第五章数字信号处理课后答案刘顺兰版.pdf

1 第五章 部分习题解答 （数字信号处理（第二版） ，刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播） 5.11 ) 3)(1( 3 )( + = ss sHa 试用脉冲响应不变法及双线性变换法将以上模拟系统函数转变为数字系统函数 )(zH，采样周期5 . 0=T。 解： （1）脉冲响应不变法 3 1 1 1 2 3 )3)(1( 3 )( + + = + = ssss sH 令 )()(nTThnh = 则 1 1 1 1 2 3 )( 131 = zeze T zH TT 1 1 1 1 4 3 )(,5 . 0 1 2 3 1 2 1 = zeze zHT 221 2 3 2 1 1 2 3 2 1 )(1 )( 4 3 + = zezee zee 21 1 14. 083. 01 29. 0 + = zz z (2)双线性变换法 )3 1 12 )(1 1 12 ( 3 )()( 1 1 1 1 1 12 1 1 + + + + = + = z z Tz z T sHzH z z T S 21 21 13 21 32635 )21 ( 3 )7)(35( )1 (3 + + = + = zz zz zz z 5.12 用脉冲响应不变法设计一个数字滤波器，模拟原型的系统函数为 22 )( )( bas as sH + + = 解：按照题中给定的)(sH，将其展开成部分公式 jbasjbasbas as sH + + + = + + = 2 1 2 1 )( )( 22 2 于是 )( 2 1 2 1 )( )()( tueeth tjbatjbaj+ += 按照冲激不变条件，可以写出 )( 2 1 2 1 )()( )()( nueenThnh nTjbanTjba+ += 因此系统函数为 = = 0 )()( n n znhzH 11 1 2 1 1 2 1 + = zeezee jbTaTjbTaT )1)(1 ( )cos(1 11 1 = zeezee zbTe jbTaTjbTaT aT 221 1 )(cos21 )(cos1 + = zezbTe zbTe aTaT aT 解法二： jbasjbasbas as sH + + + = + + = 2 1 2 1 )( )( 22 取 )()(TThnh = 11 1 2 1 1 2 1 )( + = zee T zee T zH jbTaTjbTaT 221 1 cos21 )cos1 ( + = zezbTe zbTeT aTaT aT 5.19 假设某模拟滤波器) sH（ 是一个低通滤波器，又知 ) 1 1 ()( + = z z HzH （用了变换) 1/() 1(+=zzs） ，于是数字滤波器的通带中心位于： （1）0=(是低通)； （2）=(是高通） ； （3）在), 0(内的某一频率上。 试判断哪一个结论对？ 解法一：按题意 1 1)()( + = = z z s sHzH 3 1 1 + = z z s， 令 j ezjs=, 则 2 2 sin2 2 cos2 1 1 jctg j e e j j j = + = 2 ctg=， 负号无意义，故 2 ctg= 因此当0=时，对应=，故答案 =)2(对。 解法二： 令1=z，对应于1= j e，式中0=，则)() 1 (= HH 对应=，所以不是低通。 若令 1=Z，对应=，则)0() 1( HH= 对应0=，所以答案为（2）=。 5.20 设采样频率为KHZfs28318. 6=，用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃思数字低 通，截止频率为KHZfc1=，并画出该低通的并联型结构图。 解： 令1=，则巴特沃思滤波器的幅度平方函数为 3, )(1 1 )( 2 2 = + =N j j jH N c 则可解得： 3 2 6 3 2 6 )3/()3/( )( j C j C j C j C C C eS e eS e S sH + + + = 用脉冲响应不变法得： 1)( 6 1)( 6 1 3 2 3 2 1 )3/( 1 )3/( 1 )( + + = ze eT ze eT ze T zH j C j C C Te j C Te j C T C 其中128318. 6/122= scc fT 1 2 31 6 1 2 31 6 11 1 3 1 1 3 1 1 1 )( + + + = ze e ze e ze zH j j j j 1 2 31 1 2 31 11 1 ) 6 3 2 1 ( 1 ) 6 3 2 1 ( 1 1 + + + + = ze j ze j ze jj 4 211 2 1 1 2 1 1 ) 2 3 cos(21 ) 62 3 cos( 3 2 1 3679. 01 1 + + + = zeze ze z 21 1 1 3679. 01072. 11 4105. 01 3679. 01 1 + + = zz z z 5.21 用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通，采样频率为KHZfs6=，截止频率为 HZfc400=。 解：由查表可得3=N时 32 221 1 )( sss sH N + = 32 )()(2 2 1 1 )()( ccc c N sss s HsH + + + = = 15 2 6000/40022 =HZHZTfc c T tg T tg T c c 2 2 . 0) 15 ( 2 2 2 = 1 1 1 1 1 1 ) 15 ( 1 , 1 12 + = + = z z tg s z z T s c 3 1 1 32 1 1 2 1 1 1 12 ) 1 1 ( 15 ) 1 1 ( 15 2 1 1 ) 15 (21 1 )()( 1 1 + = + + + + + + = z z ctg z z ctg z z ctg sHzH z z T s 321 321 321 321 4516. 071. 1215. 21 )331 (005376. 0 84318412186 331 + + = + + = zzz zzz zzz zzz 5.24 用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字高通滤波器，采样频率为KHZfs6=，截止 频率为KHZfc5 . 1=（不计KHZ3以上的频率分量） 。 解法 1：三阶巴特沃思低通模拟滤波器的原型函数： 32 221 1 )( sss sH N + = 5 2 106/105 . 12/22 33 = sccc ffTf 频率预畸： T tg T tg T c c 2 4 2 2 2 = 32 )()(21 1 )()( sSs s HsH ccc c aNhp + + + = = 1 1 1 1 1 1 2 1 12 )()()( + = + = = z z tgs N z z T s hphp c sHsHzH 3 1 1 2 1 1 1 1 ) 1 1 () 1 1 (2) 1 1 (21 1 + + + + + + = z z z z z z 3112121131 31 )1 ()1 ()1 (2)1)(1 (2)1 ( )1 ( + = zzzzzz z 2 321 26 331 + + = z zzz 解法二：直接利用公式： 1 42 ,)()( 1 1 1 1 = + = tgtgsHzH c c z z s Nhp c 2 321 3 1 1 2 1 1 1 1 26 331 ) 1 1 () 1 1 (2) 1 1 (21 1 )( + + = + + + + + + = z zzz z z z z z z zHhp 5.28 用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字带通，采样频率为HZfs720=，上下边带 截止频率分别为HZf60 1= ，HZf300 2 =。 解法一：三阶巴特沃思原型低通滤波器为 32 221 1 )( sss sH N + = 直接利用公式： 2 21 1 11 )()( + = = z zaz s NBP B sHzH 其中： B 为高通预畸截止频率 2 22 tan 2 tan 1212 TfTf B = = 6 7202 )60300(2 tan 2 22 tan 12 = = s f ff 732. 13 3 tan= ) 2 22 cos( ) 2 22 cos( 2 2 cos 2 cos 2 12 21 12 21 TfTf TfTf a + = + = 3 cos 2 cos 2 ) 7202 6023002 cos( ) 7202 3002602 cos( = + = 0= 所以 2 2 1 1 3 1 )()( + = = z z s NBP sHzH 3 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 1 ( 33 1 ) 1 1 ( 3 1 2 1 1 3 1 21 1 + + + + + + = z z z z z z 642 32 3195. 07560. 19107. 20138. 3 )1 ( + = zzz z 642 642 1060. 05827. 09658. 01 )331 (3318. 0 + + = zzz zzz 解法二：三阶巴特沃思原型低通滤波器 32 2221 1 )( sss sH N + = radffTf s 6 720/602/22 111 = radffTf s 6 5 720/3002/22 222 = 频率预畸： srad TTT L /386268. 01440268. 0 2 12 tan 2 2 tan 2 1 = srad TTT H /5374732. 31440732. 3 2 12 5 tan 2 2 tan 2 2 = 模拟带通滤波器： )( 2 )()( LHB HLB s s s NBBP sHsH + = = 7 1) 2 ( 2 tan 2 2 tan 2 2 21 = TTT HL 464. 3 2 )268. 0732. 3( 2 ) 2 tan 2 (tan 2 12 = TTT LH 则 ) )( ()( 2 LH HL NBP s s HsH + = 带通数字滤波器： ) 464. 3 3 1 12 ) 2 () 1 12 ( ()()( 1 1 22 1 1 1 12 1 1 + + + = + = Tz z T Tz z T HsHzH N z z T s BPBP ) )1 (464. 3 )1 ()1 ( () 1 1 464. 3 1) 1 1 ( ( 2 2121 1 1 2 1 1 + = + + + = z zz H z z z z H NN 3 2 2 2 2 22 2 2 ) )1 (464. 3 )1 (2 () )1 (464. 3 )1 (2 (2) )1 (464. 3 )1 (2 (21 1 + + + + + + = z z z z z z 642 642 1060. 00058279658. 01 )331 (3318. 0 + + = zzz zzz 其他： 13、已知模拟滤波器平方幅度函数 2 )( jH为： 15 9 )( 24 2 1 + =jH 2102 1 )( 24 2 2 2 + + =jH (1)求出相应的模拟系统函数)(sH； (2)若分别采用脉冲响应法和双线性变换法，将模拟滤波器变换为数字滤波器的设计方法， 试求出其响相应的数字滤波器系统函数)(zH。 解：(1) 令 = js代入 15 9 )( 24 2 1 + =jH得 ) 2 215 )( 2 215 ( 9 15 9 )()( 22 24 11 + = + = ss ss sHsH 8 ) 2 215 )( 2 215 )( 2 215 )( 2 215 ( 9 + + + + = ssss 将左半平面的极点归属于)( 1 sH，则 ) 2 215 )( 2 215 ( )( 1 1 + + + = ss K sH 利用 0101 )()( = =jHsH s 求出3 1 =K。所以 ) 2 37 )( 2 37 ( 3 ) 2 215 )( 2 215 ( 3 )( 1 + + + = + + + = ss ss sH 同样，将= js代入 2102 1 )( 24 2 2 2 + + =jH得 ) 2 215 )( 2 215 (2 ) 1)(1( ) 15(2 1 )()()( 22 24 2 22 2 2 + + = + + = = ss ss ss s sHsHjH sj ) 2 215 )( 2 215 )( 2 215 )( 2 215 (2 ) 1)(1( + + + + + = ssss ss 将左半面极点和零点归属于)( 2 sH（最小相位系统） ，则 ) 2 37 )( 2 37 ( ) 1( ) 2 215 )( 2 215 ( ) 1( )( 22 2 + + + + = + + + + = ss sK ss sK sH 利用 0202 )()( = =jHsH s 求出 2 2 2 =K，则 ) 2 37 )( 2 37 ( ) 1( 2 2 )( 2 + + + + = ss s sH (2)脉冲响应不变法 9 2 37 3 2 37 3 ) 2 37 )( 2 37 ( 3 )( 1 + + + + = + + + = ssss sH 则 1 2 37 1 2 37 1 1 3 1 3 )( + + = ze T Ze T zH TT 若令 2=T，则 1)37(1)37( 1 1 32 1 32 )( + + = zeze zH 272)37()37(1 1)37()37( )(1 )(32 + + + = zeeez zee 21 1 005. 04136. 01 346. 1 + = zz z 2 37 ) 2 37 1 ( 6 6 2 37 ) 2 37 1 ( 6 6 2 2 ) 2 37 )( 2 37 ( ) 1( 2 2 )( 2 + + + + = + + + + = ssss s sH 457. 0 222. 0 189. 2 132. 0 2 37 ) 2 37 1 ( 6 6 2 37 ) 1 2 7 ( 6 6 + + + = + + + + = ss ss 1457. 01189. 2 2 1 222. 0 1 132. 0 )( + = ze T ze T zH TT 令2=T，则得： 11 2 4009. 01 444. 0 01255. 01 264. 0 )( + = zz zH 21 1 005. 0413. 01 111. 0708. 0 + = zz z 双线性变换法： ) 2 37 1 12 ( ) 2 37 1 12 ( 3 )()( 1 1 1 1 1 12 11 1 1 + + + + + = + = z z Tz z T sHzH z z T s 若令2=T，则 )543. 0457. 1)(189. 1189. 3( )1 (3 )( 11 21 1 + + = zz z zH 10 21 21 646. 0000746. 0646. 4 )21 (3 + + = zz zz 2 21 139. 01 )21 (646. 0 + = z zz ) 2 37 1 12 )( 2 37 1 12 ( ) 1 1 12 ( 2 2 )()( 1 1 1 1 1 1 1 12 22 1 1 + + + + + + + = + = z z Tz z T z z T sHzH z z T s 若令2=T，则 )543. 0457. 1)(189. 1189. 3( )1 ( 2 2 2 )( 11 1 2 + + = zz z zH 2 1 2 1 139. 01 )1 (304. 0 646. 0646. 4 )1 (414. 1 + = + = z z z z 2、 1 1 )( 2 + = ss sH，采样周期2=T，重复第一题。 解： ) 2 31 )( 2 31 ( 1 1 1 )( 2 j s j s ss sH + + + = + = 2 31 3 2 31 3 j s j j s j + + + = 脉冲响应不变法： 1 2 31 1 2 31 1 3 1 3 )( + = ze T j ze T j zH T j T j 1)31(1)31( 1 3 2 1 3 2 + = ze j ze j jj 2211 11 )3cos(21 )3sin( 3 4 + = zeze ze 11 21 1 1353. 01181. 01 8386. 0 + = zz z 双线性变换法： 1 1 1 ) 1 1 ( 1 )()( 1 1 2 1 1 1 12 1 1 + + + + = + = z z z z sHzH z z T s 2 21 3 21 + + = z zz 3、用脉冲响应不变法将以下)(sH转换为)(zH，采样周期为 T。 (1) 22 )( )( bas as sH + + = (2) 2 0) ( )( ss A sH = (3) m ss A sH )( )( 0 = ，m为任意正整数。 解： (2) 2 0) ( )( ss A sH = + = j jc stst dsesH j dsesH j th 0 0 )( 2 1 )( 2 1 )( 上式的积分是在 s 平面内沿一不通过被积函数极点的封闭曲线 C 进行的。这里 C 应取 半径为无穷大的左半平面的圆弧（因0t） ，则根据复变函数理论中的留数定理，有 = = c stst se ss A sdse ss A j th, )( Re )(2 1 )( 0 2 0 2 0 0 )( )( )!12( 1 2 0 2 0ss st e ss A ss ds d = = )( 0 tuAte ts = 则 )()()( 0 2 nuneATnTThnh nTs = n n nTs n n zneATznhzH = = = 0 2 0 0 )()( 12 0 2 0 n n nTs ze dz d zAT = = 1 1 1 2 0 = zedz d zAT Ts 221 12 21 2 00 0 0 0 21)1 ( 1 + = = zeze zeAT zez eAT TsTs Ts Ts Ts (3) )( )!1( )()( 0 11 tuet m A sHLth tsm = 则 )( )!1( )()( 0 1 nuen m AT tThnh Tnsm m nTt = = = = 0 )()( n n znhzH n n Tnsm m zen m AT = = 0 1 0 )!1( )() 1( )!1( 0 1 1 11 0 = = n nTns m m mm m ze dz d z m AT ) 1 1 () 1( )!1( 11 1 11 0 = zedz d z m AT Tsm m mm m 5、试设计一个数字低通滤波器，满足在2613. 0时，通带衰减不大于 0.75dB，在 4018. 0时，阻带衰减大于 20dB，模拟滤波器采用巴特沃思滤波器，并用双线性变换 求出数字滤波器的系统函数)(zH，并画出它的级联结构图。 解：令 2 )( jH为模拟滤波器的平方幅度函数，且由于采用双线性变换 2 tan 2 T = 若1=T，故要求 75. 0) 2 2613. 0 tan(2(log20 jH 20) 2 4018. 0 tan(2(log20 jH 因为巴特沃思滤波器的形式为： 13 N c jH 2 2 )(1 1 )( + = 所以 075. 02 10) )13065. 0tan(2 (1= + N c 22 10) )2009. 0tan(2 (1= + N c 因此： )1306. 0tan(/ )2009. 0logtan( )110/() 110log( 2 1 075. 02 =N 36153. 013616. 0 1885. 0/99log 2 1 + = 22537. 0 72033. 2 2 1 =03525. 6= 取 N=6，代入上式得 212 10) )2009. 0tan(2 (1= + c c = )2009. 0tan(2 992 1 c = 462. 1 46657. 1 9967. 0=c 对于这个 c 值，通带技术指标基本达到，阻带技术指标刚好满足，在 S 平面左半部有 三个极点对，其坐标为 Nkejs Nkj cc N P , 2, 1,) 1( )2/)12( 2 ( 2 1 ?= + 极点对 1： 9627. 02579. 0j 极点对 2： 7047. 07047. 0j 极点对 3： 2579. 09628. 0j 于是： )9933. 09256. 1)(9933. 04094. 1)(9933. 05158. 0( 9804. 0 )( 222 + = ssssss sH 14 以 1 1 1 1 2 + = z z s代入上式最后可得： )4434. 08691. 01)(5579. 09392. 01)(8127. 00915. 11 ( )1 (0040. 0 )()( 212121 61 1 1 2 1 1 + =+ + = zzzzzz z sHzH z z s 滤波器的级联形式结构如图： 6、一低通数字滤波器满足如下条件： (1) 当HZF50时，衰减dB1； (2) 当HZF10时，衰减;40dB (3) 采样频率HZF100 0 =； 试利用双线性变换法，根据切比雪夫原型求出数字滤波器的系统函数。 解： 10 100/52/22 0 =FFTF ccc 10 2 100/102/22 0 =FFTF sss 因利用双线性变换法，故频率需进行预畸 57.107 20 2 2 2 = tg T tg T c c 73.302 10 2 2 2 = tg T tg T s s ss F T01. 0 100 11 0 = I 型切比雪夫低通滤波器的幅度平方函数为 )/(1 1 )( 22 2 cN jjC jH + = 由题意，所设计的数字滤波器指标，可变换为下述模拟指标： 1) 2010 2 (log20 2 tgjH 40) 1010 2 (log20 2 tgjH 由切比雪夫模拟滤波器特性有 )(1log10)(log20 22 c N CjH += 15 故有： 1) 20 102 10 102 (1log10 2 2 22 + tg tg CN 40) 20 102 10 102 (1l