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麦克斯韦方程组超定问题的解释刘长礼（E-Mail: LIUCL78）（北京应用物理与计算数学研究所，北京，100094）摘要：麦克斯韦方程组有六个未知量，八个方程，是超定方程组。对于超定问题一般这样解释：认为两个散度方程是不独立的，只需初始时刻满足即可，之后自动满足。所以计算电磁学中只求解旋度方程，而不求解散度方程。文中指出这种解释有一个循环逻辑缺陷，从而导致此种解释不正确；在计算电磁学中两个散度方程必须求解。推广的线性相关概念用以解释偏微分方程超定问题；在这个推广的线性相关定义下，原来众多“表面”超定方程都变成了适定方程，避免了一些歧义。关键词：麦克斯韦方程组；超定；散度COMMENTS ON OVER-DETERMINATION OF MAXWELLS EQUATIONSLIU ChangLiInstitute of Applied Physics and Computational MathematicsAbstract: Maxwells equations seem overdetermined, which have six unknowns and eight equations. It is generally believed that Maxwells divergence equations are redundant, and both equations are thought as initial conditions of curl ones. Because of this explanation, two divergence equations usually are not solved in computational electromagnetics. A circular logical fallacy of this explanation is found, and two divergence equations cannot be ignored in computational electromagnetics, which are not redundant, but fundamental. The definition of differential linear dependence is employed to explain over-determination of Maxwells equations. In the generalized definition, several overdetermined equations become well-determined ones, which avoid some ambiguities. This paper in English can be referred to arXiv:1002.0892.Key words: Maxwells equations; over-determination; divergence真空中麦克斯韦方程组1是下式(1a-d)：其中B是磁感应强度，E是电场强度，这两个量是未知量。J是电流强度密度，是电荷密度，这两个量是已知量。是电磁系数。很显然这个方程组有6个未知量，8个方程，方程超定。人们一般采用Stratton1解释来处理此方程超定问题。对方程(1a,1b)两边分别求散度并应用电荷连续性方程（）就能得到 (2)貌似有如下结论：如果某初始时刻t0，方程(1c,1d)成立；那由式(2)可知在此后任意时刻tt0，(1c,1d)都成立。也就是可以把(1c,1d)看成(1a,1b)的初始条件1，从而两个散度方程是不独立的。在这种解释中把(2)式看成是旋度方程的推论。众多文献中都有这个解释，我能查到最早的文献就是Stratton1于1941年著Electromagnetic Theory，所以称之为Stratton解释。但这个解释内部逻辑关系有些缺陷，下面我就来指出此点。1循环逻辑缺陷麦克斯韦方程组是双旋度散度体系。我先讨论单旋度散度体系，然后可以很自然地推广到麦氏方程组。 (3)其中u是未知量，,S是已知源函数。其中要求div S=0，这是相容性条件。需要注意：div S=0不是(3b)的推论，是需要额外满足的条件；div S=0中的等号不是自动成立的，比如取S=r（非零常数是为了平衡等号两边量纲而引入），则div S= div r=30；只不过此时式(3)无解罢了。如果认为相容性条件（div S=0）是旋度方程(3b)的推论且自动成立，则其中必有循环逻辑；就是旋度方程(3b)解存在性要求相容性条件（div S=0）事先成立，如果再由(3b)推导出0div(curl u)=div S = div S=0，自然是循环逻辑。所以相容性条件（div S=0）不是(3b)的推论，是需要额外满足的条件；下面将用到这个结论。根据上面的讨论，很容易看出麦氏方程的相容性条件就是方程式(2)。大家要清楚地看到：Stratton解释是建立在麦氏方程解存在基础之上的。比如我们把方程变成，则。这与方程组(1)的相容性条件(2)相矛盾。这个矛盾在根源就是Stratton解释存在的前提之一是：方程组(1)的解必须存在。而当0时，方程组(1)的解不存在（除了t=t0外），这样Stratton解释就不存在了。同时我们可以很清楚地看到：如果只要求两散度方程(1c,1d)初始时刻t0成立，则只能保证t0时刻方程组(1)解的存在；不能保证tt0时解存在。现在看Stratton解释的内在循环逻辑缺陷。我们需要注意到麦氏方程解存在的条件之一是要求相容性条件(2)中的等号“=”成立。Stratton假设麦氏旋度方程解存在（即已假设相容性条件(2)成立），然后他又由两个旋度方程推导出相容性条件(2)；也就是说Stratton事先用了与相容性条件(2)等价的假设，然后再次推导出相容性条件(2)，并且认为相容性条件(2)是旋度方程的推论。这样的循环逻辑显然是错误的。与单旋度散度体系类似，相容性条件(2)不是自动成立的。然而Stratton忽略了旋度方程解存在性条件，并认为相容性条件(2)是旋度方程(1a,1b)的推论而自动成立，这是循环逻辑错误。正确的逻辑是：两个散度方程(1c,1d)在任意tt0时刻（不能只是初始时刻t0）成立和电荷连续性方程成立是确保相容性条件(2)成立的条件，进而确保了两个旋度方程(1a,1b)解的存在性。既然麦氏方程组解存在性要求两散度方程全时域（tt0）成立，那么Stratton解释的结论（只要两散度方程初始时刻t0成立，则以后任意时刻tt0都成立）就不对了。因此计算电磁学中不求解两个散度方程的做法是没有理论基础的，两个散度方程不能省略不解。2超定问题解释然而麦氏方程组是超定的，这也是一个事实。如何解释这种超定性是一个需要考虑的问题。Jiang2在他的文章中引入哑元来说明麦氏方程组是适定的，而非超定。在Jiang2的文章中，他引入一个哑元来说明式(3)是适定的（在这里我只是简略叙述他的论证，详细过程请参考他的论文）。 (4)方程组(4)中已引入哑元，很容易得到这个哑元的控制方程是，在零值边条件下，这个方程只有零解，从而引入哑元对方程(3)未做任何改变。然而方程组(4)有四个未知量，四个方程是适定的。由于方程组(3)和(4)是等价的，所以Jiang认为方程组(3)是适定的。他认为方程组(3)和(4)是等价的，进而认为可以将式(4)的“适定”性质传递到式(3)，从而认为方程组(3)也是“适定”的。然而这有一个缺陷：我也可以认为这个等价性将式(3)的“超定”性质传递给式(4)，从而认为(4)式是超定的。这显然是个悖论。由于存在缺陷，虽然Jiang的结论是对的，但解释不可靠。可以用下面的办法来解释之。现有一阶线性偏微分方程组 (5)其中是未知量，是非齐次项，是线性系数。令。下面先给出两个定义。定义I：如果存在不全为0的系数使得成立，则称偏微分方程(5)是线性相关的。一般说方程组超定也都是在这个意义下的超定。定义II（微分线性相关）：如果存在不全为0的系数（）使得成立，则称方程组(5)微分线性相关。显然如果，则定义II就回到了定义I。对于方程组(3)，由于有恒等式，依照定义II，3个旋度分量方程是线性相关的，那么方程组(3)就是适定的，而不是超定的。对于麦氏方程，我们有恒等式，在定义II中8个麦克斯韦方程中独立的方程个数变成了6个，是适定的。麦氏方程组超定的原因是两个恒等式。3计算电磁学讨论计算电磁学中，有些格式，比如时域有限差分（FDTD），只求解两个旋度方程，而不求解散度方程。根据上面的讨论，这种做法是没有任何理论根据的。所以麦氏方程组的四个方程都应该求解（或者等价求解：是指不依靠Stratton解释，而依靠计算方法的特别设计使散度方程自动满足），下面根据这个原则做些原则性讨论。a) 不能够自动满足div B=0, div D=0并且只求解旋度方程的格式。应弃用。b) 能够自动满足div B=0, div D=0并且只求解旋度方程的格式。这类格式适用于没有电荷源的电磁波传播，且须在均匀各向同性介质中。通过电磁场纵、横分解可以适用于非零电荷密度情形。c) 求解全部麦氏方程组的格式，比如Jiang的格式2。适用于各种情形。d) 还有一类方法就是将麦氏方程组升级到二阶，比如文献3，这类方法也不解两个散度方程；这也是不对的，证明过程存在与上面类似的逻辑缺陷。在文献3中，将式(Ricci-18)带入(Ricci-8)而得到(Ricci-19)，作者忽略了在这一步他已经使用了div D=对全时空都成立这一条件；最后还说(Ricci-25)中只需要高斯定律初始时刻满足即可。既然证明过程中用了div D=对全时空都成立，那么就不可能得到高斯定律只需要初始时刻满足即可之类的结论。4结论与讨论本文首先指出了Stratton解释存在循环逻辑错误：他事先假设相容性条件(2)成立（麦氏方程组解存在要求；其实两个散度方程(1c,1d)在任意时刻成立和电荷连续性方程成立是确保麦氏旋度方程解存在的条件），然后他又推导出相容性条件(2)，并把它当成旋度方程的推论；这是循环逻辑错误。因此计算电磁学中忽略两个散度方程的做法就失去了理论基础。两散度方程应该算是基本方程，需要求解。那种认为电荷连续性方程可以由麦氏方程组导出的看法很显然也是错的。推广的线性相关定义II用来解释超定问题。解存在且唯一的、定义I下超定方程组（比如单旋度散度方程，麦克斯韦方程，应力应变形式弹性力学平衡方程，带坐标条件的爱因斯坦引力场方程，带规范条件的Yang-Mills方程），在定义II下均成为适定的。下面三个待证命题表面上显然正确，但证明却十分麻烦。如果它们是正确的，那在偏微分方程领域，定义II比定义I更合适。 假设线性偏微分方程组(5)的解存在、唯一，且在定义I意义下超定；那么方程组(5)必在定义II意义下适定。 假设线性偏微分方程组(5)的解存在，且在定义II意义下欠定，在定义I下适定；那么方程组(5)的解必定不唯一。 假设线性偏微分方程组(5)在定义II意义下超定，则其无解。参考文献1 Stratton JA. Electromagnetic Theory M. New York: McGraw-Hill Book Company, 1941:1-62 Jiang BN, Wu J, Povinelli LA.