高考数学应用题的解法（续）.doc

高考数学应用题的解法（续）元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2） 元，从而（元）当且仅当 , n=20（层）时，总费用y最少.故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.5某人计划年初向银行贷款10万元用于买房他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法1如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元设每年还款x元则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元于是：105(1+4)10= x(1+4)9+x(14)8x(14)7+x由等比数列求和公式可得：其中所以，法2从另一个角度思考，我们可以分步计算考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱仍然设每年还款x元则第一年还款后，欠银行的余额为：元；如果设第k年还款后，欠银行的余额为元，则不难得出：105(1+4)10x(1+4)9x(14)8x(14)7x另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有由此布列方程，得到同样的结果点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1分清单利、复利（即等差与等比）；2寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化3.一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关6. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?讲解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车万辆，则 ，所以，当时，两式相减得：（1）显然，若，则，即，此时（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，此时，（ii）当时，则对于任意正整数，均有，所以，由，得，要使对于任意正整数，均有恒成立，即 对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，. 本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.7现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建构这样的不等关系较为困难为表达方便，我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量则2，0.2，且（）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列由（）可得：所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列所以，由题，令0）.将点（4，5）代入求得p=.x2=y.将点（2，y1）代入方程求得y1=.+|y1|=+=2（m）.答案：211.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.解：（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径.由已知，得A点坐标是（2，6），设抛物线方程为y2=2px（p0），则36=2p2，p=9.所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F（，0）.（2）盛水的容器在焦点处，A、F两点间的距离即为每根铁筋长.|AF|=（或|AF|=+2=）.故每根铁筋的长度是6.5 m.12.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5 cm，灯丝距顶面距离为2.8 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程.分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光.解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分，设其方程为+=1，灯丝距顶面距离为p，由于BF1F2为直角三角形，因而，|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2，由椭圆性质有|F1B|+|F2B|=2a，所以a=（p+），a= （2.8+）4.05 cm，b=3.37 m.所求方程为+=1.13.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么?解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2，则A（10，2）在抛物线上，2=ax2，a=，方程即为y=x2让货船沿正中央航行.船宽16 m，而当x=8时，y=82=1.28 m，船体在x=8之间通过.由B（8，1.28），B点离水面高度为6+（1.28）=4.72（m），而船体水面高度为5 m，无法直接通过.又54.72=0.28（m），0.280.04=7，而1507=1050（t），要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分