人力资源分配数学建模论文.doc

数学建模论文 人力资源安排问题 摘要 本题的背景是在当今社会的企业中如何来实现人力资源分配，来完成不同的目标，我们这道题要解决的就是如何安排人力资源是项目最早完成，我们解决这道题的具体思路是，考虑该问题为指派问题，以消耗的最小总时间来作为目标函数，然后跟具体题意来找出约束条件，然后利用lingo软件进行编程计算，最后将得出的结果导入excel进行整理，给出最后答案。 针对问题1、2，首先根据问题，我们利用优化方法来建立目标函数，然后分别找出约束条件，使其满足题意，采用lingo软件变成计算得出最优解，并分析最优值，同时给出最后答案。由于问题2是在问题1的基础之上增加了一个约束条件，因此前两个问的模型基本一致。 针对问题3、4审校任务是要在翻译完成之后开始，因此问题3、4也可以采用问题1、2的思想来建立数学模型，然而问题3在求出结果之后，我们发现我们所要的结果与所求的结果存在一定误差，因此我们将对问题3的结果做人工处理，对G的工作任务作其局部调整，从此求得最优结果。而问题4是在问题3的基础之上加了一个约束条件，因此问题4的模型和处理方法基本一致。 关键词 指派问题 人力资源 lingo编程 问题重述在企事业单位，人力资源部门经常要根据当前情况把人员分配给即将开始的项目。一般地，对项目而言，越早完成越好；而对人力资源部门而言，在该项目上所花费的人力越少越好。现有一个项目，需要把一份中文资料翻译成英语、法语、日语、德语和俄语。已知A、B、C、D、E、F和G七个人翻译该资料所需要花费的时间如表1所示，且这七个人均表示可参加该项目。【注意：为了译文的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种译文的翻译工作。一个人在同一时间只能做一种译文的翻译工作。】表1. 七人五语种翻译用时表（单位：天）英语法语日语德语俄语A2151318B10414157C91416138D781194E841586F1246813G5168510试通过建立数学模型（而非枚举法）回答下述问题。问题1. 应该如何进行人力资源的安排使得该项目尽早完成？问题2. 在问题1中若规定每人最多承担一种译文的翻译工作，试求相应的最优人力资源安排方案。问题3. 接上级通知，为了保证翻译的质量，需要对翻译之后的译文进行审校且规定同一个语种的审校人和翻译者不能为同一人。显然，在这种新的要求下，该项目完成当且仅当所有的译文均审校完。已知这七人均表示可以参加审校工作，他们审校这五种译文的用时如表2所示。【注意：对于每个语种，只有当该语种的译文完全完成之后才能进行该语种译文的审校工作。为了译文的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种译文的审校工作。一个人在同一时间只能做一种译文的审校工作。】问：应该如何进行人力资源的安排使得该项目尽早完成？表2. 七人五语种审校用时表（单位：天）英语法语日语德语俄语A1131018B1048105C861096D671184E631585F1146710G412632问题4. 在问题3中若规定每人最多承担一种译文的翻译工作和另外一种译文的审校工作，试求相应的最优人力资源安排方案。 问题假设1.翻译任务可以同时进行，审校工作也可以同时进行。2.某个语种翻译任务一旦完成便可以进行审校，各语种间的工作进度互不影响。3.将人员和语言依次进行编号为1、2、3、 符号说明Xij：表示第i个人是否翻译第j种语言。Cij：表示由第i个人翻译第j种语言所需要的时间。M1：表示翻译所需的总时间。M2表示审校所需的总时间。Yij：表示第i个人是否审校第j种语言。Pij：表示由第i个人审校第j种语言所需的时间。T1：表示完成翻译的尽早时间，T2：表示完成审校的尽早时间。 问题分析 本题要求我们解决如何进行人力资源安排使得该项目尽早完成任务，也就是说我们如何分配才能使该项目完成所花费时间最少，因此我们将对该问题的求解转化为对完成该项目所需最少时间的求解，并考虑此问题为指派问题，我们设置了“0-1变量”来建立目标函数的最优规划模型，由题意，分别写出满足题意的约束条件，问题3,4为在问题1,2翻译完成之后为了确保质量，而增加了一个审校的过程，而审校的过程必须是在该种语言的翻译介素后才可以进行审校工作，然而我们所要考虑的是如何安排人力资源使得该项任务尽早完成，所以我们仍然可以采用问题1,2的模型与思路来解决问题3,4。 模型前的准备 经过我们的分析得出，我们所要解决的问题属于一类广泛指派问题，为了后文的计算方便我们现在此找出指派问题的算法，并将问题中所给的数据整理成矩阵的形式。 1.指派问题的算法 第一步；修正效益矩阵，使之变成每一行和每一列至少有一个0元素的缩减矩阵：1从效益矩阵的每一行元素减去各该行中最小元素；2再从所得缩减矩阵的没列减去各列的最小元素。 第二步；试制一个完全分配方案，它对应于不同行不同列只有一个0元素的缩减矩阵，以求得最优解；1如果得到分布在不同行不同列的N个元素，那么久完成了求解最优解的过程。结束。2如果所分布于不同行不同列中的0元素不够N个，则转下步。 第三步；做出覆盖所有0元素的最少数量的直线集合；1标记没有完成分配的行。2标记已标记行上所有未分配0元素所对应的列。3对标记的列中，已完成分配的行进行标记。4重复2.3直到没有可标记的0元素。5对未标记的行和已标记的列划线，就能得到所有0元素的最少数量的直线集合。 第四步；修改缩减矩阵，以达到每行每列至少有一个0元素的目的；1在没有直线覆盖的部分中找出最小元素。2对没有画直线的个元素都减去这个元素。3对划了横线和竖线交叉的个元素都加上这个最小元素，4对话了一根直线或横线的个元素保持不变。 第五步；转第二步 2.矩阵 翻译时间矩阵； 审校时间矩阵； 模型的建立 我们需要解决的问题是如何安排人力资源，经过观察得出该问题视为指派问题，但又不属于指派问题的标准形式，因此我们将此问题视为广泛指派问题，因此我们假设当 问题1第一个问让我们求解应该如何进行人力资源安排使得该项目尽早完成，我们首先建立一个目标函数：M1=min,我们通过对此目标函数的求解来求出满足尽早完成任务的人力资源合理安排，然后我们再建立一个求解几个数值的最大值函数，来确定完成项目的最早时间，最大值函数为,然后我们根据实际需求来确立约束条件，有题可知，该项目要求每种语言必须有人翻译且每种语言的翻译只能有一个人来完成，因此我们得出此约束条件为：此时我们可以得出问题1的数学模型： 问题2在问题1中若规定每人最多承担一种译文的翻译工作，试求相应的最优人力资源安排方案。由此得出问题2是在问题1的基础之上增添了一个约束条件，要求每人最多只可以承担一种语言的翻译而问题一种我们并没有对此问题的约束，而其他的解题思路和问题1相同，因此问题2我们只需在问题1的基础之上添加一个约束条件，此时我们就得出了问题二的数学模型 问题3与问题1道理相同，我们通过求完成审校的总时间最小来求尽早完成任务的时间，进而来安排人力资源，首先我们建立假设当 然后我们建立目标函数优化模型；M2=min通过对此模型的求解我们可以求出满足完成该项任务所需要的最短总时间，同时也可以求出完成审校每一种语言的时间，在建立一个求解最大值的函数来求解审校时所花费的最长时间：,然后我们再根据实际问题找出问题的约束条件，同样每种语言必须有人审校，而且只能由一个人审校完成同一种语言，此时有约束，然而为了审校的准确性，规定同一个语种的审校人和翻译者不能为同一人，由此我们又可以获得一个约束条件；Xij*Yij=0；综上所述我们可以得出问题3的优化模型； 问题4是在问题3的基础之上做的改进，与问题二的道理相同，就是在问题3中增加一个约束条件，使得每个人最多只承担一种语言的审校任务，因此我们可以得出约束条件为。综上所述我们总结出问题4的模型为 模型的求解 我们掌握了指派问题的算法，并应用lingo软件，将我们所建立的数学模型一次进行编程，分别求出每个问的结果，并将所求出的结果，输入到excel里进行整理，然后将其结果用表格的形式给出。 问题1；我们采用lingo将此模型进行编程计算，由此可以的出问题1的结果，并将其结果输入excel进行整理；英语法语日语德语俄语A10010B00000C00000D00001E01000F00100G00000 我们可以得出结果为A翻译英语和德语，一共需要3天，D翻译俄语，需要4天，E翻译法语，需要4天，F翻译日语，需要6天，如此安排可以得出总的时间最小M1=17，然而每个人是同时开始开始翻译的，因此花费时间最长的就是最后完成的，也就是说此时日语是最后完成的，需要6天，T1=6，所以该项任务如此安排人力资源，6天就可以完成任务。 问题2的结果英语法语日语德语俄语A00010B01000C00000D00001E00000F00100G10000 我们根据模型计算求得；A翻译德语，需要1天，B翻译法语，需要4天，D翻译俄语，需要4天，F翻译日语，需要6天，G翻译英语，需要4天，如此安排人力资源所需最小总时间为19天，M1=19，和问题1道理相同，也是每个人同时开始翻译，因此最早完成任务的时间应该等于花费时间最长的人，T1=6天既如此安排人力资源，最快可以在6天完成该项任务。 问题3的结果英语法语日语德语俄语A00000B00000C00000D00000E00000F01000G10111由于问题3是接着问题1而来的，即每个人可以从事多种语言的翻译，也可以从事多种语言的审校工作。我们通过初步计算，可以得出结果为；F审校日语，需要4天，G翻译英语、日语、德语、俄语分别需要4天、6天、3天、2天，即G审校的总时间为15天，我们所要达成的目标是让该项目尽早完成，因此我们将G的工作任务作其调整，我们通过观察，可以得出，当德语翻译完成后，就可以让G来审校德语，当俄语翻译完成后，刚好德语的审校工作完成，此时可以让G去从事俄语的审校工作，当日与翻译完成时，俄语的审校工作也同时完成，此时我们发现审校日语用时最短的人还是G，因此我们继续让G去做日语的审校工作，而D和E审校英语的时间都是4天，因此我们将G审校英语的任务取消，将此任务交给D或E来完成。此时是可以最快完成该项任务的安排，共需要12天，调整后的人力资源安排表。英语法语日语德语俄语A00000B00000C00000D10000E00000F01000G00111英语法语日语德语俄语A00000B00000C00000D00000E10000F01000G00111以上两种人力资源的安排方式均可以实现我们的目标，使其完成该项任务所用时间最短M2=21，T2=T=翻译日语的时间+审校日语的时间=6+6=12天即完成该项任务在12天可以完成。 问题4的结果英语法语日语德语俄语A10000B00100C00000D00000E00001F01000G00010我们通过计算可以得出结果；A审校英语，需要1天，B审校日语，需要8天，E审校俄语，需要5天，F审校法语，需要4天，G审校德语，需要3天。总用时为最小21天，最快完成该项任务的时间T=翻译日语的时间+审校日语的时间=6+8=14天 模型的评价、改进及推广1.模型的评价 优点；该模型能够合理地安排人力资源，不但可以是任务最早完成，而且能够实现消耗的总时间最小，该模型思路清晰，容易让更多的人接受。 缺点；我们利用总的最小时间来做目标函数，导致部分问题直接求得的解不是最优解，因而需要做局部调整。2. 模型的改进 因为原模型在部分地方不能直接求出我们所要求的的最优解，因此我们将原模型的目标函数做一下调整，将目标函数改为； 而且还需要我们考虑的是一个人不能从事太多项任务，为了避免一个人的工作时间大于完成一种语言的翻译和审校时间和。3. 模型的推广 我们可以将此模型应用到企事业当中，帮助人事部门，完成人力资源的安排与管理工作，使企事业的人力资源成本有所降低，实现人力资源管理的最优化。 参考文献1.运筹学 胡运权主编 北京 清华大学出版社2.优化建模lindo与lingo软件 谢金星主编 北京 清华大学出版社附件问题1lingo程序sets: people/1.7/; language/1.5/; Links(people,language): t,x;endsets data:t=2 15 13 1 810 4 14 15 79 14 16 13 87 8 11 9 48 4 15 8 612 4 6 8 135 16 8 5 10;enddatamin=sum(links: x*t);for(language(j):sum(people(i):x(i,j)=1);for(people(i):sum(language(j): x(i,j)=2);for(links:bin(x);End运算结果如下图 Global optimal solution found. Objective value: 17.00000 Objective bound: 17.00000 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1) 1.000000 2.000000 X( 1, 2) 0.000000 15.00000 X( 1, 3) 0.000000 13.00000 X( 1, 4) 1.000000 1.000000 X( 1, 5) 0.000000 8.000000 X( 2, 1) 0.000000 10.00000 X( 2, 2) 0.000000 4.000000 X( 2, 3) 0.000000 14.00000 X( 2, 4) 0.000000 15.00000 X( 2, 5) 0.000000 7.000000 X( 3, 1) 0.000000 9.000000 X( 3, 2) 0.000000 14.00000 X( 3, 3) 0.000000 16.00000 X( 3, 4) 0.000000 13.00000 X( 3, 5) 0.000000 8.000000 X( 4, 1) 0.000000 7.000000 X( 4, 2) 0.000000 8.000000 X( 4, 3) 0.000000 11.00000 X( 4, 4) 0.000000 9.000000 X( 4, 5) 1.000000 4.000000 X( 5, 1) 0.000000 8.000000 X( 5, 2) 1.000000 4.000000 X( 5, 3) 0.000000 15.00000 X( 5, 4) 0.000000 8.000000 X( 5, 5) 0.000000 6.000000 X( 6, 1) 0.000000 12.00000 X( 6, 2) 0.000000 4.000000 X( 6, 3) 1.000000 6.000000 X( 6, 4) 0.000000 8.000000 X( 6, 5) 0.000000 13.00000 X( 7, 1) 0.000000 5.000000 X( 7, 2) 0.000000 16.00000 X( 7, 3) 0.000000 8.000000 X( 7, 4) 0.000000 5.000000 X( 7, 5) 0.000000 10.00000 问题2增加了约束条件sets: people/1.7/; language/1.5/; Links(people,language): t,x;endsets data:t=2 15 13 1 810 4 14 15 79 14 16 13 87 8 11 9 48 4 15 8 612 4 6 8 135 16 8 5 10;enddatamin=sum(links: x*t);for(language(j):sum(people(i):x(i,j)=1);for(people(i):sum(language(j): x(i,j)=1);for(links:bin(x);End运算结果如下图 Global optimal solution found. Objective value: 20.00000 Objective bound: 20.00000 Variable Value Reduce cost X( 1, 1) 0.000000 2.000000 X( 1, 2) 0.000000 15.00000 X( 1, 3) 0.000000 13.00000 X( 1, 4) 1.000000 1.000000 X( 1, 5) 0.000000 8.000000 X( 2, 1) 0.000000 10.00000 X( 2, 2) 1.000000 4.000000 X( 2, 3) 0.000000 14.00000 X( 2, 4) 0.000000 15.00000 X( 2, 5) 0.000000 7.000000 X( 3, 1) 0.000000 9.000000 X( 3, 2) 0.000000 14.00000 X( 3, 3) 0.000000 16.00000 X( 3, 4) 0.000000 13.00000 X( 3, 5) 0.000000 8.000000 X( 4, 1) 0.000000 7.000000 X( 4, 2) 0.000000 8.000000 X( 4, 3) 0.000000 11.00000 X( 4, 4) 0.000000 9.000000 X( 4, 5) 1.000000 4.000000 X( 5, 1) 0.000000 8.000000 X( 5, 2) 0.000000 4.000000 X( 5, 3) 0.000000 15.00000 X( 5, 4) 0.000000 8.000000 X( 5, 5) 0.000000 6.000000 X( 6, 1) 0.000000 12.00000 X( 6, 2) 0.000000 4.000000 X( 6, 3) 1.000000 6.000000 X( 6, 4) 0.000000 8.000000 X( 6, 5) 0.000000 13.00000 X( 7, 1) 1.000000 5.000000 X( 7, 2) 0.000000 16.00000 X( 7, 3) 0.000000 8.000000 X( 7, 4) 0.000000 5.000000 X( 7, 5) 0.000000 10.00000 问题3的程序sets: people/1.7/; language/1.5/; Links(people,language): p,y;endsets data:p=1 10 13 1 810 4 8 10 58 6 10 9 66 7 11 8 46 3 15 8 511 4 6 7 104 12 6 3 2;enddatamin=sum(links: y*p);for(language(j):sum(people(i):y(i,j)=1);for(people(i):sum(language(j): x(i,j)=2);for(links:bin(y);y(1,1)=0;y(1,4)=0;y(4,5)=0;y(5,2)=0;y(6,3)=0;End结果如下 Global optimal solution found. Objective value: 19.00000 Objective bound: 19.00000 Variable Value Reduced Cost Y( 1, 1) 0.000000 0.000000 Y( 1, 2) 0.000000 10.00000 Y( 1, 3) 0.000000 13.00000 Y( 1, 4) 0.000000 0.000000 Y( 1, 5) 0.000000 8.000000 Y( 2, 1) 0.000000 10.00000 Y( 2, 2) 0.000000 4.000000 Y( 2, 3) 0.000000 8.000000 Y( 2, 4) 0.000000 10.00000 Y( 2, 5) 0.000000 5.000000 Y( 3, 1) 0.000000 8.000000 Y( 3, 2) 0.000000 6.000000 Y( 3, 3) 0.000000 10.00000 Y( 3, 4) 0.000000 9.000000 Y( 3, 5) 0.000000 6.000000 Y( 4, 1) 0.000000 6.000000 Y( 4, 2) 0.000000 7.000000 Y( 4, 3) 0.000000 11.00000 Y( 4, 4) 0.000000 8.000000 Y( 4, 5) 0.000000 0.000000 Y( 5, 1) 0.000000 6.000000 Y( 5, 2) 0.000000 0.000000 Y( 5, 3) 0.000000 15.00000 Y( 5, 4) 0.000000 8.000000 Y( 5, 5) 0.000000 5.000000 Y( 6, 1) 0.000000 11.00000 Y( 6, 2) 1.000000 4.000000 Y( 6, 3) 0.000000 0.000000 Y( 6, 4) 0.000000 7.000000 Y( 6, 5) 0.000000 10.00000 Y( 7, 1) 1.000000 4.000000 Y( 7, 2) 0.000000 12.00000 Y( 7, 3) 1.000000 6.000000 Y( 7, 4) 1.000000 3.000000 Y( 7, 5) 1.000000 2.000000 sets: people/1.7/; language/1.5/; Links(people,language): p,y;endsets data:p=1 10 13 1 810 4 8 10 58 6 10 9 66 7 11 8 46 3 15 8 511 4 6 7 104 12 6 3 2;enddatamin=sum(links: y*p);for(language(j):sum(people(i):y(i,j)=1);for(people(i):sum(language(j): y(i,j)=1);for(links:bin(y);y(1,4)=0;y(4,5)=0;y(5,2)=0;y(6,3)=0;y(7,1)=0;End问题4的结果如下Global