实用数值计算方法-5-数值积分.ppt

计 算 方 法,授课老师：聂德明 仰仪北楼606,计量测试工程学院,Numerical Method,5 数值积分与微分,数值积分问题 插值型求积公式 复化求积公式,预备知识,牛顿莱布尼兹公式 如果函数f (x)在区间a, b上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿莱布尼兹公式,来求得定积分。,预备知识,积分中值定理 若f是a, b上的连续函数，则存在a,b，使,预备知识,广义积分中值定理 若f在a, b上连续，g在a,b上可积，且g(x)在a, b 上不变号，存在a,b，使,预备知识,介值定理 设函数y=f(x)在a, b上连续，介于f(a)与f(b)之间， 则存在a,b，使 f() =,数值积分问题,牛顿莱布尼兹公式,找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示,原函数表达式过于复杂,f(x)是由测量或计算得到的数据表,预备知识,积分中值定理 若f是a, b上的连续函数，则存在a,b，使,积分 - 代数,y,y=f(x),x,b,a,o,xk+1,xk,xk-1,数值积分问题,数值积分问题,xk为求积节点，Ak为求积系数,机械求积法,插值型,外推型,插值型积分公式,插值型积分公式,定义 设有计算 的求积公式,如其求积系数 ，则 称此求积公式为插值型求积公式。,插值型积分公式,两点公式 x0=a, x1=b,梯形公式：,梯形公式,x0,x1,y=f(x),L1(x),插值型积分公式,插值型积分公式,三点公式 x0=a, x1=(a+b)/2, x2=b,辛普生公式：,辛普生公式,x0,x2,x1,y=f(x),L2(x),插值型积分公式,插值型积分公式,定义 如果一个求积公式(a)对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但至少对一个m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。,定理 对于求积公式(a)具有m次代数精度的充分必要条件为该公式对f(x)=1, x, xm 精确成立，而对f(x)=xm+1，不精确成立。,插值型积分公式,确定以下求积公式的代数精度,插值型积分公式,插值型积分公式,n+1个求积节点的插值型求积公式的代数精度至少为n；,插值型积分公式,n+1个求积节点的插值型求积公式的代数精度至少为n；,如果(a)式的代数精度为n，则(a)式必是插值型。,插值型积分公式,梯形公式的截断误差,预备知识,广义积分中值定理 若f在a, b上连续，g在a,b上可积，且g(x)在a, b 上不变号，存在a,b，使,插值型积分公式,梯形公式的截断误差,复化积分公式,梯形公式的截断误差,辛普生公式的截断误差,复化积分公式,复化求积方法,等分求积区间，比如取步长 ，分a, b为n等分，分点为 ,k = 0, 1, 2, n,2. 在区间 xk, xk+1上求,3. 取和值 ，作为整个区间上的积分近似值,复化积分公式,复化梯形公式,复化积分公式的截断误差,复化梯形公式,预备知识,介值定理 设函数y=f(x)在a, b上连续，介于f(a)与f(b)之间， 则存在a