数学实验》课程使用指导书.doc

螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羄袆莃蚅螆膅莃莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀蒇莆袀袆蒆蒈蚂膄蒅薁袈膀蒄螃蚁肆蒃蒃羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒁蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螆袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚅衿羈艿莄蚁羄芈薇羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羄袆莃蚅螆膅莃莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀蒇莆袀袆蒆蒈蚂膄蒅薁袈膀蒄螃蚁肆蒃蒃羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒁蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螆袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚅衿羈艿莄蚁羄芈薇羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羄袆莃蚅螆膅莃莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀蒇莆袀袆蒆蒈蚂膄蒅薁袈膀蒄螃蚁肆蒃蒃羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒁蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螆袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚅衿羈艿莄蚁羄芈薇羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羄袆莃蚅螆膅莃莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈 数学实验课程实验指导书2006-4-29目录实验一、微积分基础 3实验二、怎样计算 5实验三、最佳分数近似值 6实验四、数列与级数 7实验五、素数 8实验六、概率 9实验七、几何变换 11实验八、天体运动 13实验九、迭代（一）方程求解 15实验十、寻优 16实验十一、最速降线 18实验十二、迭代（二）分形 20实验十三、迭代（三）混沌 21实验十四、密码 22实验十五、初等几何定理的机器证明 23附表（实验报告） 24实验一、微积分基础一、实验目的及意义：1、熟悉Mathematic软件常见函数图形 2、通过作图，进一步加深对函数的理解，观察函数的性质 3、构造函数自变量与因变量的对应表，观察函数的变化。二、实验内容：11函数及其图象12数e13 积分与自然对数14调和数列15双曲函数三、实验步骤1.开启软件平台Mathematics ，开启Mathematics编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会） 1、1函数及图形 (1)在区间-0.1,0.1上作出 y = sin(x)/x 的图象,观察图象在 x = 0 附近的形状 (2)在同一坐标系内作出函数y = sin(x) 和它的展开式的前几构成的多项式函数y = x-x3/3!,y = x-x3/3!+x5/5! . . . 的图象,观察这些多项式函数图象对 y = sin x 的图象逼近的情况.(3)分别取n =10,20,画出函数 y = sin(2k-1)x/(2k-1),k=1,2,.,n求和 在区间-3PI,3PI上的图象.当N 趋向无穷时函数趋向什麽函数?(4)别取n = 5,10,15, 在同一坐标系内作出函数f(x) = sin x 与p(x) = x * (1-x2/PI2)*(1-x2/(22*PI2)*.*(1-x2/n2*PI2)在区间-2PI,2PI上的图象,观察 p(x) 图象对 y = sin x的图象逼近的情况.1、2数e 观察当n趋于无穷大时数列an=(1+1/n)n和An=(1+1/n)n+1的变化趋势:（1） n=10m,m=1,2,. . . ,7时的值,an,An 观察变化趋势.（2） 在同一坐标系内作出三个函数地图象y=(1+1/10x)10x , y=(1+1/10x)10x , y=e观察当 x 增大时图象变化趋势（3） 计算 e 的精确值.1.3积分与自然对数 1）计算1/x的大和及小和以及两者的平均，观察变化趋势。 2）在同一坐标内作出 Sx 和 lnx 的图象。1.4调和数列1）、在同一坐标内作出点集（n，H（n）连线和lnx的图象。 2）、在同一坐标内作出C(n)=H(n)-ln (n)和H(n)-ln (n+1)，观察C(n)变化趋势15双曲函数1）、在同一坐标内作出u=1.5时cht和y=ax2 +1的图象。 2）、在同一坐标内作出u=0.1,0.01,0.001,.时cht和y=ax2 +1的图象。 实验二、怎样计算一、实验目的及意义：1、用现代技术实现的近似值的计算。 2、掌握计算的几种方法二、实验内容：21数值积分法22泰勒级数法23 蒙特卡罗方法三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会） 21数值积分法.梯形公式：S=(b-a)y(0)+y(1)+y(2)+.+y(n)-y(0)/2-y(n)/2/n其中，a,b为积分区间，yi为函数在a+i(b-a)/n的值。辛普森公式(Simpson)：S= (b-a)(y(0)+y(n)+2(y(1)+y(2)+.+y(n-1) +4(y(1/2)+y(3/2)+y(n-1/2)/(6n)(1)对不同N，用梯形公式和辛普森公式计算Pi的近似值。(2)对不同的N=1000，10000，100000，。，观察用梯形公式和辛普森公式计算Pi的误差。(3)用梯形公式和辛普森公式计算s单位圆面积22泰勒级数法用反正切函数的泰勒级数arctan(x)= x-(x3)/3+(x5)/5-.(-1)(k-1)x(2k-1)/(2k-1)+.计算pi。其中xn 表示x的n次方：pi= 16arctan(1/5)-4arctan(1/239).这称为Maqin公式23 蒙特卡罗方法1）取不同的n做实验，将所得的的近似值记录下来，与已知的的值比较2）请尝试设计一个方案，用以计算机模拟蒲丰投针法实验。得出的近似值实验三、最佳分数近似值一、实验目的及意义：1、掌握怎样用分数近似值去对给定的无理数作最佳逼近。二、实验内容：31 分数对无理数的最佳逼近 32乐音的频率比33实数的分数展开34计算对数值35二元一次不定方程的整数解三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会） 31分数对无理数的最佳逼近1） Pi分母q依次取遍1到100 000的最佳逼近分数。对每个分母q，取p=作为分子得到一个最接近Pi的分数p/q2）上述分数中比较精确者32乐音的频率比请自己用C语言将所给的频率产生乐音,如TC2.0 中的sound(a),a为频率。33实数的分数展开1)输入展开数（可用缺省值pi)及输入展开个数，当展开数小数部分少时，展开个数也应小。(1)这些分数 是否为最佳逼近的近似值；(2)计算相临两个渐进分数之差的分子。2)利用连分数展开重做练习2。34计算对数值1)用辗转相除法求lg2的前几个渐近分数，展开成小数近似值并估计他们的误差，将所得结果与练习四的结果作比较2) 用辗转相除法求LogbN的前几个渐进分数，展开成小数并估计它们的误差35二元一次不定方程的整数解问题: 设a,b,c是整数,求二元一次方程ax+by=c的整数解.( a,b,c可以自己选择)实验四、数列与级数一、实验目的及意义：1、用计算机图示的方法去寻找数列的规律及其极限状态的性质 2、加深对极限概念的理解，进一步理解无穷小的概念和收敛速度问题二、实验内容：41 Fibonacci 数列42调和级数三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）41 Fibonacci 数列1）分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci数列的折线图，考察其性质。2）分别取不同的N,用直线去拟合数据(n,log(Fn),n=1,2,3,., N, 由此求Fn的近似表示 :( Log(Fn)=a+b*n,观察其线性项的系数b与黄金分割数0.618.的联系。3）证明:公式8不是Fibonacci 数列通项(推荐使用c=2.3606794）公式9是Fibonacci 数列通项42调和级数1）取充分大的N，观察调和级数的折线图，与做比较，谁的发散速度快2）对充分大的一系列，计算，猜测当趋于无穷的极限，更一般地趋于无穷的极限是什么？反过来，固定，让趋于无穷，趋于无穷的速度是什么？得出当趋于无穷的极限阶。3）用表示不小于的最小整数 （1）对，计算，对每个，设，则的范围是？ （2）对每个，另是使得成立的最大整数，我们记为，试计算比值，我们可以得到什么结果，当趋于无穷，关于的阶是多大？由此，关于的极限阶是多少？实验五、素数一、实验目的及意义：1、探讨素数懂得规律及相关的某些有趣问题，掌握几个生成素数的公式二、实验内容：51 素数的判别与求解52生成素数的公式5。3素数的分布三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）51 素数的判别与求解1）已知前n个素数，按从小到大的顺序排列为，计算是否都是素数，如不是，是否含有不同于的因子。以20为例。2）利用Eratosthenes 筛选法，通过计算机编程求10000以内的所有素数。3）利用试除法，通过计算机编程求10000以内的所有素数。比较那一个更有效4）请输入n(1n1001) 观察m*n-1被n整除的余数d (m(n-1)d modn)5）判断Mersenne数M7和M11是否是素数.6）请输入n (1n501 ) 判断那些Mersenne数Mn=2n-1是素数.52生成素数的公式1）对n=1,.,1000计算公式一： M=n2+n+41.它们是否都给出素数？在10000以内的素数中，由公式一：M=n2+n+41给出的占多少？同样讨论公式二：M=n2-79n+1601和公式三：M=6n2+6n+31.5.3素数的分布1）将素数从小到大排序P1=2,P2=3,.用dn=Pn+1-Pn表示相邻的素数间的间隔.计算d1,d2,.,dn并画图2）在二维坐标平面上标出点列(n,(n),n=1,2,.,N。观察(n)趋于无穷的趋势，并和函数y=x,以及y=(x)1/2比较。类似观察(n,(n)/(x)1/2),以及(n,(n)/n),(n,n/log(n),和(n,n/(n)。3）对任意二到一百万之间一整数n,，计算(n),n/log(n),n/(log(n)-1.08366),看看哪个更接近(n)。实验六、概率一、实验目的及意义：1、将随机试验可视化，直观理解概率论中的一些基本概念，通过观察和分析实验结果来加深对概率及随机变量知识理解 2、初步体验随机模拟方法二、实验内容：61 概率的古典定义62概率的统计定义63二项分布与Poission分布64正态分布6.。5第一反正弦律三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）61 概率的古典定义1）乙两棋手棋艺相当，他们在五局三胜制的比赛中相遇。在甲已两胜一负的基础上，用计算机 模拟他们以后的比赛，计算他们应得的奖金。2）列举出同时抛掷三颗骰子的所有可能结果，比较掷出点数和为9与和为10，何者更容易。3）利用概率古典定义计算在抛掷一对骰子的实验中，哪种点数和出现的概率最大，那种点数和出现的概率最小？4）计算下列两事件的概率大小：抛四次骰子至少有一次出现一点和抛掷一点骰子24次至少有一次出现两个一点。5）试计算实验二的蒲丰（Buffon）投针实验中针与线相交的概率6）在单位圆内随机地取一条弦，问“弦长超过该圆内接等边三角形的边长“这一事件的概率是多少？62概率的统计定义1）设p是区间0,1内任一实数,在该区间内取随机数，则p的概率应等于p。取n(100,1000,10000)个这样的,计算P的次数m，看m/n是否接近于p。2）利用概率的统计定义，通过计算机模拟本实验练习二中的(1)-(3)。3）利用例2的结果和概率的统计定义，通过计算机模拟估计的值4）在线段0,1中随机地取一点，共取n次。将该线段n等分，计算个小线段中含有的点数，计算小线段中恰含k(k取0,1,2,3,4,5)的概率。63二项分布与Poission分布1）将一枚硬币投掷5次，恰好等到2次国徽向上的概率是多少？2）投掷一颗骰子9次，恰好等到4个2点的概率是多少？3）盒中有2个红球和3个白球，有放回地随机取6次，恰好有2次取到红球的概率是多少？4）验证P(np)与X:B(n,p)当n很大而p很小时,两者近似,取定p:(i)对很大的n,是否认为X服从P(np);(ii) 对很大的n，取k=20，30，40，50，分别作出kPnp+（i-1）sqrt（n）/k=K np+i*sqrt（n）/k）的图形，进行观察64正态分布1）取定一个区间(长为d),每次取点个n,记为t1,t2,.,计算X=(t1+t2+.+tn-0.5*n)/sqrt(n)作为一次结果f(x),共进行N次,将(x,f(x)连线,与正态密度函数图象进行比较.6.。5第一反正弦律1）利用计算机模拟第一反正弦律所描述的现象，验证其结论实验七、几何变换一、实验目的及意义：1、从几何直观上理解线性变换与特征向量的几何意义。 2、观察在几种重要的几何变换下图象的变化情况，以及几何变换中，图形的那些性质保持不变二、实验内容：71线性变换与仿射变换72线性变换的特征向量73摄影变换74非欧集合75证明代数基本定理三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会） 71线性变换与仿射变换1）设变换将平面上所有的点绕原点旋转角（逆时针为正），可以考虑如下变换：x= x cos()-y sin() y= x sin(alpha)+y cos()即得出像点(x,y)与原来的点(x,y )之间的函数关系。2）自然数n,在单位圆上依次取n个点Pi(cos(2kpi/n)，sin2kpi/n)(0=k=n-1)设Pi是经变化后的象，作出并适当延长OP，同时作出PP。观察OP，PP的方向是否一致有几个一致？72线性变换的特征向量1）选取自然数n,在单位圆上依次取n个点Pi(cos(2kpi/n)，sin(2kpi/n)(0=k (x,y) x=x/(x-1) y=y/(x-1)过自己画线，或者随机生成直线或者圆，观察变换前后图像的变化。74非欧集合1）制作罗氏刻度尺2）制作罗氏量角器75证明代数基本定理1）选定四个复常数a,b,c,d,满足条件ad-bc0，观察在f(z)=(az+b)/(cz+d)作用下各种图形的变化情况；特别注意直线及圆的情况;2)x,y方向的等距平行网阁被z2变为什么图形；3) 设C1 =x|x in R,x= -1,C2=cos t + sin t| 0= t = 1，在 f1=(z+1)/(z-1),f2=(z+1)/(z-1)2,的作用下分别变为哪一部分图像。(请注意f1,2(C2)为一个点)4) 选定一个实系数多项式f(z)=zn+a1zn-1+.+an,;（1）选定一个r ，画出f(Cr),及它在f1(z)=zn 作用下的像；对不同的r，作同样的工作；（2）让r从R减小观察f（Cr）的变化趋势；（3）在（2）中使f(Cr)过零点的r记为R0，作出x=x(theta),y=y(theta),0=theta=2Pi的图象，找出两曲线与theta轴的公共交点，即为所求。实验八、天体运动一、实验目的及意义：1、利用数值分析方法来作开普勒定律和牛顿定律的相互推导二、实验内容：81行星运动的加速度82万有引力作用下的天体运动 83 其他几个物理现象的数学模拟三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）81行星运动的加速度1）设行星轨道椭圆的长短半轴分别为a,b,半焦距为c,则c2=a2-b2,行星运行周期为T,设太阳位置为定点O,行星位置为动点P。2）以太阳位置O为原点建立直角坐标系，使椭圆的中心坐标为(-c,0),写出椭圆的参数方程： x=a cos(phi)-c y=b sin(phi) 0=phi2 PI3）假定行星从phi=0的点(a-c,0)开始沿逆时针方向运动，按行星运动的先后再椭圆上取N个点，对应参数0=phi0phi1.phiN-1=2 PI,使所有的phik-phik-1 很小,用三角形PiOPi+1的面积Del_Si近似的代表矢径OPi 到OPi+1所扫过的面积,由开普勒第二定律，Del_Si与运行时间Del_ti成正比,取适当地参数m,则Del_ti=m Del_Si.4）根据Pi-1,Pi,Pi+1三点坐标，并假定在三点间作匀加速运动，计算行星在各点的速度与加速度。82万有引力作用下的天体运动1）给定行星在任意位置的坐标P(x,y)以及速度方向V(vx,vy)，取定一个常数k,由万有引力定律,可以算出行星在此处的加速度方向alpha(ax,ay),2）又由初始坐标，初速度，加速度，可以算出经过时间Del_t后天体的位置P1(x1,y1)以及速度V1(v1x,v1y); x1=x0+v0x Del_t+0.5 a0x Del+t2 v1x=v0x+a0x Del_ty1=y0+v0y Del_t+0.5 a0y Del_t2 v1y=v0y+a0y Del_t3）现在以P1为新的出发点,用同样的方法，求出下一个点P2,.Pn,当Del_t取得很小时，可以用平滑曲线连接相邻点，得到行星轨迹。4）利用得到的数据，验证开普勒第二定律83 其他几个物理现象的数学模拟1）给定平面上的两个或者三个点电荷，画出电力分布以及电势线的形状2）一个物理模型，研究球面镜（凹面）是否真正的聚光镜。求解聚光镜的正确形状，比较它与球面镜的差别。3）一条绝对柔软，均匀，无伸缩性的细线两端固定，让它自然下垂所成的曲线称为悬链线，本次练习研究它的形状以及它的一些性质等问题。实验九、迭代（一）方程求解一、实验目的及意义：1、熟悉方程求根的概念2、理解方程求根的过程和算法，学习用计算机求根的一些科学计算方法和简单的编程技术二、实验内容：91方程求根92线性方程组的迭代求解93 非线性方程组的迭代求解三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）91方程求根1）设，利用（1）做迭代得到序列 （1）写出序列的通项公式 （2）在什么条件下迭代（1）对任意的初值都收敛2）考察用迭代函数求解方程的解的情况 （1）在同一坐标下画出与的图象，观察有几个解 （2）去不同的初值，观察迭代序列是否收敛。3）对x3-2x+1=0的各种等价形式进行跌代，观察跌代是否收敛,并给出解释。92线性方程组的迭代求解1）取维数为2，然后在系数阵左上角输入一个2阶方阵M0.2,0.3，0.4,0.2，给出适当的初值（及可选的常量），然后进行跌代。2）取维数为2，然后在系数阵左上角输入一个2阶方阵M1，-1，1，1，给出适当的初值（及可选的常量），然后进行跌代；将M换成0,0.5,-0.5,1,进行跌代。3）取维数为2，然后在系数阵左上角输入一个2阶方阵A3，1，3，给出适当的初值（及可选的常量），然后进行跌代，观察跌代是否收敛；换成其它形式（既将方阵A，初值，常量改变）后跌代，观察跌代收敛速度的快慢。4）取维数为3，然后在系数阵左上角输入一个3阶方阵，给出适当的初值（及可选的常量），然后进行跌代，观察跌代是否收敛；换成其它形式（既将方阵，初值，常量改变）后跌代，观察跌代收敛速度的快慢。实验十、寻优一、实验目的及意义：1、理解方程求根的过程和算法，学习用计算机求根的一些科学计算方法和简单的编程技术 2、了解在计算机求最小二乘法的方法二、实验内容：101光的折射定律102奔向最优点103 最小二乘法三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）101光的折射定律1）：本次练习其实就是验证光的折射定律，以直线L代表介质表面，L的上面,下面分别有点A,B,AO垂直L于O,BD垂直L于D,以O为原点，OD为x轴正方向，OA为y轴正方向，建立直角坐标系。设坐标A(0,a),B(c,-b),则a,b,c三个实数真实刻画了A,B,以及直线L的位置关系，引入速度比u,则光从A走到B,经过L上一点P的时间为T=1/u |AP|+|BP|目的就是求P,使得T取最小值,本次试验实现三种求最小值的方法:（1）均匀搜索法。即以固定步长搜索整个区域，记录每次搜索的最小值，搜索结束后即可得到在这个区域内的差不多最小值,其结果与真实值的误差不超过步长d（2）0.618法.每次将区间a,b分成三个小区间，中间两个分点x1,x2到a的距离分别是整个区间的0.382和0.618倍,求出y在这两点的值y1,y2,比较这两者，取出小者，设为x,用x所在的相邻两个小区间代替区间a,b,继续分割，直到y与真实值得误差达到一定范围。（3）求导法。即牛顿迭代求f(x)的零点:x1= x0-y0/y0,而f(x),f(x)在局部可以用一次或二次多项式逼近。102奔向最优点假定平面上有三个不同的点A1,A2,A3,有一点P,使它到三点的距离和最小，即s=|PA1|+|PA2|+|PA3|取最小值. 通过物理学中的力学原理，系统处于平衡时势能最小，合力为零，很快就可以得到答案，现在我们从数学基础出发，解决这种问题。式中,s=f(x,y)是一个二元函数。一般地，对于一个n元函数y=f(x1,x2,.,xn)在点X(c1,c2,.,cn)处充分光滑，可以将y近似看作n元一次函数y=f(c1,c2,.,cn)+g1 (x1-c1)+.+gn(xn-cn)然后只需求gi,i=1,.n,其中gi为y对第i个变元的偏导。此外，还需求出每次迭代的步长landa.如此一直迭代到趋近于极小点1） 自己选定三个点的坐标。选择一个初始点作为出发点。按上面说的方法就最小值点。如果最小值点不与给定点重合的时候，验证最小值点与三顶点的三直线之间的夹角为120度。2） 在平面上或三维空间上选定四个或多个点就P的位置使P到这些点的距离和最小103 最小二乘法1）车价格预测 某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中 表示轿车的使用年数， 表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？ 实验十一、最速降线一、问题的提出： A、B是重力场中给定的两点，A点高于B点。一个在A点静止的质点在重力作用下沿怎么样的路线C无摩擦地从A点到B点，才能使所花费的时间最短二、实验目的及意义：1、理解什么是最速降线本质以及最速降线的求法，直观上观察解最速降线的形状三、实验内容：111时间的计算112寻找最速降线113最速降线的形状114等时曲线四、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会五、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）111时间的计算算一个质点在重力的作用下,从重力场中一点A沿着不同的下降曲线到达另一点B所需的时间T.。不妨以A为原点,竖直向下为y轴正方向,水平向右为x轴正方向,B点坐标为(a,h),其中a,h均为正的实数,则 1） 沿着AB直线,有 T=|AB|/v,v为平均速度,直接可由力学原理算出.2） 沿着从A到B的曲线C: y= f(x) ,0=x=a,所花的时间依赖于C的选取,不过总是可以把曲线按照一定规则划分成很多小段,当段数很多时,每小段可以看成是小线段而不是曲线段,这样就可以在每一小段上分别计算时间,在算其总和,即为沿曲线下降的时间T的一个近似。3） 折线法。取线段AB的中点M,保持M的横坐标不变，纵坐标上下移动到点P,计算折线APB所花的时间T1,选取适当的P,使得T1取最小值.4） 抛物线段法。前面步骤同上，只是曲线取从A,经过P,到达B的抛物线段，计算其中所花的时间T2,取适当的P,使得T2取最小值.练习分五种计算方式，即直线计算，圆弧计算，折线计算，以及抛物线段计算，首先要给出A点的高度，B点的横坐标，在选定一种方法后计算所需时间进行比较。112寻找最速降线1）选定一个正整数n,以及一组a,h值,用Mathematica求多元函数最小值的语句求n-1元函数T=T(y1,y2,.,yn-1)的最小值点y=(y1,y2,.,yn-1).为此首先选定一组初始值（h1,h2,.hn-1),定义出函数T的表达式,再运行语句FindMinimumT,y1-h1,y2-h2,.,yn-1-hn-1求出最小值点y,依次将点A(0,0),A1(d,y1),.,An-1(n-1)d,yn-1),B(nd,h)连成折线或者光滑曲线，就得到了从到的最速降线的近似形状。2）现在我们用迭代法逐步逼近最速降线：（1）.以直线AB为初始曲线，用练习一(2)中求折线APB的方法,求出点A1,使得过折线AA1B的时间最少。 （2）.分别考虑线段AA1与A1B,再用如上方法,求出最佳点A2,A3,使得AA2A1,A1A3B分别是时间最少的折线段。 （3）以此类推，直至达到一定的重数为止。同时为了提高精度，可以循环迭代，即奇数号点对偶数号点进行优化.直到在所需精度内时间不能再缩短为止。 4).依次连接所有的插入点，比较这条曲线与标准的最速降线的差异113最速降线的形状1）设在直线L（本例中是y轴）的同一侧（本例中是x轴正方向）有两个已知点A,B试找出一条从到的曲线，使得这条曲线绕L旋转所得的曲面面积最小。能否猜出这是一条什么曲线？114等时曲线1）对，用数值积分法计算列出值的对照表，观察随的变化而变化的情况。实验十二、迭代（二）分形一、实验目的及意义：1、以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法。使学生在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。二、实验内容：121生成元122复变函数的迭代123IFS迭代三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）121生成元1）用计算机绘出Koch曲线、Sperpinski三角形及一些树木花草的图形。2）从一个正三角形出发，用Koch曲线的生成元做迭代得到的极限图形为Koch雪花曲线 （1）计算雪花曲线边长及面积，是否有极限 （2）雪花曲线是否光滑 （3）其他的一些分形是否具有类似性质。122复变函数的迭代1）编写绘制Julia集的程序。对不同的参数（p,q）L0,1),(-1,0),(0.11,0.66),(-0.10281,0.95723).(-1.25,-0.01)观察Julia集的变化，取Julia集的不同局部放大，是否能看到某种自相似的现象？2）绘制Mandelbrot集。取Mandelbrot集的不同局部放大，由此观察Mandelbrot集与Julia集有何关系。123IFS迭代1）给定仿射变换以及相应的概率，其中为复数，取，绘制相应IFS迭代的吸引子的图形，去不同的，观察图形的变化。实验十三、迭代（三）混沌一、实验目的及意义：1、了解什么是混沌的概念1、理解混沌现象及其所蕴涵的规律性二、实验内容：131周期点与周期轨道132二次函数的迭代133 Feigenbaum图134混沌的特性135其它函数的迭代三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）131周期点与周期轨道；132二次函数的迭代1）编程实现函数迭代的集合作图过程。对几组不同的参数以及初值，观察迭代序列是否收敛，并比较结果2）取参数a=0.8，并使用不同的初值，看能否找到一个吸引的不动点，一个排斥的不动点，那些初值收敛到吸引的不动点，那些初值使序列发散到无穷？取不同的初值a=1,a=1.6,a=2,a=2.5的情况又怎么样？133 Feigenbaum图1）对不同的初值绘制Feigenbaum图，观察他们的特性134混沌的特性1）任取两个初值使得他们之间的差的绝对值不超过0.1，在迭代过程中它们的图形怎么样？如果两个初值的绝对值不超过0.01，0.001，结果会如何？由此的出函数的迭代对初值是否敏感？135其它函数的迭代1）给定初值和迭代次数，绘制出锯齿函数与帐篷函数的图形。找出他们所有的周期点。实验十四、密码一、实验目的及意义：1、了解密码的本质，能进行简单的加密与解密。二、实验内容：14。1单表密码142多表密码143现代序列密码体制144公开密钥三、实验步骤1.开启软件平台Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论心得体会）14。1单表密码1）任意选一篇较长的英文文章，统计每个英文字母占总字母的百分比；统计出出现频率最高的双字母组合。14。2多表密码1）选一篇较长的英文文章，统计各个英文字母在其中出现的频率，然后选定一个蜜钥字，用维吉尼亚密码加密，再对密文重新统计，看看频率是否还有显著的差别。2）选一篇较