数学建模与数学建模竞赛.ppt

第1讲 数学建模与数学建模竞赛,一、什么是数学建模（两个引例） 二、什么是数学建模竞赛（数学建模竞赛简介） 三、教学目的与要求 四、数学模型与建模举例,1. 三块钢板的启示-美国空军流传的故事,二战期间，在美国空军中，流传过3块钢板的故事。 第一块钢板的故事，是运输机飞行员讲的。 在飞越驼峰航线，支援中国抗战时，美军的运输机队常常遭到日军战斗机的偷袭。C47运输机只有一层铝皮，子弹常常穿透飞行员座椅，夺去飞行员的生命。情急之下，一些美军飞行员在座椅背后焊上一块钢板。靠着这块钢板，他们保住了自己的性命。,一、什么是数学建模（两个引例）,第二块钢板的故事，来自一位将军。 诺曼底登陆时，美军101空降师副师长唐普拉特准将乘坐的是滑翔机。起飞前，有人自作聪明，在副师长的座位下，装上厚厚的钢板，用来防弹。由于滑翔机自身没有动力，与牵引的运输机脱钩后，必须保持平衡滑翔降落，沉重的钢板却让滑翔机头重脚轻，一头扎向地面，普拉特准将成为美军在当天阵亡的唯一将领。,第一块钢板是机智的飞行员用它挽救了自己的生命。第二块钢板则是教训，它是用宝贵的生命换来的。第三块钢板是升华，用科学的方法，从实战经验中提炼出规律，这块讲科学的钢板，挽救了众多飞行员的生命。,通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）,今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？,问题,圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆, 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v,V和 nv 哪个大?,定性分析,V比 nv大多少?,定量分析,2. 包元宵（饺子）中的数学,假设,1. 皮的厚度一样,2. 汤圆(饺子) 的形状一样,模型,应用,若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 公斤馅,R 大皮 半径,V是 nv是 倍,1.4,r 小皮半径,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,什么是数学建模,数学建模是指对现实世界的某一特定对象,为了某特定目的,做出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个数学结构,用它来解释特定现象的现实性态,预测对象的未来状况,提供处理对象的优化决策和控制,设计满足某种需要的产品等。我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：,二、什么是数学建模竞赛,大学生数学建模竞赛自1985年由美国开始举办，竞赛以三名学生组成一个队，赛前有指导教师培训。赛题来源于实际问题。比赛时要求就选定的赛题每个队在连续三天的时间里写出论文，它包括： 问题的适当阐述； 合理的假设； 模型的分析、建立、求解、验证； 结果的分析； 模型优缺点讨论等。 数学建模竞赛宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种方式鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。以竞赛的方式培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力。他还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。这项赛事自诞生起就引起了越来越多的关注，逐渐有其他国家的高校参加。,1、数学建模竞赛的源起,2、我国数学建模竞赛的发展历史,1992年起步，发展迅速 我国自1989年起陆续有高校参加美国大学生数学建模竞赛。 首届大学生数学建模竞赛是1992年由中国工业与应用数学学会在全国10个城市举办的，有79所院校的314队参加。这项活动既受到广大同学的热烈欢迎，也引起教育行政部门的高度重视。1993年和1994年当时的国家教委高教司两次发出文件，决定从1994年起与中国工业与应用数学学会共同主办这项竞赛，组成了全国竞赛组委会，拟定了竞赛章程。在各级教育行政部门、教师的组织、关心和支持下，广大同学积极参与，竞赛发展得十分迅速，规模以每年平均大约30%的速度增加。下表是1992年至1999年参赛的省（市、自治区）、院校和队数。,规模最大的课外科技活动 数学建模竞赛已成为国家教育部组织的全国大学生四项学科竞赛之一。目前参赛的院校中不仅有所有的全国重点大学、各大城市的知名院校，也有不少边远地区的地方学校。不仅有众多的理工科院校和综合大学，也有不少经济管理、农林医药、军事和师范院校。不论是参加的省区、学校的数目，还是参赛的队数、人数，都是目前全国规模最大的课外科技活动。,4、中国大学生数学建模竞赛历程,1989.2.2426 我国大学生（北京大学、清华大学、北京理工大学共4个队）首次参加美国大学生数学建模竞赛，自此每年我国都有同学参加这项竞赛。 1990.12.79 上海市举办大学生（数学类）数学模型竞赛，这是我国省、市级首次举办数学建模竞赛。 1993.10.1517 1993年全国大学生数学建模竞赛举行，16省（市）101所院校的420队参加。,据统计，数学建模进行了18届，规模每年都以平均的增长速度增长，有的赛区20%、有的40%，平均在25%，而且参赛队伍壮大了十倍。 2009 年全国有33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)1137所院校、15042个队（其中本科组12272队、专科组2770队）、4万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的(其中西藏和澳门是首次参赛)！。,专家题词,搞好数学建模竞赛，造就大批应用数学人才，为振兴中华而努力。中国科学院曾庆存院士题 “工欲善其事，必先利其器”。数学模型和数学技术就是现代的“器”。 中国科学院谷超豪院士题 建模与计算已成为科技工作中的关键工具。希望更多的大学生参加数学建模竞赛活动。 中国科学院周毓麟院士题 国际计算机界最高奖Turing奖的获得者均有很好的数学基础，信息技术的发展很大程度上依赖数学方法。建模竞赛有助于发现和造就一批优秀人才。 中国科学院、中国工程院院士王选题词,专家题词,数学之为用，模型立奇功。竞赛促教改，建设新学风。 中国科学院姜伯驹院士题 开展数学建模活动，扩大数学应用范围。 中国科学院张恭庆院士题 创建数学模型，解决实际问题，拓广数学的应用，促进数学科学的发展。 中国科学院马志明院士题 启迪智慧，拓宽视野，开展数学建模活动。 中国科学院顾秉林院士题 数学建模活动对培养同学的竞争意识、创新意识和创造精神是大有裨益的。望同学们奋力拼搏更上一层楼。 中国科学院唐明述院士题,*开放性思维的训练园地,数学竞赛给人的印象是高深莫测的数学难题，和一个人、一支笔、一张纸，关在屋子里的冥思苦想，它训练严密的逻辑推理和准确的计算能力，而 数学建模竞赛从内容到形式与此都有明显的不同。 数学建模竞赛的题目由日常生活、工程技术和管理科学中的实际问题简化加工而成，大家可以从网上看到历年的赛题，它们对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。,4、 数学建模竞赛的形式,数学建模竞赛以通讯形式进行。 三名大学生组成一队，可自由地收集资料、调查研究，使用计算机和任何软件，甚至上网查询，但不得与队外任何人讨论。 时间：三天。完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文。 竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 可以看出，这项竞赛与学生毕业以后工作时的条件非常相近，是对学生业务、能力和素质的全面培养，特别是开放性思维和创新意识。,5、 怎样参加数学建模竞赛,竞赛是由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的，每年9月中下旬举行。竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业。 我校有志参加数学建模的同学可以自愿报名，经过学习和培训一般都能参加数学建模竞赛。,6、数模竞赛须具备的知识,数学知识 1、高等数学 2、线性代数 3、概率论与数理统计 4、最优化理论 5、图论 6、组合数学 7、微分方程稳定性分析 8、排队论 计算机知识 1、综合类： Matlab, Mathematic 2、统计类：Spss, SAS, Statistics 3、最优解：Lindo, Lingo 4、科技学术论文排版,7、数学建模竞赛的信息和资料,网站信息： 1、(国内数学建模竞赛)或/mcm / 2. （国际数学建模竞赛）,8、数 学 建 模 的 重 要 意 义,计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模的应用提供了强有力的工具;,数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等领域，为数学建模开拓了许多新的领地.,1、提高综合利用所学的各项数学知识的能力。 2、培养同学们的洞察能力、数学语言翻译能力、综合应用分析能力、联想能力和各种当代科技最新成果的使用能力。 3、为将来的工作和学习打下坚实的基础。,数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。,9、数学建模与能力的培养,综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择、使用合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力,面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行科学研究的能力,关心国家建设的意识和理论联系实际的学风,团结合作精神和进行协调的组织能力,诚信意识和自律精神,在图书室及互联网上查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力,数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质,美国大学生数学建模竞赛(MCM),1985年开始：MCM，每年2月；COMAP举办，SIAM、INFORMS、MAA等支持,我国大学生1989年（清华等）开始每年都参加，用英文答卷,2002年有11个国家（地区）522队参赛，其中美国以外241队（46%）； “国际竞赛”-“中美联赛”,1996年起，复旦、中国科大、华东理工、清华、浙大、国防科大先后荣获最高奖(Outstanding),每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP第3期,1999年起又同时推出交叉学科竞赛（Interdisciplinary Contest in Modeling ICM)， 2002年106队参加,,1938年开始：Putnam大学生数学竞赛，每年12月，MAA举办,全国大学生数学建模竞赛（CUMCM） China Undergraduates Mathematical Contest in Modeling,1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛,1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月),1993年全国大学生数学建模竞赛只有100多所学校400多个队参加,而2004年则有700所学校的6881多队20000多学生参加- 全国高校中规模最大的课外科技活动,每年赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识”第1期；2001年起刊登于次年“工程数学学报”第1期,全国竞赛组委会设在清华大学数学科学系（100084）,网址：/mcm/ 或 ,1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛,1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月),全国大学生数学建模竞赛 ,全国高校规模最大的课外科技活动,一项有意义的活动,学习数学当然要学习一些理论，学习一些定理与概念，也要学习一些解题技巧。但更重要的是学到数学的思想方法，用以解决数学和数学以外的问题，特别是学会用数学来解决许多非数学的问题。 实际上，只有懂得数学广泛的应用，并能用数学来解决多种多样的问题，才能懂得数学本身，也才能懂得数学抽象的重要性，真正了解数学实际上是非常生动活泼的，也才能真正学好数学！ “高技术本质上是一种数学技术”！,近几年全国大学生数学建模竞赛题,近几年全国大学生数学建模竞赛题,数学建模的论文结构,1、摘要问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录,数学建模竞赛组队的方式,尽可能地让不同专业的学生组成一队，以利学科交叉；,尽可能地让能力、素质方面不同的学生（创新能力强的，认真踏实的，有组织能力的，文笔好的，）组成一队，以利优势互补；,尽可能地让学生在队内充分磨合，达成默契，形成“领袖”。,CUMCM 宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,10、我校参加大学生数学建模竞赛情况,我校从1999年参加全国大学省数学建模竞赛，获全国一等奖一项，二等奖五项，陕西赛区一、二、三等奖多项。 2001-2009获奖情况,三、 教学目的与要求,1、培养学生解决实际问题的综合能力。,1）“双向翻译”能力 2）运用数学思想进行综合分析能力 3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力 4）观察力和想象力 5）提高撰写科研论文的能力 6）团结协作的精神,2、 教学参考书,1 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版).高等教育出版社. 2 沈继红等.数学建模.哈尔滨工程大学出版社. 3 周义仓,赫孝良.数学建模实验.西安交通大学出版社. 4 刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社. 5 陈义华.数学模型.重庆大学出版社.,3、 要求,通过学习要培养自己的应用数学的能力，特别是学习和思考、发现问题、分析问题的能力。 要求完成每次课后留的作业的同时，这们课要完成一个自己发现的实际问题的数学建模小论文。 参加校内数学建模竞赛，其成绩作为课程成绩的一部分。 如果有志参加全国大学生数学建模竞赛，还应注意计算机编程和数学软件使用能力的培养。,1 模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。,四、数学模型与建模举例,直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。 物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。 思维模型，符号模型，数学模型。,2、数学模型： 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。,数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。,总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。,古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理” 文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试” 微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。,费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示 “光沿着所需时间最短的路径前进” 牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达， 如，牛顿第二 定律：,结合开普勒三定律得出万有引力定律,航行问题：,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？,用 分别代表船速、水速，可以列出方程,解方程组，得,答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时。,3、数学建模过程,表述,（归纳）,求解,（演绎）,解释,验证,现实对象与数学模型的关系,3.数学建模示例 建模示例之一 椅子的稳定性问题,问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。,假设 1）地面为光滑曲面； 2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的； 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接 触视为几何上的点接触； 4）椅子的中心不动。,x,y,A,A,B,B,C,C,D,D,O,2 建模分析,表示A,C与地面距离之和,表示B,D与地面距离之和,则由三点着地，有,不失一般性，设初始时：,假设： 是 的连续函数， 且 对任意 ， 求证：至少存在 ，使得,数学模型 数学命题：.,4 模型求解,证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由,可得,令,由 的连续性， 根据介值定理，在 中至 少存在一点 ,使得 ,即,又,所以,结论：能放稳。,连续函数的介值定理,o,x,y,a,b,思考题1：长方形的椅子会有同样的性质吗？,思考题1：长方形的椅子会有同样的 性质吗？,4、建立数学模型的方法和步骤,方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。,统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分 析，得到其内在的规律。 如：多元统计分析。,系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把 定性的思维和结论用定量的手段表示出来。 如：层次分析法。,建模步骤,1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。 有时需查资料或到有关单位了解情况等。,建模步骤,2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问 题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。,3）模型建立： 分清变量类型，恰当使用数学工具； 抓住问题的本质，简化变量之间的关系； 要有严密的数学推理，模型本身要正确； 要有足够的精确度。 4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。,6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。,5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优 决策控制。,5、模型的分类,1）按变量的性质分：,2）按时间变化对模型的影响分,3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。,4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。,5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。,6）按对模型结构的了解程度分 白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。 灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。 黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。,练习,1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？,A,B,甲,乙,37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？,一般思维：,逆向思维： 每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。,3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？,车站,家,5：30,相遇,早10钟,5分钟,5分钟,6：00,5：55,共走了25分钟。,甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？,8:00,8:10,8:20,8:30,甲至乙,乙至甲,x,X-8:00=0:09 x=8:09,8:09,8:19,一男孩和一女孩分别在离家 2 km 和 1 km 且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4 km/h和 2 km/h 的速度步行回家。一小