2016_2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2椭圆学案苏教版.docx

2.2.1椭圆的标准方程1.了解椭圆标准方程的推导过程.(难点)2.会求椭圆的标准方程.(重点)3.能运用椭圆的标准方程处理一些简单的实际问题.基础初探教材整理椭圆的标准方程阅读教材P28P29例1部分，完成下列问题.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系b2a2c21.判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2b2c2.()(2)方程2x2y24表示的曲线不是椭圆.()(3)圆是椭圆的特殊形式.()(4)方程1(a0)，表示焦点在x轴上的椭圆.()【解析】(1).由椭圆方程的推导过程可知a2b2c2.(2).把方程2x2y24化为标准形式为1，易知其表示的曲线是椭圆.(3).由圆和椭圆的定义可知其错误.(4).当a22a，即a2时，方程1(a0)才表示焦点在x轴上的椭圆，否则不是.【答案】(1)(2)(3)(4)2.a5，c3，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为_.【解析】a5，c3，b225916，又焦点在y轴上，椭圆的方程为1.【答案】1质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过点A(，2)和点B(2，1). 【导学号：24830026】【精彩点拨】(1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解.【自主解答】(1)方法一：由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0).由题意得解得所以椭圆的标准方程为1.方法二：由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0).2a10，a5.又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.方法三：由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0).因为椭圆经过点(5,0)，所以a5，又因为椭圆的焦点为(4,0)和(4,0)，所以c4，所以b2a2c29，故所求椭圆的标准方程为1.(2)方法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0).依题意有，解得.故所求椭圆的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0).依题意有，解得，因为ab0，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为1.方法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有，解得.所以所求椭圆的标准方程为1.1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”.2.巧设椭圆方程.(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB).(2)与椭圆1有相同焦点的椭圆方程可设为1.再练一题1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点.【解】(1)由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，.故所求椭圆的标准方程为x21.(2)由题意得c2945，又已知椭圆的焦点在x轴上，故所求椭圆方程可设为1(0)，代入点A坐标得1.解得10或2(舍)，故所求椭圆的方程为1.与椭圆有关的轨迹问题如图221所示，圆x2y21上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP，P为垂足.M为直线PP上一点，且PMPP(为大于零的常数).当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？图221 【精彩点拨】设出点M和点P的坐标，根据PMPP找到二者的联系，用点M的坐标表示点P的坐标，利用点P在圆上代入可得点M的轨迹方程，讨论可得点M的轨迹.【自主解答】设M(x，y)，P(x0，y0)，PPx轴，且PMPP，xx0，yy0，即x0x，y0y. 点P(x0，y0)在圆x2y21上，xy1.把x0x，y0y代入上式得x21.当01时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当1时，点M的轨迹是圆；当1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆. 求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x，y)，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.再练一题2.已知点P(x0，y0)是椭圆1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程.【导学号：24830027】【解】设M(x，y)，则点P在椭圆1上，1.把代入1，得1，即y21为所求.探究共研型椭圆的定义及标准方程的应用探究1椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？【提示】平面内与两个定点F1，F2距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.即PF1PF22a(2aF1F2).探究2若点P是椭圆1(ab0)上的点，则PF1PF2的值为多少？【提示】 PF1PF22a.探究3在三角形PF1F2中，F1F2的长是多少？设F1PF2，结合余弦定理，PF1PF2能否用椭圆方程1(ab0)中的参数来表示？【提示】F1F22c.在三角形PF1F2中，由余弦定理可得F1FPFPF2PF1PF2cos (PF1PF2)22PF1PF2(1cos )，即4c24a22PF1PF2(1cos )，所以PF1PF2.探究4根据探究3的讨论，能把三角形PF1F2的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF1PF2和PF1PF2存在不等关系吗？【提示】 SPF1F2PF1PF2sin ，根据基本不等式PF1PF22a2.探究5设点F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则三角形PF1F2叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？ 【提示】要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决.(2016南通高二检测)已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上任意一点.(1)若F1PF2，求PF1F2的面积；(2)求PF1PF2的最大值.【精彩点拨】(1)在焦点三角形PF1F2中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解；(2)利用椭圆的定义和基本不等式可求PF1PF2.【自主解答】(1)由椭圆的定义可知，PF1PF220，在PF1F2中，由余弦定理，得F1FPFPF2PF1PF2cosF1PF2，即122PFPFPF1PF2.2，并整理，得PF1PF2.SPF1F2 PF1PF2sin.(2)由1可知，a10，c6.PF1PF220，PF1PF22100.当且仅当PF1PF210时，等号成立.PF1PF2的最大值是100.1.椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P到两焦点F1，F2的距离的和为常数2a，则已知点P到一个焦点的距离就可以利用PF1PF22a求出该点到另一个焦点的距离.2.椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.3.对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用Sabsin C把PF1PF2看成一个整体，运用公式PFPF(PF1PF2)22PF1PF2及余弦定理求出PF1PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量.再练一题3.(2016邯郸高二检测)椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则PF2_；F1PF2的大小为_.【解析】由椭圆标准方程得a3，b，则c，F1F22c2.由椭圆的定义得|PF2|2aPF12.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2，所以F1PF2120.【答案】2120构建体系1.设P是椭圆1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1PF2_.【解析】由标准方程得a225，2a10，由椭圆定义知PF1PF22a10.【答案】102.已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 _.【解析】c1，a2，b2a2c23.椭圆的方程为1.【答案】13.如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_.【解析】由于椭圆焦点在x轴上，即a3或6a3或6a0，n0，mn)，则椭圆方程为x21.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(六)椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.圆1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为_.【解析】设椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF14，由MF1MF22a10，得MF210MF11046.【答案】62.若a6，b，则椭圆的标准方程是_.【解析】椭圆的焦点在x轴上时，方程为1，在y轴上时，方程为1.【答案】1或13.(2016汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项.该椭圆的方程是_.【解析】PF1PF22F1F2248，2a8，a4，b2a2c216412，椭圆方程是1.【答案】14.过(3,2)点且与1有相同焦点的椭圆方程为_.【解析】与1有相同焦点的椭圆可设为1且k4，将(3,2)代入得：k6.【答案】15.把椭圆1的每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，则所得曲线方程为_. 【导学号：24830028】【解析】原方程化为221，所得曲线为x2y21.【答案】x2y216.椭圆4x29y21的焦点坐标是_.【解析】椭圆化为标准形式为1，a2，b2，c2a2b2，且焦点在x轴上，故为.【答案】7.方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是_.【解析】将方程化为1，由题意得解之得m1.【答案】mb0)，椭圆经过点(2,0)和(0,1)，故所求椭圆的标准方程为y21.(2)椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)，P(0，10)在椭圆上，a10.又P到它较近的一个焦点的距离等于2，c(10)2，故c8，b2a2c236.所求椭圆的标准方程是1.10.已知椭圆1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与1共焦点的椭圆的方程.【解】(1)把M的纵坐标代入1，得1，即x29.x3.即M的横坐标为3或3.(2)对于椭圆1，焦点在x轴上且c2945，故设所求椭圆的方程为1，把M点坐标代入得1，解得a215.故所求椭圆的方程为1.能力提升1.(2016绵阳高二检测)设P是椭圆 1上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则PF1PF2的最大值是_.【解析】由题意知：PF1PF22a8，所以PF1PF22216，当且仅当PF1PF2时取“”号，故PF1PF2的最大值是16.【答案】162.已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQPF2，那么动点Q的轨迹是_.【解析】如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF1PF22a为常数.又因为PQPF2，所以PF1PQ2a，即QF12a为常数.即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆.故Q的轨迹为圆. 【答案】圆3.(2016长沙高二检测)若F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且F1AF245，则AF1F2的面积为_.【解析】如图所示， F1F22，AF1AF26，由AF1AF26，得AFAF2AF1AF236.又在AF1F2中，AFAFF1F2AF1AF2cos 45，所以362AF1AF28AF1AF2，所以AF1AF214(2)，所以SAF1F2AF1AF2 sin 4514(2)7(1). 【答案】7(1)4.已知点P(6,8)是椭圆1(ab0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若0.试求(1)椭圆的方程.(2)求sinPF1F2的值.【解】(1)因为0，所以(c6)(c6)640，所以c10，所以F1(10,0)，F2(10,0)，所以2aPF1PF212，所以a6，b280.所以椭圆方程为1.(2)因为PF1PF2，所以SPF1F2PF1PF2F1F2yP80，所以PF1PF2160，又PF1PF212，所以PF24，所以sinPF1F2.2.2.2椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质.(重点)2.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.(难点)基础初探教材整理椭圆的几何性质阅读教材P31P33例1以上部分，完成下列问题.1.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点(a,0)，(0，b)(b,0)，(0，a)轴长长轴长2a，短轴长2b焦点(c,0)(0，c)焦距F1F22c对称性对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)离心率e(0e1)2.椭圆的离心率1.判断正误：(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆.()【解析】(1).椭圆1(ab0)的长轴长等于2a.(2).椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac，最小值为ac.(3).离心率e越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆.【答案】(1)(2)(3)2.椭圆1的离心率是_.【导学号：24830029】【解析】由方程可知a225，a5，c2a2b225169，c3，e.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型已知椭圆方程求其几何性质已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.【精彩点拨】把椭圆方程标准化利用离心率求m的值求a，b，c求性质【自主解答】椭圆方程可化为1.m0，m，即a2m，b2，c.由e得，m1.椭圆的标准方程为x21.a1，b，c.椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F1，F2；四个顶点分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.用标准方程研究几何性质的步骤将椭圆方程化为标准形式焦点位置求出a，b，c写出椭圆的几何性质再练一题1.求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 【解】把已知方程化成标准方程1，于是a4，b3，c，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e，两个焦点坐标分别是(，0)，(，0)，四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3).由椭圆的几何性质求方程(1)(2016徐州高二检测)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_.(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为_.【精彩点拨】解决问题的关键是根据已知条件求出a2 和b2.【自主解答】(1)设椭圆G的标准方程为1(ab0)，半焦距为c，则b2a2c236279，椭圆G的方程为1.(2)由已知从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.【答案】(1)1(2)1或1.1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法.2.根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程.再练一题2.(2016常熟高二检测)直线x2y20过椭圆1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为_.【解析】直线x2y20与x轴的交点为(2,0)，即为椭圆的左焦点，故c2.直线x2y20与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b1.故a2b2c25，椭圆方程为y21.【答案】y21求椭圆的离心率(1)椭圆1(ab0)的半焦距为c，若直线y2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为_. 【导学号：24830030】(2)(2016唐山高二检测)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，则椭圆的离心率为_. 【精彩点拨】(1)求出点P的坐标，利用点P在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率e的方程，解方程可得离心率.(2)在焦点三角形PF1F2中利用椭圆的定义与勾股定理得到a，b的关系式，可求离心率；或仿照(1)题的做法也可以求解.【自主解答】(1)依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有1，整理得b2c24a2c2a2b2，又因为b2a2c2，代入得c46a2c2a40，即e46e210，解得e232(32舍去)，从而e1.(2)方法一：设焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，b).在RtMF1F2中，F1FMFMF，即4c2b2MF，而MF1MF2b2a，整理，得3c23a22ab.又c2a2b2 3b2a.e21，e.法二：设M，代入椭圆方程，得1，即e.【答案】(1)1 (2)求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解.若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.再练一题3.(2016浏阳高二检测)点F为椭圆1(ab0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使VAOF为正三角形，那么椭圆的离心率为_.【解析】由题意，可设椭圆的焦点坐标为(c,0)，因为AOF为正三角形，则点在椭圆上，代入得1，即e24，得e242，解得e1.【答案】1探究共研型直线与椭圆的综合应用探究1已知直线ykxm和椭圆1(ab0)，如何判断直线与椭圆的位置关系？【提示】由得(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，设该二次方程的判别式为，若0，则直线与椭圆有两个交点；若0，则直线与椭圆有一个交点；若0，则直线与椭圆没有交点.探究2如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究1中得到的关于x的二次方程有什么关系？【提示】探究1中得到的关于x的二次方程(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标.探究3设直线与椭圆有两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，那么如何求线段AB的长和M的坐标？【提示】方法一：解方程(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，可得x1，x2，由ykxm可得y1，y2，即得A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标，然后利用两点间距离公式和中点坐标公式可求线段AB的长和M的坐标.方法二：根据韦达定理，采取“设而不求”思路解决问题.即 AB， 点M的坐标可直接利用韦达定理求解.上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题.已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.【自主解答】(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将ykx2代入y21中，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，由根与系数的关系得：x1x2，x1x2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考查，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.再练一题4.已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值与最小值.【解】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意，且a2，得c，b1，所求椭圆方程为y21.(2)设P(x，y)，由(1)知F1(，0)，F2(，0)，则(x，y)(x，y)x2y23x23x22，x2,2，当x0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2；当x2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.构建体系1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_.【解析】由题意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.【答案】12.已知椭圆1有两个顶点在直线x2y2上，则此椭圆的焦点坐标是_. 【导学号：24830031】【解析】直线x2y2过(2,0)和(0,1)点，a2，b1，c，椭圆焦点坐标为(，0).【答案】(，0)3.若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍.则m的值为_.【解析】将原方程变形为x21.由题意知a2，b21，a，b1.2，m.【答案】4.(2016厦门高二检测)已知椭圆1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_.【解析】设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则AF1c，AF2c，有2a(1)c，e1.【答案】15.当m取何值时，直线l：yxm与椭圆9x216y2144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点.【解】由消去y得，9x216(xm)2144，化简整理得，25x232mx16m21440，(32m)2425(16m2144)576m214 400.(1)当0时，得m5，直线l与椭圆无公共点. (2)当0时，得m5，直线l与椭圆有且仅有一个公共点.(3)当0时，得5m0，b0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为_.【解析】根据条件可知，且4a4，a，c1，b，椭圆的方程为1.【答案】15.已知椭圆的短半轴长为1，离心率00，a21，1a2，故长轴长2b0).由得由a2b2c2，得b232.故椭圆的方程为：1.【答案】17.椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_.【解析