2x22x2ln x， 令g(x)2x22x2ln x，,1,2,3,4,g(x)0，当xe 时，g(x)取最大值g(e)e ，,ae. 答案 ae,课堂小结 1.求函数的最值时，应注意以下几点 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念. (2)闭区间a ，b上的连续函数一定有最值.开区间(a，b)内