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数据误差的影响例1.5 设，x的相对误差限为 ，求和的相对误差限。解 由已知条件。由一元函数的相对误差公式有 。例1.6 设。当时，如果已知对数的绝对误差限为，试估计真数的相对误差限及有效数字位数。解 有知。因而。于是由得到，又由得设则因而真数具有n位有效数字。例1.7 设计算球体积允许其相对误差限为1%，问测量球半径的相对误差限最大为多少？解 记球半径为R，球体积为V，由题意知由公式知，于是,因而即测量球半径的相对误差限最大为0.33%。例1.8 真空中自由落体运动距离和时间的关系是，是重力加速度。现设是准确的，而对的测量有秒的误差。证明当增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。解 由得，因而于是易知当固定时， 随着的增加而增加，而随着的增加而减小。例1.9 已测量某长方形场地长米，宽米。若试求其面积的绝对误差限和相对误差限。解 由题意知面积计算面积S的绝对误差限为计算面积S的绝对误差限为例1.10 由图1.1知道三角形一边和两邻角的近似值为假设的观测误差限分别为试计算另外的边和角，并给出误差的界。解 由题意知根据三角形内角和为知 由正弦定理有因而同理1.2.3 设计算法时应注意的几个问题 例1.11 设求证（1）（2）正想递推时误差传播逐渐增大，逆向递推时误差传播逐渐衰减。解 （1）当时，（2）正向递推 由计算：， 。若已知的一个近似值，则实际算得的的近似值为。将以上两式相减得两边取绝对值得的误差将放大倍传到。因而正向递推时误差传播逐步放大。逆向递推 由计算：若已知的一个近似值，则实际算得的的近似值为=）。将以上两式相减得两边取绝对值得的误差将缩小倍传到。因而逆向递推时误差传播逐步衰减。例1.12 利用秦九韶算法计算多项式在处的值。解 将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数看成零。 1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 -10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9所以=-9.例1.13 计算。取分析下述两种运算各具有几位有效数字。（1）；（2）。解 记则有由知由（1.4）式可断定算式（1）至少具有1位有效数字。由知 由（1.5）式知算式（2）至少具有5位有效数字。注：由知由上式和（1.4）式可断定只具有1位有效数字。事实上， 因而易知具有5位有效数字。例1.14 利用等价变换使下列表达式的计算记过比较精确。 解 （1）例1.15 试计算当时的值，要求具有6 位有效数字。解 由泰勒展开式知当时，因而所求具有6位有效数字的近似值为例1.16 在计算机上对1+自左至右求和：若很大，将不随的增加而增加，试说明原因。解 这主要是由于在计算机中作加法运算需先对位而造成的。例如，设这台计算机具有7位精度，即字长由的
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