2006年考研数学(三)真题.doc

万学教育公共课事业部虿蚀衿芀蚅蚀肂蒅薁虿膄莈蒇蚈芆膁螆蚇羆莆蚂蚆肈腿薈螅膁莅蒄螄袀膇莀螄羂莃螈螃膅膆蚄螂芇蒁薀螁羇芄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁袈袁蒈薇袈羃芁蒃袇肆蒆荿袆芈艿螈袅羈膂蚄袄肀莇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁羂羄膈蚀羁肆莄薆羀腿膇蒂罿羈莂蒈羈肁芅螇羇膃蒀蚃羆芅芃蕿羆羅葿蒅薂肇芁莁蚁膀蒇虿蚀衿芀蚅蚀肂蒅薁虿膄莈蒇蚈芆膁螆蚇羆莆蚂蚆肈腿薈螅膁莅蒄螄袀膇莀螄羂莃螈螃膅膆蚄螂芇蒁薀螁羇芄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁袈袁蒈薇袈羃芁蒃袇肆蒆荿袆芈艿螈袅羈膂蚄袄肀莇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁羂羄膈蚀羁肆莄薆羀腿膇蒂罿羈莂蒈羈肁芅螇羇膃蒀蚃羆芅芃蕿羆羅葿蒅薂肇芁莁蚁膀蒇虿蚀衿芀蚅蚀肂蒅薁虿膄莈蒇蚈芆膁螆蚇羆莆蚂蚆肈腿薈螅膁莅蒄螄袀膇莀螄羂莃螈螃膅膆蚄螂芇蒁薀螁羇芄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁袈袁蒈薇袈羃芁蒃袇肆蒆荿袆芈艿螈袅羈膂蚄袄肀莇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁羂羄膈蚀羁肆莄薆羀腿膇蒂罿羈莂蒈羈肁芅螇羇膃蒀蚃羆芅芃蕿羆羅葿蒅薂肇芁莁蚁膀蒇虿蚀衿芀蚅蚀肂蒅薁虿膄莈蒇蚈芆膁螆蚇羆莆蚂蚆肈腿薈螅膁莅蒄螄袀膇莀螄羂莃螈螃膅膆蚄螂芇蒁薀螁羇芄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁袈袁蒈薇袈羃芁蒃 2006年考研数学（三）真题一、 填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）（2）设函数在的某邻域内可导,且，则（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . （8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 （9）若级数收敛，则级数(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）. （）. （）. （） （11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. （12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. （13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）. （）.（）. （）. （14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A) (B) (C) (D) 三 、解答题：1523小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设,求() ；() .（16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.（17）（本题满分10分） 证明：当时，. （18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.() 求的方程；() 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数.（20）（本题满分13分）设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.()求的特征值与特征向量；()求正交矩阵和对角矩阵,使得；（）求及，其中为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度；()；().（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析二、 填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1） 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界，所以. 故 . （2）设函数在的某邻域内可导,且，则 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又，故 . （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ， 所以 . 方法二：对微分得 ，故 . （4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 2 .【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以.（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度 .则 .【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 则 .（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， 所以 ，又因是的无偏估计量，所以 .二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，故应选(). （8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 C 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则 . 令，则. 所以存在，故本题选（C）. （9）若级数收敛，则级数(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(). 或利用排除法： 取，则可排除选项（），（）； 取，则可排除选项（）.故（）项正确.（10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）. （）. （）. （） 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是 ，故原方程的通解为 ，故应选().【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：.其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. 【分析】 利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ， 即 .消去，得 ,整理得 .（因为），若，则.故选（）. 芆薅羅袈莅蚇螈膇莄莇薁肃莃蕿螆聿莃蚁虿羅莂莁袅袁莁蒃蚇腿莀薆袃肅葿蚈蚆羁蒈莈袁袇蒇蒀蚄膆蒇蚂袀膂蒆螅螂肈蒅蒄羈羄肁薇螁袀肀虿羆膈肀荿蝿肄腿蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄蚀袄羃膄荿蚇衿膃蒂袂膈节薄蚅肄芁蚆袀羀芀莆蚃羆艿薈罿袂芈蚁螁膀芈莀羇肆芇蒃螀羂芆薅羅袈莅蚇螈膇莄莇薁肃莃蕿螆聿莃蚁虿羅莂莁袅袁莁蒃蚇腿莀薆袃肅葿蚈蚆羁蒈莈袁袇蒇蒀蚄膆蒇蚂袀膂蒆螅螂肈蒅蒄羈羄肁薇螁袀肀虿羆膈肀荿蝿肄腿蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄蚀袄羃膄荿蚇衿膃蒂袂膈节薄蚅肄芁蚆袀羀芀莆蚃羆艿薈罿袂芈蚁螁膀芈莀羇肆芇蒃螀羂芆薅羅袈莅蚇螈膇莄莇薁肃莃蕿螆聿莃蚁虿羅莂莁袅袁莁蒃蚇腿莀薆袃肅葿蚈蚆羁蒈莈袁袇蒇蒀蚄膆蒇蚂袀膂蒆螅螂肈蒅蒄羈羄肁薇螁袀肀虿羆膈肀荿蝿肄腿蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄蚀袄羃膄荿蚇衿膃蒂袂膈节薄蚅肄芁蚆袀羀